Page:Poisson - Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile, 1837.djvu/348

zéro, et $\gamma _{i}$ la probabilité que l’accusé sera condamné par ${n-i}$ et absous par $i$ jurés.

Pour que cet événement composé arrive, il faudra que l’accusé étant coupable, ${n-i}$ jurés ne se trompent pas et $i$ jurés se trompent, ou bien que l’accusé n’étant pas coupable, ${n-i}$ jurés se trompent et $i$ ne se trompent pas. La probabilité du premier cas sera le produit ${ku^{n-i}(1-u)^{i}}$, multiplié par le nombre de fois qu’on peut prendre les $i$ jurés qui se tromperont, sur le nombre $n$ de tous les jurés ; celle du second cas sera de même le produit ${(1-k)u^{i}(1-u)^{n-i}}$, multiplié par le nombre de fois qu’on peut prendre les ${n-i}$ jurés qui se tromperont sur ce nombre total $n$ ; lequel nombre de fois est le même que dans le premier cas, et égal au nombre de combinaisons différentes de $n$ choses prises $i$ à $i$, ou ${n-i}$ à ${n-i}$. En le désignant par $\mathrm {N} _{i}$, on aura

$\mathrm {N} _{i}={\frac {n\,{.}\,n-1\,{.}\,n-2\ldots n-i+1}{1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots i}}$,

et il en résultera

$\gamma _{i}=\mathrm {N} _{i}[ku^{n-i}(1-u)^{i}+(1-k)u^{i}(1-u)^{n-i}]$,

(4)

pour la valeur complète de $\gamma _{i}$.

Si l’on suppose ${n-i>i}$, et qu’on fasse

$n-2i=m$,

l’accusé aura été condamné à la majorité de $m$ voix. Lorsque $i$ jurés l’auront condamné et que les ${n-i}$ autres l’auront absous, il aura été acquitté à cette majorité de $m$ voix ; la probabilité de cet acquittement, que je désignerai par $\delta _{i}$, se déduira de la valeur de $\gamma _{i}$ en y permutant les nombres ${n-i}$ et $i$, ce qui ne changera rien au coefficient $\mathrm {N} _{i}$. On aura donc

$\delta _{i}=\mathrm {N} _{i}[ku^{i}(1-u)^{n-i}+(1-k)u^{n-i}(1-u)^{i}]$.

(5)

En ajoutant ces deux dernières équations, il vient

$\gamma _{i}+\delta _{i}=\mathrm {N} _{i}[u^{n-i}(1-u)^{i}+u^{i}(1-u)^{n-i}]$ ;