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$\mathrm {P}$ étant regardé comme une fonction de $z$ qui devra être nulle lorsque $z=0,$ puisqu’alors $f(x-xz)$ devient $f(x).$

Comme cette équation doit avoir lieu quelle que soit la valeur de $z,$ qui est arbitraire, son équation prime relativement à $z$ aura donc lieu aussi (n^o 17). On prendra donc les fonctions primes relativement a cette variable, et il est facile de voir que la fonction prime du terme $f(x-xz)$ sera $-xf'(x-xz),$ car on a démontré (n^o 16) que, si $y=f(p),$ $p$ étant une fonction de $x,$ on a

$y'=p'f'(p)\,;$

ainsi, en rapportant les fonctions dérivées à la variable $z$ et faisant $p=x-xz,$ on aura

$p'=-x\quad {\text{et}}\quad y'=-xf'(p)=-xf'(x-xz).$

Donc, à cause que $f(x)$ ne renferme point $z,$ l’équation prime relative à $z$ de l’équation ci-dessus sera

$0=-xf'(x-xz)+x\mathrm {P} ',$

$\mathrm {P} '$ étant la fonction prime de $\mathrm {P}$ relativement à $z,$ d’où l’on tire

$\mathrm {P} '=f'(x-xz).$

On aura donc la valeur de $\mathrm {P}$ en cherchant une fonction de $z$ dont la fonction prime soit égale à $f'(x-xz)$ et qui, de plus, soit telle qu’elle devienne nulle lorsque $z=0.$ Cette valeur de $\mathrm {P}$ ainsi trouvée, si l’on y fait $z=1,$ on aura

$f(x)=f+x\mathrm {P} .$

Supposons, en second lieu,

$f(x)=f(x-xz)+xzf'(x-xz)+x^{2}\mathrm {Q} ,$

$\mathrm {Q}$ étant une fonction de $z,$ qui devra être nulle, comme l’on voit, lorsque $z=0.$

En prenant, comme ci-dessus, les fonctions primes relativement à $z,$ on aura cette équation prime

$0=-xf'(x-xz)+xf'(x-xz)-x^{2}zf''(x-xz)+x^{2}\mathrm {Q} ',$