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triangles $DCE,$ $HFG,$ égaux aux précédents. D’après cela ${\frac {1}{2}}(S-\pi )$ sera la mesure du quadrilatère $ABCD,$ et en même temps aussi celle du triangle sphérique dont la somme des trois angles est égale à $S.$

28 — Lorsque trois plans se coupent deux à deux suivant des droites parallèles, la somme des trois angles dièdres est égale à deux angles droits.

Soient $AA^{\prime },\,BB^{\prime },\,CC^{\prime }$ (fig. 20), les trois parallèles formées par les intersections des trois plans (prop. 25). Prenons à volonté sur ces droites trois points $A,\,B,\,C,$ et imaginons que l’on mène par ces points un plan qui coupera les plans des parallèles suivant les droites $AB,$ $AC,$ $BC.$ Menons, de plus, par la ligne $AC$ et par un point quelconque $D$ de la ligne $BB^{\prime },$ un nouveau plan qui coupera le plan
Fig. 20 des parallèles $AA^{\prime },\,BB^{\prime }$ suivant la droite $AD,$ et le plan des parallèles $CC^{\prime },\,BB^{\prime }$ suivant la droite $CD,$ et qui fera avec le troisième plan des parallèles $AA^{\prime },\,CC^{\prime }$ un angle que nous désignerons par $w.$ Soient $X,\,Y,\,Z$ les angles dièdres des trois plans, suivant les arêtes $AA^{\prime },\,BB^{\prime },\,CC^{\prime }$ respectivement. Soient enfin les angles plans $BDC=a,$ $ADC=b,$ $ADB=c.$ Imaginons que, du point $A$ comme centre, on décrive une surface sphérique dont les intersections avec les droites $AC,\,AD,\,AA^{\prime }$ déterminent un triangle sphérique ayant pour côtés $p,\,q,\,r,$ pour surface $\alpha ,$ et pour angles $w$ opposé au côté $q,$ $X$ opposé au côté $r,$ et par suite $\pi +2\alpha -w-X$ opposé au côté $p$ (prop. 27). De même $CA,\,CD,\,CC^{\prime }$ couperont la sphère de centre $C,$ en déterminant un triangle de surface $\beta$ dont les côtés seront $p^{\prime },\,q^{\prime },\,r^{\prime },$ et les angles $w$ opposé à $q^{\prime },$ $Z$ opposé à $r^{\prime },$ et par suite $\pi +2\beta -w-Z$ opposé à $p^{\prime }.$ Enfin $DA,$