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veau les fonctions primes, on aura

$f''(x)=2\mathrm {C} +2.3\mathrm {D} x+3.4\mathrm {E} x^{2}+\ldots ,$

où, faisant derechef $x=0,$ on aura $f''=2\mathrm {C} .$ Continuant de la même manière, on trouvera

$f'''=2.\mathrm {3} D,\quad f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=2.3.4\mathrm {E} ,\quad \ldots ,$

d’où l’on tire

$\mathrm {A} =f,\quad \mathrm {B} =f',\quad \mathrm {C} ={\frac {1}{2}}f'',\quad \mathrm {D} ={\frac {1}{2.3}}f''',\quad \ldots ,$

ce qui donnera, par la substitution, la même série pour $f(x)$ que ci-dessus. Mais cette méthode est moins directe que la précédente, et elle suppose déjà la théorie des fonctions dérivées ; elle est d’ailleurs moins rigoureuse, en ce qu’elle suppose de plus que la somme de tous les termes affectés de $x$ devient nulle lorsque $x=0,$ quoique les coefficients de ces termes augmentent à l’infini dans les équations dérivées ; mais le grand avantage de la méthode précédente consiste en ce qu’elle donne le moyen d’arrêter le développement de la série à tel terme que l’on voudra et de juger de la valeur du reste de la série.

Ce problème, l’un des plus importants de la théorie des séries, n’a pas encore été résolu d’une manière générale. On pourrait, à la vérité, le résoudre pour chaque fonction en particulier par les méthodes exposées dans le Chapitre premier ; mais il serait impossible de parvenir par cette voie à une solution générale pour une fonction quelconque.

35. Reprenons donc la formule générale trouvée ci-dessus (n^o 33),

$f(x)=f(x-xz)+xzf'(x-xz)+{\frac {x^{2}z^{2}}{2}}f''(x-xz)+\ldots ,$

et supposons qu’on veuille s’arrêter au premier terme $f(x-xz).$ Comme tous les termes suivants sont multipliés par $x,$ nous supposerons

$f(x)=f(x-xz)+x\mathrm {P} ,$