On dit quelquefois, et on pense assez généralement, que les Grecs ont construit des équations du troisième degré ; mais cette opinion renferme, sinon une erreur, du moins une inexactitude. Il est vrai que les géomètres grecs ont résolu certains problèmes géométriques qui, ramenés à leur expression algébrique, conduisent à une équation du troisième degré, mais on conviendra sans doute qu’il est très différent de résoudre géométriquement un semblable problème, ou de reconnaître que ce problème dépend d’une équation cubique ; de traiter, entre autres problèmes de géométrie, quelques uns du troisième degré, ou d’énumérer systématiquement les formes des équations cubiques, de les construire une à une, et de discuter les cas particuliers que présentent ces solutions ; tout cela avec le but clairement prononcé (*[1]) de donner implicitement, au moyen de ces théorèmes généraux, la résolution de tel problème spécial qu’on voudra se proposer. C’est ce qui n’a été fait nulle part par les géomètres grecs, mais c’est ce qu’on trouve chez les Arabes, et notamment dans l’algèbre d’Alkhayyâmi.
En effet, pour construire les équations cubiques, les géomètres grecs auraient, avant tout, dû les connaître. Or, comme on ne trouve, dans aucun des ouvrages géométriques des Grecs, nulle trace d’algèbre, il est impossible de dire que les Grecs aient construit des équations du troisième degré.
Ce sont les Arabes qui ont le mérite d’avoir, les premiers, essayé d’appliquer l’algèbre à la géométrie, et vice versa ; d’avoir jeté les fondements de cette liaison du calcul avec la géométrie, qui, dans la suite, a éminemment contribué au développement des mathématiques (**[2]).
Notre auteur prend même à tâche de montrer (***[3]) comment ce progrès se fit chez les Arabes, et comment d’abord c’était Almâhâni qui, en partant d’un problème posé par les anciens, essaya de le résoudre en le ramenant à son expression algébrique. Ce premier essai ne fut pas couronné de succès ; mais bientôt d’autres géomètres furent plus heureux, et les constructions qu’ils donnèrent de plusieurs équations cubiques, auxquelles ils furent conduits par des problèmes qui n’étaient encore que particuliers, firent naître chez Alkhayyâmi la conception d’une théorie systématique des équations du troisième degré.
Disons quelques mots du problème qui servit de point de départ à des découvertes aussi intéressantes. Dans la cinquième proposition du second livre du Traité de la sphère et du cylindre, Archimède se propose le pro-
- ↑ *) Voir pag. 83, lig. 18.
- ↑ **) Par rapport à cette conception intime que les géomètres arabes cherchaient à établir entre les parties arithmétiques et les parties géométriques, des mathématiques on ne comparera peut-être pas sans intérêt le catalogue des ouvrages mathématiques d’Ibn Alhait haim, donné par cet auteur même, dans le passage que j’ai extrait d’Ibn Alâ Oçaïbish ; voir p. 73.
- ↑ ***) Voir pag. 7 et 8, et comparer Addition B, pag. 96. Voir aussi pag. 43, 54 et 81 uit. sqq.
