Page:Poisson - Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile, 1837.djvu/147

la quantité $\mathrm {Y}$ soit une fonction de $z$, qui n’a de valeurs sensibles que pour de très petites valeurs de cette variable, positives ou négatives. La courbe plane dont $x$ et $\mathrm {Y}$ sont les coordonnées courantes, ne s’écartera sensiblement de l’axe des abscisses $x$, que dans un très petit intervalle, de part et d’autre de l’ordonnée qui répond à ${x=r}$ ; le centre de gravité de l’aire de cette course tombera donc dans cet intervalle ; par conséquent l’abscisse de ce point diffèrera très peu de $r$ ; et en négligeant cette différence, $r$ sera la valeur de la quantité $\gamma$ du n^o 45.

Cela posé, les limites des intégrales relatives à $z$ seront les valeurs ${z=-r}$ et ${z=1-r}$, qui répondent à ${x=0}$ et ${x=1}$ ; si donc on fait ${m'=1}$, ${n'=0}$, ${dx=dz}$, dans la première expression de $\varpi '$ du numéro précédent, il en résultera

$\varpi '={\frac {\displaystyle \int _{-r}^{1-r}\mathrm {Y} x^{m+1}(1-x)^{n}dz}{\displaystyle \int _{-r}^{1-r}\mathrm {Y} x^{m}(1-x)^{n}dz}}$,

pour la probabilité que G arrivera une fois, après avoir eu lieu $m$ fois, et l’événement contraire $n$ fois, dans ${m+n}$ épreuves. Mais, par la nature du facteur Y compris sous les signes ${\textstyle \int }$, on peut, si l’on veut, borner ces intégrales à des valeurs très petites de $z$. Alors, en développant les autres facteurs en séries ordonnées suivant les puissances de $z$ ; ces séries seront généralement très convergentes : il n’y aurait d’exception que si $r$ ou ${1-r}$ était aussi une très petite fraction ; dans tout autre cas, il nous suffira d’en conserver les premiers termes ; et en négligeant le carré de $z$, nous aurons

${\begin{aligned}&\qquad x^{m}(1-x)^{n}=r^{m}(1-r)^{n}+[mr^{m-1}(1-r)^{n}-nr^{m}(1-r)^{n-1}]z\\&{+}{\tfrac {1}{2}}[m(m{-}1)r^{m-2}\!(1{-}r)^{n}{-}2mnr^{m-1}\!(1{-}r)^{n-1}{+}n(n{-}1)r^{m}\!(1{-}r)^{n-2}]z^{2}\,;\end{aligned}}$

d’où l’on déduira la valeur de ${x^{m+1}\,(1-x)^{n}}$, en y mettant ${m+1}$ au lieu de $m$.

Je substitue ces valeurs de ${x^{m}\,(1-x)^{n}}$ et de ${x^{m+1}\,(1-x)^{n}}$ dans l’expression de $\varpi '$ ; j’observe que l’on a

$\int _{-r}^{1-r}\mathrm {Y} dz=1$,$\int _{-r}^{1-r}\mathrm {Y} zdz=0$ ;