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mais que l’égalité

c

(fig. 1)

=c

(fig. 2)

doit être démontrée ?

Il me semble qu’à cause de la valeur arbitraire laissée aux angles, cette démonstration n’est pas indispensable.

Tels sont les principes de la démonstration sur laquelle j’attends votre jugement. J’ajouterai seulement, pour justifier mon raisonnement, qu’il est bien vrai que la seconde opération fait disparaître le triangle $ABC\,:$ mais elle ne fait pas disparaître les angles du triangle. De quelque manière que les lignes soient situées, on a toujours

IBH=\beta ,\qquad GCF=\gamma ,\qquad DAE=\alpha ,

aussi bien dans le triangle fini que dans le triangle évanouissant ; la somme

IAH+GAF+DAE

est donc toujours égale à la somme des angles d’un triangle rectiligne.

Ainsi, on démontrera la proposition pour un triangle quelconque $($ dont les angles sont $A,\,B,\,C),$ en tirant les lignes $DG,\,EH,$ de façon que l’on ait

\alpha =A,

et faisant, de plus,

IAH=B,\qquad GAF=C.

Si alors $IAF$ n’était pas une ligne droite, mais une ligne brisée $IAF^{\prime },$ l’angle $c$ se trouverait, il est vrai, plus petit de $\mathrm {d} c\,;$ mais l’angle $b$ serait plus grand d’autant, et, par suite, la somme de ces angles n’aurait pas changé, et nous aurions ce qui nous est nécessaire pour la démonstration, l’égalité

b+c

(fig. 1)

=b+c

(fig. 2).

Copenhague, 3 mai 1831.

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