Apollon (l’autre est Archytas ; il l’a résolu par le tore). Ménechme a résolu ce problème par les coniques (deux paraboles, ou une parabole et une hyperbole). Il me paraît donc non douteux qu’il les a inventées à cet effet. Or le problème de la duplication du cube se ramène à celui de trouver deux moyennes proportionnelles entre deux quantités connues.
Il est facile d’imaginer le processus de la découverte. Car le cône est constitué par un cercle de diamètre variable, et la parabole fournit la série de toutes les moyennes proportionnelles entre un terme fixe et un autre variable.
On a donc une série continue de problèmes : proportion à quatre termes dont un inconnu — progression géométrique à trois termes dont celui du milieu inconnu — progression à quatre termes dont les deux termes moyens inconnus.
Comme les propriétés du triangle rectangle permettaient de résoudre les problèmes du 2e degré, celles des coniques permettaient de résoudre ceux du 3e et 4e.
À remarquer qu’alors que nous résolvons les équations en supposant que les expressions , etc., ont un sens, les Grecs leur donnaient un sens avant de s’attaquer aux équations de degré correspondant.
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{\phantom {x}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ae2b757be2b7b64fc94f766044ff8cce2145179)
À remarquer aussi que l’assimilation de l’inconnue à une variable remonte à tout le moins à Ménechme, sinon plus haut. On ne peut guère supposer que les Babyloniens, avec leurs équations numériques, aient eu cette notion. Les Grecs du ve siècle possédaient la notion de fonction et celle de la représentation des fonctions par des lignes. L’histoire de Ménechme donne l’impression que les courbes étaient pour eux un moyen d’étudier des fonctions, bien plutôt qu’un objet d’étude.
