Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 9.djvu/76

donc, faisant $m=1,$ on aura

$\mathrm {Z} =f''(x-xz).$

Soient pareillement $a=0$ et $b=1\,;$ on aura aussi, par la condition de la fonction $\mathrm {Q} ,$ qui doit être nulle lorsque $z$ est nul,

$\operatorname {F} (a)=0,$

et alors $\operatorname {F} (b)$ sera égale à la valeur de $\mathrm {Q}$ répondant à $z=1$

Donc, si $\mathrm {M} _{1}$ et $\mathrm {N} _{1}$ sont la plus grande et la plus petite valeur de $f''(x-xz)$ pour toutes les valeurs de $z,$ depuis $z=0$ jusqu’à $z=1,$ on aura

$\operatorname {F} (b)<{\frac {\mathrm {M} _{1}}{2}}\quad {\text{et}}\quad >{\frac {\mathrm {N} _{1}}{2}},$

de sorte que ${\frac {\mathrm {M} _{1}}{2}}$ et ${\frac {\mathrm {N} _{1}}{2}}$ seront les limites de la valeur $\mathrm {Q}$ lorsque $z$ y est égal à $1.$

Supposons, en troisième lieu, $\mathrm {R} =\operatorname {F} (z)\,;$ on aura

$\mathrm {R} '=\operatorname {F} '(z)={\frac {z^{2}}{2}}f'''(x-xz)\,;$

donc, faisant $m=2,$ $a=0,$ $b=1,$ on trouvera de la même manière que, si $\mathrm {M} _{2}$ et $\mathrm {N} _{2}$ sont la plus grande et la plus petite valeur de ${\frac {1}{2}}f'''(x-xz),$ en donnant à $z$ toutes les valeurs depuis zéro jusqu’à l’unité, on aura ${\frac {\mathrm {M} _{2}}{3}}$ et ${\frac {\mathrm {N} _{2}}{3}}$ pour les limites de la valeur de la quantité $\mathrm {R}$ lorsqu’on y fait $z=1$ Et ainsi de suite.

Maintenant il est clair que, en donnant à $z,$ dans une fonction de $x(1-z),$ toutes les valeurs depuis $z=0$ jusqu’à $z=1,$ les valeurs que recevra cette fonction seront les mêmes que celles que recevrait une pareille fonction de $u$ en donnant successivement à $u$ toutes les valeurs depuis $u=0$ jusqu’à $u=x,$ car, faisant $x(1-z)=u,$ $z=0$ donne $u=x,$ $z=1$ donne $u=0,$ et les valeurs intermédiaires de $z$ donneront des valeurs de $u$ intermédiaires entre celles-ci. D’où il est aisé de conclure que les quantités $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ seront la plus grande et la plus petite