parce qu’aussi, pour vérifier expérimentalement l’invariabilité de la forme des corps et l’exactitude des figures du plan et de la ligne droite que nous rencontrons dans les corps solides, il nous faut employer précisément les propositions géométriques elles-mêmes, dont il s’agit d’établir une sorte de démonstration expérimentale.
D’un autre côté, on peut se convaincre, avec un peu de réflexion, comme le montrera la suite de cette Note, que la série des axiomes géométriques, que l’on pose habituellement dans la Géométrie élémentaire, est insuffisante, et qu’en réalité on suppose encore tacitement une suite de plusieurs autres faits. On a bien cherché, dans des Traités récents, à compléter les axiomes d’Euclide ; mais on manquait d’un principe qui pût faire reconnaître si la lacune était comblée. Comme nous ne pouvons nous représenter clairement que des relations d’étendue telles qu’il est possible d’en figurer dans l’espace réel, cette clarté d’intuition nous jette facilement dans l’illusion de regarder comme une chose évidente par elle-même ce qui est véritablement une propriété particulière, et sans évidence intrinsèque, du monde extérieur en présence duquel nous vivons.
On surmonte cette difficulté à l’aide de la Géométrie analytique, dont les calculs reposent sur de pures idées de grandeur, et qui n’emploie dans ses démonstrations aucune intuition visuelle. On pourrait donc, pour décider la question qui nous occupe, la ramener à la recherche de celles des propriétés analytiques de l’espace et des grandeurs étendues, que l’on a dû admettre au commencement de la Géométrie analytique, comme base de ses propositions.
J’avais entrepris cet examen, et j’étais déjà parvenu aux principaux résultats, lorsqu’a paru la Leçon d’habilitation de Riemann Sur les hypothèses qui servent de fondement à la Géométrie, dans laquelle le même sujet est étudié à un point de vue qui ne diffère pas essentiellement du mien. J’ai appris à cette occasion que Gauss s’était aussi occupé de cette même question, et que son célèbre Mémoire sur la courbure des surfaces formait une partie de ces recherches, la seule qu’il ait publiée.
Riemann commence par expliquer comment les propriétés générales de l’espace, sa continuité, la multiplicité de ses dimensions peuvent s’exprimer analytiquement, en ramenant la détermination
