Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 9.djvu/75

2^o Si l’on fait $f'(z)=z^{m}(\mathrm {Z-N} ),$ on aura aussi

$f(b)-f(a)>0,$

et l’on trouvera, comme ci-dessus,

$f(z)=\operatorname {F} (z)-{\frac {\mathrm {N} z^{m+1}}{m+1}}\,;$

donc, faisant successivement $z=a$ et $z=b,$ l’équation

$f(b)-f(a)>0$

donnera

$\operatorname {F} (b)-{\frac {\mathrm {N} b^{m+1}}{m+1}}-\operatorname {F} (a)+{\frac {\mathrm {N} a^{m+1}}{m+1}}>0,$

id’où l’on tire

$\operatorname {F} (b)>\operatorname {F} (a)+{\frac {\mathrm {N} \left(b^{m+1}-a^{m+1}\right)}{m+1}}.$

Appliquons ces résultats aux quantités $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots$ du n^o 35.

Comme ces quantités sont regardées comme des fonctions de $z,$ nous supposerons d’abord $\mathrm {P} =\operatorname {F} (z),$ et par conséquent.

$\mathrm {P} '=\operatorname {F} '(z)=f'(x-xz)\,;$

donc, puisqu’on a supposé $\operatorname {F} '(z)=z^{m}\mathrm {Z} ,$ prenant $m=0,$ on aura

$\mathrm {Z} =f'(x-xa).$

Faisons maintenant $a=0$ et $b=1\,;$ la condition de la fonction $\mathrm {P} ,$ qui doit être nulle lorsque $z=0,$ donnera $\operatorname {F} (a)=0,$ et alors $\operatorname {F} (b)$ sera la valeur de $\mathrm {P}$ répondant à $z=1$

Donc, si $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ sont la plus grande et la plus petite valeur de $f'(x-xz)$ relativement à toutes les valeurs de $z,$ depuis $z=0$ jusqu’à $z=1,$ on aura

$\operatorname {F} (b)<\mathrm {M} \quad {\text{et}}\quad >\mathrm {N} .$

Par conséquent, $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ seront les deux limites de la quantité $\mathrm {P} ,$ en y faisant $z=1.$

Supposons, en second lieu, $\mathrm {Q} =\operatorname {F} (z)\,;$ on aura

$\mathrm {Q} '=\operatorname {F} '(z)=zf''(x-xz)\,;$