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Soit encore $f(x)={\sqrt {x}}\,;$ on aura

$f(x-i)={\sqrt {x-i}},$

et, prenant les fonctions dérivées par rapport à $x,$

$f'(x-i)={\frac {1}{2{\sqrt {x-i}}}},\quad f''(x-i)=-{\frac {1}{4(x-i)^{\frac {3}{2}}}},\quad \ldots .$

Ici on aura

$p={\frac {{\sqrt {x}}-{\sqrt {x-i}}}{i}}={\frac {1}{{\sqrt {x}}+{\sqrt {x-i}}}},$

et de là, en prenant les fonctions dérivées relatives à $i,$

${\begin{aligned}q=&-{\frac {1}{2{\sqrt {x-i}}\left({\sqrt {x}}+{\sqrt {x-i}}\right)^{2}}},\\r=&-{\frac {1}{8(x-i)^{\frac {3}{2}}\left({\sqrt {x}}+{\sqrt {x-i}}\right)^{2}}}+{\frac {1}{4(x-i)\left({\sqrt {x}}+{\sqrt {x-i}}\right)^{3}}}\\=&{\frac {{\sqrt {x}}+3{\sqrt {x-i}}}{8(x-i)^{\frac {5}{2}}\left({\sqrt {x}}+{\sqrt {x-i}}\right)^{3}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Par ces substitutions dans les expressions de $f(x),$ on aura, en mettant $x+i$ à la place de $x,$

${\begin{aligned}{\sqrt {x+i}}&={\sqrt {x}}+{\frac {i}{{\sqrt {x+i}}+{\sqrt {x}}}}={\sqrt {x}}+{\frac {i}{2{\sqrt {x}}}}-{\frac {i^{2}}{2{\sqrt {x}}\left({\sqrt {x+i}}+{\sqrt {x}}\right)^{2}}}\\&={\sqrt {x}}+{\frac {i}{2{\sqrt {x}}}}-{\frac {i^{2}}{8x{\sqrt {x}}}}+{\frac {i^{3}\left({\sqrt {x+i}}+3{\sqrt {x}}\right)}{8x{\sqrt {x}}\left({\sqrt {x+i}}+{\sqrt {x}}\right)^{3}}}\\&={\sqrt {x}}+{\frac {i}{2{\sqrt {x}}}}-{\frac {i^{2}}{8x{\sqrt {x}}}}+{\frac {i^{3}}{16x^{2}{\sqrt {x}}}}+\ldots ,\end{aligned}}$

comme dans le même numéro cité.

37. On peut aussi tirer directement de la formule du n^o 3

$f(x+i)=f(x)+i\mathrm {P}$

la loi de la série et l’expression des restes, en prenant alternativement