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où les fonctions désignées par $f',f''$ sont les fonctions primes et secondes de $f(x)$ relativement à $x$ et dans lesquelles on a mis ensuite $x-xz$ pour $x.$ On tire de là, en effaçant ce qui se détruit,

$\mathrm {Q} '=zf''(x-xz),$

de sorte qu’on aura la valeur de $\mathrm {Q}$ en cherchant une fonction de $z$ dont la fonction prime ait la valeur qu’on vient de trouver pour $\mathrm {Q} '$ et qui ait la condition de devenir nulle lorsque $z=0.$ Si ensuite on fait $z=1$ on aura

$f(x)=f+xf'+x^{2}\mathrm {Q} .$

Soit, en troisième lieu,

$f(x)=f(x-xz)+xzf'(x-xz)+{\frac {x^{2}z^{2}}{2}}f''(x-xz)+x^{3}\mathrm {R} ,$

$\mathrm {R}$ étant une fonction de $z$ qui s’évanouisse lorsque $z=0.$ On trouvera, en prenant les fonctions primes relativement à $z$ et effaçant les termes qui se détruisent mutuellement,

$\mathrm {R} '={\frac {z^{2}}{2}}f'''(x-xz),$

la fonction représentée par $f'''$ étant la fonction tierce de $f(x)$ relativement à $x$ transformée par la substitution de $x-xz$ à la place de $x.$

Il faudra donc, pour avoir la valeur de $\mathrm {R} ,$ trouver une fonction primitive de $z$ dont la fonction prime soit la valeur précédente de $\mathrm {R} '$ et qui soit telle qu’elle s’évanouisse lorsque $z=0.$ Cette fonction étant trouvée, on aura, en faisant $z=1,$

$f(x)=f+xf'+{\frac {x^{2}}{2}}f''+x^{3}\mathrm {R} ,$

et ainsi de suite.

En continuant ainsi, on aura la formule du n^o 33

$f(x)=f+xf'+{\frac {x^{2}}{2}}f''+{\frac {x^{3}}{2.3}}f'''+\ldots .$