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les fonctions dérivées par rapport à $x$ et à $i\,;$ nous marquerons ces dernières par un trait placé au bas.

On a d’abord, par les fonctions dérivées relatives à $x,$

$f'(x+i)=f'(x)+i\mathrm {P} ',$

ensuite, par les fonctions dérivées relatives à $i,$

$f'(x+i)=\mathrm {P} +i\mathrm {P} _{_{'}},$

car il est visible que, relativement à $i,$ la dérivée de $f(x+i)$ est la même que relativement à $x.$ On aura donc

$f'(x)+i\mathrm {P} '=\mathrm {P} +i\mathrm {P} _{_{'}},$

d’où l’on tire

$\mathrm {P} =f'(x)+i\mathrm {\left(P'-P_{_{'}}\right)} .$

Faisons $\mathrm {Q=P'-P_{_{'}}} \,;$ on aura, en substituant la valeur de $\mathrm {P} ,$

$f(x+i)=f(x)+if'(x)+i^{2}\mathrm {Q} .$

Prenons de nouveau les fonctions dérivées par rapport à $x$ et par rapport à $i\,;$ on aura

$f'(x+i)=f'(x)+if''(x)+i^{2}\mathrm {Q} '\quad {\text{et}}\quad f'(x+i)=f'(x)+2i\mathrm {Q} +i^{2}\mathrm {Q} _{_{'}}\,;$

donc

$f''(x)+i\mathrm {Q} '=2\mathrm {Q} +i\mathrm {Q} _{_{'}},$

d’où

$\mathrm {Q} ={\frac {f''(x)+i\mathrm {\left(Q'-Q_{_{'}}\right)} }{2}}.$

Donc, si l’on fait $\mathrm {R={\frac {\left(Q'-Q_{_{'}}\right)}{2}}} ,$ on aura, en substituant,

$f(x+i)=f(x)+if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x)+i^{3}\mathrm {R} .$

On trouvera de même, en faisant $\mathrm {S={\frac {R'-R_{_{'}}}{2}}} ,$ et ainsi de suite.

$f(x+i)=f(x)+if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x)+{\frac {i^{3}}{2.3}}f'''(x)+i^{4}\mathrm {S} ,$

et ainsi de suite.