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En substituant ici la valeur (prop. 35)

${\frac {\cos \Pi (b)}{\cos \Pi (\alpha )}}=\cos \Pi (c),$

il vient

$\operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}\Pi (c)=\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\Pi (c-\beta )\,\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\Pi (c+\beta ).$

$\beta$ étant ici un nombre arbitraire, puisque l’on peut choisir à volonté l’angle $\Pi (\beta )$ du côté $a$ avec le côté $c,$ entre les limites $0$ et ${\frac {1}{2}}\pi ,$ et par suite $\beta$ entre les limites $0$ et $\infty ,$ on en conclura, en faisant successivement $\beta =\,c,\,2c,\,3c,\dots ,$ que l’on a, pour toute valeur positive du nombre $n,$

$\operatorname {tang} ^{n}{\frac {1}{2}}\Pi (c)=\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\Pi (nc).$

Considérons maintenant $n$ comme le rapport de deux lignes $x$ et $c,$ et admettons que l’on ait

$\operatorname {cot} {\frac {1}{2}}\Pi (c)=e^{c}\,:$

on trouvera que, pour toute ligne $x$ en général, positive ou négative, on a

$\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\Pi (x)=e^{-x},$

$e$ pouvant être un nombre quelconque plus grand que l’unité, puisque l’on a $\Pi (x)=0$ pour $x=\infty .$

Comme l’unité qui sert à mesurer les lignes est arbitraire, on peut faire en sorte que $e$ représente la base des logarithmes de Neper.

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