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Dans le second cas, au contraire, il est évident que le radical disparaîtra nécessairement dans toutes les fonctions $f(x),f'(x),f''(x),\ldots$ à l’infini, puisque c’est la quantité radicale elle-même qui est supposée s’évanouir pour une valeur donnée de la variable $x.$ Mais, l’évanouissement du radical ne pouvant plus avoir lieu dans la fonction $f(x+i),$ où $i$ est une quantité indéterminée et indépendante de $x,$ il s’ensuit que la série

$f(x)+if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x)+\ldots ,$

qui représente le développement de cette fonction, deviendra fautive par l’absence du radical qu’elle doit contenir.

Donc cette série sera légitime dans le premier cas et ne le sera pas dans le second.

25. Soient $y=f(x),$ et par conséquent, en prenant les fonctions prime, seconde, etc., $y'=f'(x),\ y''=f''(x),\ldots .$ Supposons que, pour une valeur donnée de $x,$ il disparaisse dans $f(x)$ un radical, lequel ne disparaisse pas dans $f'(x)\,;$ il est clair que, pour cette valeur de $x,$ la fonction $f'(x)$ devra avoir un plus grand nombre de valeurs différentes que la fonction $f(x),$ à raison du radical, qui se trouve dans $f'(x)$ et qui a disparu dans $f(x),$ d’où il s’ensuit que la valeur de $y'$ ne pourra pas être donnée par une fonction de $x$ et $y$ qui ne contiendrait pas ce radical. Cependant, si dans l’équation $y=f(x)$ on détruit ce même radical par l’élévation aux puissances, et que l’équation résultante soit représentée par $\operatorname {F} (x,y)=0,$ son équation prime donnera généralement, comme nous l’avons vu au n^o 17,

$y'=-{\frac {\operatorname {F} '(x)}{\operatorname {F} '(y)}}.$

Donc cette expression sera en défaut dans le cas où l’on donnerait à $x$ la valeur en question, ce qui ne peut avoir lieu qu’autant que les quantités $\operatorname {F} '(x)$ et $\operatorname {F} '(y)$ seront l’une et l’autre nulles à la fois. Ainsi, dans le cas dont il s’agit, l’expression de $y'$ deviendra égale à zéro divisé par