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et la fonction $f(x)$ deviendra, en remettant $i$ à la place de $xz.$

${\begin{aligned}f(x)&=f(x-i)+ip,\\&=f(x-i)+if'(x-i)+i^{2}q,\\&=f(x-i)+if'(x-i)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x-i)+i^{3}r,\\&=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Ainsi, connaissant le premier reste $ip,$ on pourra connaître tous les autres restes $i^{2}q,i^{3}r,\ldots$ par les simples fonctions dérivées relatives à $z={\frac {i}{x}},$ et, si l’on prend simplement les fonctions dérivées relativement à $i,$ on aura

$q=-p',\quad r=-{\frac {q'}{2}},\quad s=-{\frac {r'}{3}},\quad \ldots .$

Par exemple, en faisant $f(x)={\frac {1}{x}}$ comme dans le n^o 4, on aura

$f(x-i)={\frac {1}{x-i}},$

et, prenant les fonctions dérivées par rapport à $x,$ on aura

$f'(x-i)=-{\frac {1}{(x-i)^{2}}},\quad f''(x-i)={\frac {2}{(x-i)^{3}}},\quad \ldots \,;$

or on trouve

$p={\frac {f(x)-f(x-i)}{i}}=-{\frac {1}{x(x-i)}}\,;$

de là, en prenant les fonctions dérivées par rapport à $i,$ on tirera tout de suite

$q=-p'={\frac {1}{x(x-i)^{2}}},\quad r=-{\frac {q'}{2}}=-{\frac {1}{x(x-i)^{3}}},\quad \ldots .$

Donc, si l’on fait ces substitutions dans les expressions de $f(x),$ et qu’on y mette ensuite $x+i$ à la place de $x,$ on aura

${\frac {1}{x+i}}={\frac {1}{x}}-{\frac {i}{x(x+i)}}={\frac {1}{x}}-{\frac {i}{x^{2}}}+{\frac {i^{2}}{x^{2}(x+i)}}=\ldots ,$

comme dans le numéro cité.