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valeurs possibles, depuis $x=a$ jusqu’à $x=b,$ puisque parmi ces valeurs se trouveront nécessairement les valeurs

$a,\quad a+{\frac {b-a}{n+1}},\quad a+{\frac {2(b-a)}{n+1}},\quad \ldots ,\quad a+{\frac {n(b-a)}{n+1}},$

en prenant $n$ aussi grand qu’on voudra.

39. À l’aide de ce lemme, on peut trouver des limites en plus et en moins de toute fonction primitive dont on connaît la fonction prime.

Soit la fonction primitive $\operatorname {F} (z)$ dont la fonction prime $\operatorname {F} '(z)$ soit exprimée par $z^{m}\mathrm {Z} ,$ $\mathrm {Z}$ étant une fonction donnée de $z.$ Soient $\mathrm {M}$ la plus grande et $\mathrm {N}$ la plus petite valeur de $\mathrm {Z}$ pour toutes les valeurs de $z$ comprises entre les quantités $a$ et $b,$ en regardant comme plus grandes les négatives moindres et comme moindres les négatives plus grandes, ce qui est conforme à la marche du calcul, puisque, par exemple, $-1>-2,\ -5>-7,$ et de même $-2<-1,$ et ainsi des autres. Donc les quantités $\mathrm {M-Z}$ et $\mathrm {Z-N}$ seront toujours positives depuis $z=a$ jusqu’à $z=b,$ et il en sera de même des quantités $z^{m}(\mathrm {M-Z} )$ et $z^{m}(\mathrm {Z-N} ).$

Donc : 1^o si l’on fait $f'(z)=z^{m}(\mathrm {M-Z} ),$ on aura, par le lemme précédent,

$f(b)-f(a)>0\,;$

or, $z^{m}\mathrm {Z}$ étant $\operatorname {F} '(z),$ sa fonction primitive sera $\operatorname {F} (z),$ et, comme $\mathrm {M}$ est une quantité constante, la fonction primitive de $\mathrm {M} z^{m}$ est ${\frac {\mathrm {M} z^{m+1}}{m+1}}\,;$ donc on aura

$f(z)={\frac {\mathrm {M} z^{m+1}}{m+1}}-\operatorname {F} (z),$

et, faisant successivement $z=a$ et $z=b,$ l’équation

$f(b)-f(a)>0$

donnera

${\frac {\mathrm {M} b^{m+1}}{m+1}}-\operatorname {F} (b)-{\frac {\mathrm {M} a^{m+1}}{m+1}}+\operatorname {F} (a)>0,$

d’où l’on tire

$\operatorname {F} (b)<\operatorname {F} (a)+{\frac {\mathrm {M} \left(b^{m+1}-a^{m+1}\right)}{m+1}}.$