Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 9.djvu/51

---

CHAPITRE V.

Du développement des fonctions lorsqu’on donne à la variable une valeur déterminée. Cas dans lesquels la règle générale est en défaut. Des valeurs des fractions dont le numérateur et le dénominateur s’évanouissent en même temps. Des cas singuliers où le développement de la fonction ne procède pas suivant les puissances positives et entières de l’accroissement de la variable.

---

24. Les méthodes que nous venons de donner pour le développement de la fonction $f(x+i)$ supposent que ce développement est de la forme

$f(x)+if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x)+\ldots \,;$

il est donc nécessaire, avant d’aller plus loin, d’examiner quand et comment cette forme pourrait être en défaut.

Nous avons déjà démontré plus haut (n^o 2) que cela ne peut arriver que lorsqu’on donnera à $x$ une valeur déterminée telle qu’elle fasse disparaître dans la fonction $f(x)$ et dans toutes ses dérivées quelques radicaux. Or un radical ne peut disparaître dans une fonction que de deux manières, ou parce que la quantité qui multiplie le radical devient nulle, ou parce que le radical lui-même devient nul.

Dans le premier cas, il est clair que, le radical disparaissant dans $f(x),$ il pourra ne pas disparaître dans $f'(x),f''(x),\ldots ,$ ou bien que, disparaissant à la fois dans $f(x),f'(x),$ il ne disparaîtra pas dans $f''(x),f'''(x),\ldots ,$ et ainsi du reste, parce que, le radical acquérant des coefficients différents dans les fonctions dérivées, ces coefficients ne peuvent pas devenir tous nuls par la même valeur supposée de la variable.