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Si l’on fait, par exemple, $f(x)={\frac {1}{x}},$ ce qui donne

$\mathrm {P} ={\frac {1}{i}}\left({\frac {1}{x+i}}-{\frac {1}{x}}\right)=-{\frac {1}{x(x+i)}},$

on aura

$\mathrm {P} '={\frac {1}{x^{2}(x+i)}}+{\frac {1}{x(x+i)^{2}}},\quad \mathrm {P} _{_{'}}={\frac {1}{x(x+i)^{2}}},$

donc

$\mathrm {Q} ={\frac {1}{x^{2}(x+i)}},$

ensuite

$\mathrm {Q} '=-{\frac {2}{x^{3}(x+i)}}-{\frac {1}{x^{2}(x+i)^{2}}},\quad \mathrm {Q} _{_{'}}=-{\frac {1}{x^{2}(x+i)^{2}}},$

et de là

$\mathrm {R} =-{\frac {1}{x^{3}(x+i)}}\,;$

on trouvera de même

$\mathrm {S} ={\frac {1}{x^{4}(x+i)}},$

et ainsi de suite, ce qui redonnera la série déjà trouvée.

Mais, pour notre objet, il importe moins de connaître les restes exacts de la série développée jusqu’à un terme quelconque que d’avoir des limites de ces restes pour pouvoir apprécier l’erreur qu’on peut commettre en ne tenant compte que de quelques-uns des premiers termes.

38. Pour cela, nous allons établir ce lemme général :

Si une fonction prime de $x,$ telle que $f'(x),$ est toujours positive pour toutes les valeurs de $x$ depuis $x=a$ jusqu’à $x=b,$ $b$ étant $>a,$ la différence des fonctions primitives qui répondent à ces deux valeurs de $x,$ savoir $f(b)-f(a),$ sera nécessairement une quantité positive.

Reprenons la formule

$f(x+i)=f(x)+i\mathrm {P} ,$

dans laquelle $\mathrm {P}$ est une fonction de $x$ et $i,$ qui, en faisant $i=0,$ devient