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« Déterminons donc la ligne au moyen de ces données, et occupons-nous de sa section. »

J’ai traduit textuellement cette petite introduction, puisque les paroles du célèbre géomètre arabe ne sont pas sans une certaine valeur historique. Pour la solution même qui suit, je ne vais en donner qu’un exposé succinct, afin de ne pas fatiguer le lecteur par la prolixité des démonstrations anciennes adoptée par les Arabes.

Faisons AD, ET, CZ, égales à BD et perpendiculaires à DZ, et joignons les points A, E, C, qui sont en ligne droite.

Faisons passer par E une hyperbole ayant CZ, ZD pour asymptotes. Elle coupera AD en un point K situé entre A et D.

Puis construisons une parabole dont l’axe soit DA, le sommet D, et le paramètre DB. Elle coupera AC en un point S, en sorte qu’on aura ${\overline {\text{AS}}}^{2}=AD.BD={\overline {\text{BD}}}^{2}$, donc $AS=BD$. Et puisque $AE=DT>DB$ (*^[1]), on aura $AE>AS$.

E sera donc situé en dehors de la parabole, tandis que K, comme point de son axe, sera situé dans l’intérieur de la parabole. Il s’ensuit que l’hyperbole et la parabole ont une intersection.

Abaissons du point d’intersection M une perpendiculaire sur OZ ; le pied H de cette perpendiculaire sera le point cherché.

Car, en menant par le point M une droite NML parallèle à DZ, on aura, en vertu de la parabole, ${\overline {\text{MN}}}^{2}=BD.DN$, ou ${\overline {\text{DH}}}^{2}=BD.MH$, donc 1) ${\overline {\text{BD}}}^{2}:{\overline {\text{DH}}}^{2}=BD:MH$.

Puis, en vertu de l’hyperbole, on a $ML:EC=ET:MH$, ou 2) $HZ:ZT=BD:MH$.

1. *) Puisque BZ > ZT, voir Archimède, éd. d’Oxf., p. 158, lig. 26 du texte grec.