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$f'(x)$ (n^os 3, 8) ; il est évident que, si $f'(x)$ est une quantité positive, la valeur de $\mathrm {P}$ sera nécessairement positive depuis $i=0$ jusqu’à une certaine valeur de $i$ qu’on pourra prendre aussi petite qu’on voudra. Donc, lorsque la valeur de la fonction prime $f'(x)$ est positive, on pourra toujours prendre pour $i$ une quantité positive et assez petite pour que la quantité $f(x+i)-f(x)$ soit nécessairement positive.

Mettons successivement à la place de $x$ les quantités

$a,\quad a+i,\quad a+2i,\quad a+3i,\quad \ldots ,\quad a+ni\,;$

il en résultera que l’on peut prendre $i$ positif et assez petit pour que toutes les quantités

$f(a+i)-f(a),\quad f(a+2i)-f(a+i),$

$f(a+3i)-f(a+2i),\quad \ldots ,\quad f(\left[a+(n+1)i\right]-f(a+ni)$

soient nécessairement positives si les quantités

$f'(a),\quad f'(a+i),\quad f'(a+2i),\quad \ldots ,\quad f'(a+ni)$

le sont. Donc aussi, dans ce cas, la somme des premières quantités, c’est-à-dire la quantité $f\left[a+(n+1)i\right]-f(a),$ sera positive.

Faisons maintenant $a+(n+1)i=b\,;$ on aura

$i={\frac {b-a}{n+1}},$

et l’on en conclura que la quantité $f(b)-f(a)$ sera nécessairement positive si toutes les quantités

$f'(a),\quad f'\left(a+{\frac {b-a}{n+1}}\right),\quad f'\left(a+{\frac {2(b-a)}{n+1}}\right),$

$f'\left(a+{\frac {3(b-a)}{n+1}}\right),\quad \ldots ,\quad f'\left(a+{\frac {n(b-a)}{n+1}}\right)$

sont positives, en prenant $n$ aussi grand qu’on voudra.

Donc, à plus forte raison, la quantité $f(b)-f(a)$ sera positive, si $f'(x)$ est toujours une quantité positive, en donnant à $x$ toutes les