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valeur de $f'(u)$ relativement à toutes les valeurs de $u,$ depuis $u=0$ jusqu’à $u=x,$ et que, par conséquent, toute valeur intermédiaire entre $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ pourra être exprimée par $f'(u),$ en donnant à $u$ une valeur intermédiaire entre $0$ et $x.$ Donc la valeur de la quantité $\mathrm {P}$ relative à $z=1$ pourra être exprimée par $f'(u),$ $u$ étant une quantité entre $0$ et $x.$ On en conclura de même que la valeur de $\mathrm {Q}$ répondant à $z=1$ pourra être exprimée par ${\frac {1}{2}}f''(u),$ en donnant à $u$ une valeur intermédiaire entre $0$ et $x,$ et l’on en conclura pareillement que la valeur de $\mathrm {R}$ relative à $z=1$ pourra être exprimée par ${\frac {1}{2.3}}f'''(u),$ en prenant pour $u$ une quantité entre $0$ et $x.$ Et ainsi de suite.

40. D’où résulte enfin ce théorème nouveau et remarquable par sa simplicité et sa généralité, qu’en désignant par $u$ une quantité inconnue, mais renfermée entre les limites $0$ et $x,$ on peut développer successivement toute fonction de $x$ et d’autres quantités quelconques suivant, les puissances de $x$ de cette manière,

${\begin{aligned}f(x)&=f+xf'(u)\\&=f+xf'+{\frac {x^{2}}{2}}f''(u)\\&=f+xf'+{\frac {x^{2}}{2}}f''+{\frac {x^{3}}{2.3}}f'''(u)\\&=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

les quantités $f,f',f'',\ldots$ étant les valeurs de la fonction $f(x)$ et de ses dérivées $f'(x),f''(x),\ldots ,$ lorsqu’on y fait $x=0.$

Ainsi, pour le développement de $f(z+x)$ suivant les puissances de $x,$ on aura

$f=f(z),\quad f'=f'(z),\quad f''=f''(z),\quad \ldots ,$

où l’on remarquera que les quantités $f'(z),f''(z),\ldots$ sont également les fonctions primes, secondes, etc. de $f(z),$ ce qui est évident ; car il est visible que $f'(z+x),f''(z+x),\ldots$ sont également les fonctions primes, secondes, etc. de $f(z+x),$ soit qu’on les prenne relativement