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Mais l’analyse précédente a l’avantage de donner la manière d’avoir les restes $x\mathrm {P} ,x^{2}\mathrm {Q} ,x^{3}\mathrm {R} ,\ldots$ de la série lorsqu’on veut l’interrompre à son premier, deuxième, troisième, etc., terme.

36. Voilà le problème résolu analytiquement ; mais, comme les quantités $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots$ ne sont connues que par leurs fonctions primes, il reste encore à remonter de ces fonctions aux fonctions primitives, ce qui peut être souvent fort difficile et même impossible.

Cependant, si l’on connaissait la quantité $\mathrm {P} ,$ on en pourrait déduire toutes les autres par les simples fonctions dérivées, car la comparaison des valeurs de $f(x)$ donne

$\mathrm {P} =zf'(x-xz)+x\mathrm {Q} ,$

et l’on a trouvé $f'(x-xz)=\mathrm {P} '\,;$ donc, substituant, on aura

$\mathrm {P} =z\mathrm {P} '+x\mathrm {Q} ,$

d’où l’on tire

$\mathrm {Q} ={\frac {\mathrm {P} -z\mathrm {P} '}{x}}.$

On a ensuite

$\mathrm {Q} ={\frac {z^{2}}{2}}f''(x-xz)+x\mathrm {R} ,$

et l’on a trouvé

$2f''(x-xz)=\mathrm {Q} '\,;$

donc

$\mathrm {Q} ={\frac {z}{2}}\mathrm {Q} '+x\mathrm {R} ,$

d’où l’on tire

$\mathrm {R} ={\frac {\mathrm {Q} -{\frac {1}{2}}z\mathrm {Q} '}{x}}.$

On trouvera de même

$\mathrm {S} ={\frac {\mathrm {R} -{\frac {1}{3}}z\mathrm {R} '}{x}},$

et ainsi de suite.

Si l’on fait $\mathrm {P} =zp,\ \mathrm {Q} =z^{2}q,\ \mathrm {R} =z^{3}r,\ldots ,$ on aura

$q=-{\frac {p'}{x}},\quad r=-{\frac {q'}{2x}},\quad s=-{\frac {r'}{3x}},\quad \ldots ,$