Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin/Sur l’attraction des Sphéroïdes elliptiques

Joseph-Louis Lagrange

Sur l’attraction des Sphéroïdes elliptiques

Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin, Gauthier-Villars, 1868, Œuvres de Lagrange. Tome III (p. 619-658).

SUR L’ATTRACTION
DES
SPHÉROÏDES ELLIPTIQUES.

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(Nouveaux Mémoires de l’Académie royale des Sciences et Belles-Lettres
de Berlin, année 1773.)

Quelques avantages que l’Analyse algébrique ait sur la méthode géométrique des Anciens, qu’on appelle vulgairement, quoique fort improprement, synthèse, il est néanmoins des Problèmes où celle-ci paraît préférable, tant par la clarté lumineuse qui l’accompagne, que par l’élégance et la facilité des solutions qu’elle donne. Il en est même pour lesquels l’analyse algébrique paraît en quelque sorte insuffisante, et où il semble que la méthode synthétique soit seule capable d’atteindre.

Le Problème où il s’agit de déterminer l’attraction qu’un sphéroïde elliptique exerce sur un point quelconque placé sur sa surface, ou dans son intérieur, est de cette espèce. M. Maclaurin, qui a le premier résolu ce Problème dans son excellente Pièce sur le flux et le reflux de la mer, couronnée par l’Académie des Sciences de Paris en 1740, a suivi une méthode purement géométrique, et fondée uniquement sur quelques propriétés de l’ellipse et des sphéroïdes elliptiques ; et il faut avouer que cette partie de l’Ouvrage de M. Maclaurin est un chef-d’œuvre de Géométrie, qu’on peut comparer à tout ce qu’Archimède nous a laissé de plus beau et de plus ingénieux. Comme M. Maclaurin avait une sorte de prédilection pour la méthode des Anciens, il n’est pas surprenant qu’il l’ait employée dans la solution du Problème dont nous venons de parler ; mais il l’est extrêmement, ce me semble, qu’un Problème aussi important que celui-là n’ait pas été résolu depuis d’une manière directe et analytique, surtout dans ces derniers temps où l’Analyse est devenue d’un usage si commun et si général. On lie peut, je crois, en attribuer la cause qu’aux difficultés de calculs que la solution de cette question doit renfermer lorsqu’on l’envisage sous un point de vue purement analytique. Ce n’est pas qu’il ne soit aisé de trouver, et que même différentes Géomètres n’aient déjà donné des formules générales pour déterminer l’attraction qu’un corps de figure quelconque exerce sur un point placé où l’on voudra ; mais la grande difficulté consiste dans l’intégration de ces formules, et il paraît qu’on n’a pu y réussir jusqu’à présent qu’en se bornant à l’hypothèse que le solide soit très-peu différent d’une sphère. On trouve à la vérité dans les Ouvrages de M. Thomas Simpson une solution purement analytique du Problème de M. Maclaurin, dans laquelle on ne suppose point que le sphéroïde elliptique soit à très-peu près sphérique ; mais d’un autre côté cette solution a le défaut de procéder par le moyen des séries, ce qui la rend non-seulement longue et compliquée, mais encore peu directe et peu rigoureuse.

Je me propose dans ce Mémoire de faire voir que bien loin que le Problème dont il s’agit se refuse à l’Analyse, il peut être résolu par ce moyen d’une manière, sinon plus simple, du moins plus directe et plus générale que par la voie de la synthèse ; ce qui servira à détruire un des principaux argumentes que les détracteurs de l’Analyse puissent apporter pour la rabaisser et pour prouver la supériorité de la méthode synthétique des Anciens.

Problème I.

1. Trouver l’expression générale cle l’attraction qu’un corps de figure donnée exerce sur un point placé où l’on voudra, en supposant que chaque particule du corps attire le même point comme une fonction quelconque de la distance.

Soient $a,b,c$ les trois coordonnées rectangles qui déterminent la position du point donné par rapport à trois axes fixes pris à volonté, et soient de même $x,y,z$ les trois coordonnées rectangles qui déterminent la position d’une particule $\alpha$ du corps par rapport aux mêmes axes, il est clair que la distance entre cette particule et le point attiré étant nommée $r,$ on aura

$r={\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}}}\,;$

donc désignant, en général, par $\mathrm {R}$ la fonction de $r$ à laquelle l’attraction est supposée proportionnelle, on aura $\alpha \mathrm {R}$ pour l’attraction exercée par la particule $\alpha$ suivant la direction de la ligne $r\,;$ et il est facile de voir que pour décomposer cette attraction suivant les directions des lignes $a,b,c$ perpendiculaires entre elles et parallèles aux trois axes fixes, il n’y aura qu’à la multiplier respectivement par

${\frac {x-a}{r}},\quad {\frac {y-b}{r}},\quad {\frac {z-c}{r}}\,;$

de plus il est visible que la particule $\alpha$ peut être représentée par le parallélépipède infiniment petit $dxdydz\,;$ ainsi l’on aura ces trois attractions élémentaires

${\frac {\mathrm {R} (x-a)}{r}}dxdydz,\quad {\frac {\mathrm {R} (y-b)}{r}}dxdydz,\quad {\frac {\mathrm {R} (z-c)}{r}}dxdydz,$

et il ne s’agira plus que de les intégrer en sorte que l’intégration s’étende à tous les points du corps.

Pour cela on commencera par intégrer en faisant varier une seule des trois coordonnées $x,y,z,$ comme $z,$ et l’on étendra cette intégrale jusqu’aux valeurs extrêmes de $z$ qui répondent à la surface du corps ; or la figure du corps étant donnée on aura une équation entre $x,y,z,$ pour exprimer la surface de ce corps, et par laquelle on pourra déterminer les valeurs extrêmes de $z$ en $x$ et $y\,;$ de sorte qu’après ces substitutions il n’y aura plus que deux variables $x$ et $y\,;$ on intégrera donc une seconde fois en faisant varier une seule d’entre elles comme $y,$ et il faudra de nouveau étendre l’intégrale jusqu’aux valeurs extrêmes de $y$ qu’on trouvera en cherchant la plus grande et la plus petite valeur de $y$ lorsque $x$ est constant et $z$ variable dans l’équation à la surface ; moyennant quoi ces valeurs de $y$ seront données en $x$ seul ; et il n’y aura plus qu’à intégarer par rapport à cette dernière variable, et à étendre l’intégrale aux valeurs extrêmes de $x,$ c’est-à-dire à la plus grande et à la plus petite valeur de $x,$ lorsque $y$ et $z$ sont supposées variables à la fois dans l’équation donnée.

2. Remarque. — Quoique les formules que nous venons de trouves soient celles qui se présentent le plus naturellement, ce ne sont cependant pas celles qui sont les plus commodes pour le calcul.

Pour en donner un exemple, prenons le cas où le corps attirant serait une sphère, et où l’attraction se ferait en raison inverse des carrés des distances ; on aura donc

$\mathrm {R} ={\frac {1}{r^{2}}},$

ce qui donnera ces trois formules

${\frac {(x-a)dxdydz}{r^{3}}},\quad {\frac {(y-b)dxdydz}{r^{3}}},\quad {\frac {(z-c)dxdydz}{r^{3}}},$

qu’il faudra intégrer suivant les conditions énoncées dans lé numéro précédent, et comme la surface du corps est supposée sphérique, si l’on prend, ce qui est permis, l’origine des coordonnées $x,y,z$ dans le centre même de la sphère, et qu’on nomme $f$ le rayon, on aura pour l’équation à la surface

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=f^{2},$

par où l’on déterminera l’une des coordonnées par les deux autres.

Considérons d’abord l’expression de la force qui agit suivant l’ordonnée $z,$ savoir

${\frac {(z-c)dxdydz}{r^{3}}}\,;$

si on l’intègre en ne faisant varier que $z$ on aura, à cause de

$r={\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}}},$

la quantité

${\frac {dxdy}{r}},$

ou l’équation

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=f^{2}$

donne

$z=\pm {\sqrt {f^{2}-x^{2}-y^{2}}},$

en sorte que les deux valeurs extrêmes de $z$ sont

$+{\sqrt {f^{2}-x^{2}-y^{2}}}\quad {\text{et}}\quad -{\sqrt {f^{2}-x^{2}-y^{2}}}\,;$

ainsi pour compléter l’intégrale ${\frac {dxdy}{r}}$ il faudra la prendre en sorte qu’elle soit nulle lorsque

$z=-{\sqrt {f^{2}-x^{2}-y^{2}}},$

et qu’elle finisse quand

$z=+{\sqrt {f^{2}-x^{2}-y^{2}}},$

ce qui donnera donc, en faisant, pour abréger,

$a^{2}+b^{2}+c^{2}=g^{2},$

l’intégrale complète

${\frac {dxdy}{\sqrt {f^{2}+g^{2}-2ax-2by-2c{\sqrt {f^{2}-x^{2}-y^{2}}}}}}$

$-{\frac {dxdy}{\sqrt {f^{2}+g^{2}-2ax-2by+2c{\sqrt {f^{2}-x^{2}-y^{2}}}}}}.$

Il faudrait maintenant intégrer de nouveau ces quantités en faisant varier $x$ ou $y\,;$ mais c’est ce qui ne paraît pas aisé à cause des deux signes radicaux qui y entrent.

On rencontrera les mêmes difficultés si l’on veut intégrer les deux autres formules qui donnent les forces parallèles aux coordonnées $x$ et $y\,;$ de sorte qu’en s’y prenant de la manière ci-dessus il sera presque impossible de déterminer l’attraction d’une sphère sur un point placé dans un endroit quelconque ; cependant on sait que ce Problème est très-facile à résoudre lorsqu’on suppose la sphère partagée en une infinité de petits cylindres ayant tous pour axe la ligne qui joint le point attiré et le centre de la sphère, et qu’on cherche d’abord l’attraction exercée par chacun de ces petits cylindres, et ensuite la somme de toutes ces attractions, par l’intégration.

On voit donc par là combien il est important dans cette recherche d’employer à la place des trois coordonnées rectangles $x,y,z,$ d’autres variables qui puissent faciliter les intégrations qu’elle demande. Nous allons donner dans le Problème suivant les principes nécessaires pour cet objet.

Problème II.

3. Supposons qu’on ait la différentielle $\mathrm {P} dxdydz,$ où $\mathrm {P}$ soit une fonction donnée de $x,y,z,$ et qui doive être intégrée trois fois en faisant varier successivement les changeantes $x,y,z,$ et en observant les conditions énoncées dans le Problème I ; on propose d’introduire à la place de ces changeantes trois autres changeantes $p,q,r,$ qui soient des fonctions données de celles-là.

Puisque $p,q,r$ sont supposées des fonctions de $x,y,z,$ on aura aussi réciproquement $x,y,z$ exprimées par des fonctions de $p,q,r\,;$ on fera donc d’abord ces substitutions dans la quantité $\mathrm {P} ,$ ce qui la réduira à une fonction de $p,q,r,$ et il n’y aura de difficulté que par rapport à la quantité $dxdydz.$

Qu’on cherche par la différentiation les valeurs des différences $dx,dy,dz,$ et l’on aura, en général,

${\begin{aligned}dx=&\mathrm {A} dp+\mathrm {B} dq+\mathrm {C} dr,\\dy=&\mathrm {D} dp+\mathrm {E} dq+\mathrm {F} dr,\\dz=&\mathrm {G} dp+\mathrm {H} dq+\mathrm {I} dr,\end{aligned}}$

$\mathrm {A,B,C} ,$ étant des fonctions connues de $p,q,r\,;$ or il est facile de comprendre que pour avoir la valeur de $dxdydz,$ on ne doit pas multiplier ensemble les valeurs précédentes de $dx,dy,dz\,;$ car alors la différentielle $\mathrm {P} dxdydz$ contiendrait des termes où les différences $dp,dq,dr$ se trouveraient élevées au carré ou au cube, en sorte que la triple intégration qui doit se faire relativement aux trois variables $p,q,r$ ne pourrait

plus avoir lieu ; d’ailleurs, comme $dxdydz$ exprime l’élément de la solidité du corps, il est clair que quelles que soient les variables $p,q,r$ qu’on introduira à la place des variables $x,y,z,$ cet élément ne pourra être représenté que par le produit $dpdqdr$ des trois différences $dp,dq,dr$ multiplié par une fonction quelconque de $p,q,r.$ Je considère donc que dans l’expression du parallélépipède $dxdydz,$ la différence $dz$ doit être prise tandis que $x$ et $y$ demeurent constants ; qu’ensuite la différence $dy$

doit être prise en regardant $x$ et $z$ comme constants, et qu’enfin la différence $dx$ doit être prise en supposant $dy$ et $dz$ nuls ; donc :

1^o Pour avoir la valeur de $dz,$ on fera $dx=0$ et $dy=0,$ ce qui donnera

${\begin{aligned}&\mathrm {A} dp+\mathrm {B} dq+\mathrm {C} dr=0,\\&\mathrm {D} dp+\mathrm {E} dq+\mathrm {F} dr=0,\end{aligned}}$

d’où l’on tirera $dp$ et $dq$ en $dr,$ savoir

$dp=\mathrm {\frac {BF-CE}{AE-BD}} dr,\quad dq=\mathrm {\frac {CD-AF}{AE-BD}} dr,$

et substituant ces valeurs dans l’expression de $dz,$ on aura

$dz=\mathrm {\frac {G(BF-CE)+H(CD-AF)+I(AE-BD)}{AE-BD}} dr.$

2^o Pour avoir la valeur de $dy,$ on fera $dx=0$ et $dz=0,$ ce qui donnera

$dr=0,\quad \mathrm {A} dp+\mathrm {B} dq=0,$

d’où l’on tire

$dp=-{\frac {\mathrm {B} dq}{\mathrm {A} }},$

et substituant ces valeurs dans l’expression de $dy,$ on aura

$dy=\mathrm {\frac {AE-BD}{A}} dq.$

3^o Enfin pour avoir la valeur de $dx,$ on fera $dy=0$ et $dz=0,$ ce qui donne

$dr=0,\quad dq=0,$

en sorte qu’on aura

$dx=\mathrm {A} dp.$

Maintenant, multipliant ensemble ces valeurs, on aura

$dxdydz=\mathrm {\left[G(BF-CE)+H(CD-AF)+I(AE-BD)\right]} dpdqdr,$

ou l’on observera que la quantité

$\mathrm {G(BF-CE)+H(CD-AF)+I(AE-BD)}$

ou bien

$\mathrm {AEI+BFG+CDH-AFH-BDI-CEG}$

demeure la même, ou change tout au plus de signe, en échangeant respectivement entre eux les trois systèmes de quantités $\mathrm {A,B,C\,;\ D,E,F} \,;$$\mathrm {G,H,I} \,;$ de sorte qu’on aura le même résultat si, au lieu de chercher d’abord comme nous l’avons fait la valeur de $dz,$ ensuite celle de $dy$ et de $dx,$ on voulait commencer par chercher celle de $dy$ ou de $dx,$ et ensuite celle d’une quelconque des deux autres différentielles. Il ne pourra y avoir de différence que dans le signe, mais elle ne sera ici d’aucune conséquence, puisqu’il est indifférent de prendre l’élément $\alpha =dxdydz$ en plus ou en moins ; cependant, comme il est plus naturel de regarder cette quantité comme positive, on aura toujours soin de prendre la valeur de $\alpha$ positivement ; c’est pourquoi nous supposerons, en général,

$\alpha =\pm (\mathrm {AEI+BFG+CDH-AFH-BDI-CEG} )dpdqdr.$

4. Corollaire. — Une des transformations les plus utiles et les plus ordinaires est d’introduire à la place des coordonnées rectangles $x,y,z$ un rayon vecteur $r$ partant d’un point fixe qu’on nomme le centre des rayons, avec deux angles $p$ et $q$ qui déterminent la position de ce rayon ; et dont l’un $p$ soit celui que le même rayon fait avec un des axes des coordonnées comme avec l’axe des $z$ ou bien avec un axe parallèle à celui-ci, mais passant par le centre des rayons ; et dont l’autre $q$ soit l’angle que la projection du rayon $r$ sur le plan des coordonnées $x,y$ fait avec l’axe des $x,$ ou, ce qui est la même chose, avec un axe parallèle à celui-ci et passant par le centre des rayons. Si l’on dénote par $a,b,c$ les coordonnées rectangles qui déterminent la position arbitraire du centre, il est visible qu’on aura d’abord

$r={\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}}}\,;$

ensuite on trouvera facilement

$\sin p={\frac {\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}}{r}},\quad \sin q={\frac {y-b}{\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}}},$

d’où l’on tire

$x-a=r\sin p\cos q,\quad y-b=r\sin p\sin q,\quad z-c=r\cos p\,;$

et différentiant

${\begin{aligned}dx=&r(\cos p\cos qdp-\sin p\sin qdq)+\sin p\cos qdr,\\dy=&r(\cos p\sin qdp-\sin p\cos qdq)+\sin p\sin qdr,\\dz=&-r\sin pdp+\cos pdr\,;\end{aligned}}$

ce qui donne par la comparaison des termes

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {A} =&r\cos p\cos q,\qquad &\mathrm {B} =&-r\sin p\sin q,\qquad &\mathrm {C} =&\sin p\cos q,&\\\mathrm {D} =&r\cos p\sin q,&\mathrm {E} =&r\sin p\cos q,&\mathrm {F} =&\sin p\sin q,&\\\mathrm {G} =&-r\sin p,&\mathrm {H} =&0,&\mathrm {I} =&\cos p\,&;\end{alignedat}}$

d’où l’on tire d’abord

$\mathrm {BF-CE} =-r\sin ^{2}p,\quad \mathrm {AE-BD} =r^{2}\sin p\cos p\,;$

de sorte qu’à cause de $\mathrm {H} =0,$ on aura

${\begin{aligned}&\mathrm {EI+BFG+CDH-AFH-BDI-CEG=(BF-CE)G+(AE-BD)I} \\&\quad =r^{2}\sin ^{3}p+r^{2}\sin p\cos ^{2}p=r^{2}\sin p\,;\end{aligned}}$

par conséquent on aura, en prenant le signe $+,$

$\alpha =dxdydz=r^{2}\sin pdpdqdr.$

Cette expression de $\alpha$ qui est, comme on voit, assez simple, peut aussi se

trouver directement sans aucun calcul, mais nous avons préféré de la déduire de notre formule générale pour en faire, voir l’usage.

5. Remarque. — Supposons maintenant qu’on ait un corps d’une figure finie et continue, dont la surface soit exprimée par une équation entre les coordonnées $x,y,z$ qu’on transformera aisément en une autre entre le rayon $r$ et les angles $p$ et $q,$ et qu’il s’agisse d’intégrer la différentielle $\mathrm {P} \alpha$ en sorte que l’intégrale s’étende à toute la masse du corps ; il faudra faire varier successivement les quantités $r,p,q,$ et intégrer par rapport à chacune d’elles en particulier ; mais pour cela on doit distinguer deux cas suivant que le centre des rayons $r$ est placé au dehors ou au dedans du corps.

1^o Lorsque le centre des rayons est hors du corps, il est clair que les angles $p$ et $q$ ne peuvent augmenter que jusqu’à un certain point ; et l’on trouvera leurs limites en cherchant les points où le rayon $r$ touche la surface du corps, c’est-à-dire où ${\frac {dr}{dp}}=\infty$ et ${\frac {dr}{dq}}=\infty .$ En général, il est visible que puisque le rayon $r$ traverse le corps entier, l’équation qui exprime la surface de ce corps doit donner, pour chaque valeur de $p$ et $q,$ deux valeurs de $r,$ que nous dénoterons par $r'$ et $r'',$ et qui répondent aux deux points de la surface, lesquels sont dans une même ligne droite avec le centre des rayons. On commencera donc par intégrer la différentielle $\mathrm {P} \alpha$ en faisant varier $r$ seul, et l’on prendra l’intégrale en sorte qu’elle commence au point où $r=r'$ et finisse à celui où $r=r'',$ c’est-à-dire qu’on prendra la différencce des intégrales qui répondent à $r=r''$ et à $r=r'\,;$ or il est clair que les points où le rayon $r$ touche la surface du corps sans la couper sont nécessairement ceux où les deux racines $r'$ et $r''$ deviennent égales ; ainsi, faisant $r'=r''$ on aura une équation entre $p$ et $q,$ qui déterminera l’étendue qu’on peut donner à ces angles, et d’où l’on tirera aussi deux valeurs de $p$ en $q,$ que nous dénoterons de même par $p'$ et $p''\,;$ c’est pourquoi il faudra intégrer de nouveau l’intégrale précédente en y faisant varier $p$ seul, et prendre la nouvelle intégrale en sorte qu’elle commence où $p=p'$ et qu’elle finisse où $p=p''\,;$ enfin on fera $p'=p'',$ ce qui donnera une équation en $q$ seul, laquelle aura aussi nécessairement deux racines $q'$ et $q''\,;$ ainsi l’on intégrera pour la troisième fois en faisant varier $q,$ et l’on prendra l’intégrale en sorte qu’elle commence où $q=q'$ et qu’elle finisse où $q=q''.$ On aura de cette manière l’intégrale complète de la différentielle proposée. Il faut seulement remarquer qu’il peut arriver que l’équation $p'=p'',$ qui doit donner les deux valeurs extrêmes de $q,$ soit impossible, ou qu’elle ne renferme point la variable $q\,;$ dans ce cas ce sera une marque que l’angle $q$ peut recevoir toutes les valeurs possibles, et pour compléter l’intégrale il suffira alors de la prendre depuis $q=0$ jusqu’à $q=180^{\circ },$ c’est-à-dire qu’on prendra $q'=0$ et $q''=180^{\circ }.$ On remarquera encore que dans le cas où les valeurs de $p'$ et $p''$ seront indépendantes de $q,$ les intégrations relatives à $p$ et $q$ seront indépendantes l’une de l’autre, puisque les quantités $p'$ et $p''$ auront, ainsi que les quantités $q'$ et $q'',$ des valeurs absolues et données. D’où il suit qu’il sera indifférent dans ce cas de commencer par l’intégration relative à $p$ ou par celle qui regarde $q,$ et qu’il conviendra par conséquent de commencer par celle des deux qui rendra le calcul plus facile.

2^o Lorsque le centre des rayons $r$ est au dedans du corps, il est visible que les angles $p$ et $q$ peuvent recevoir toutes les valeurs possibles, puisque dans quelque position que le rayon $r$ se trouve il rencontre toujours nécessairement la surface du corps ; de plus il est clair que le même rayon, étant prolongé de part et d’autre du centre, doit rencontrer la surface du corps des deux côtés ; et l’on déterminera les deux valeurs de $r,$ que nous désignerons par $r'$ et $r'',$ par la résolution de l’équation à la surface entre les coordonnées $r,p,q.$ Or il est facile de concevoir que, pour avoir dans ce cas l’intégrale complète de $\mathrm {P} \alpha ,$ il suffira d’intégrer d’abord en faisant varier $r$ seul et de manière que l’intégrale soit nulle lorsque $r=0,$ et de prendre la somme des valeurs de l’intégrale qui répondent à $r=r'$ et à $r=r''\,;$ d’intégrer ensuite cette quantité en faisant varier successivement les angles $p$ et $q,$ et de prendre chacune de ces intégrales particulières en sorte qu’elle soit nulle, et complète lorsque $p$ ou $q$ est égal à $180$ degrés. Et comme les intégrations qui regardent les variables $p$ et $q$ sont absolues et indépendantes l’une de l’autre, il est visible qu’il sera indifférent de commencer par celle qu’on voudra. On voit par là qu’il y a une grande différence entre le cas où le centre des rayons $r$ est supposé au dehors, et celui où il est au dedans du corps ; que ce dernier est sans comparaison plus facile à résoudre que l’autre, et qu’ainsi il convient de ramener toujours la question à ce cas, ce qui est d’ailleurs toujours possible, puisque la position du centre des rayons est arbitraire, ne dépendant que des constantes indéterminées $a,b,c$.

3^o Il y aurait, à la vérité, encore un cas qui paraîtrait mériter une discussion particulière, parce qu’il est comme intermédiaire entre les deux précédents, c’est celui où le centre des rayons serait placé sur la surface même du corps ; mais on peut rapporter ce cas au précédent et le traiter de même, en remarquant qu’on aura une seule valeur de $r,$ l’autre devenant nulle, et qu’ainsi après avoir intégré en faisant varier $r,$ il n’y aura qu’à prendre l’intégrale en sorte qu’elle soit nulle lorsque $r=0,$ et complète lorsque $r$ aura la valeur résultante de l’équation entre $r,p,q\,;$ à l’égard des deux autres intégrations, on y observera les mêmes conditions que ci dessus.

Problème III.

6. Déterrminer la valeur de l’attraction qu’un corps dont la surface est exprimée par une équation du second degré exerce sur un point placé au dedans du corps ou à sa surface, en supposant l’attraction réciproquement proportionnelle aux carrés des distances.

Conservant les dénominationsdu Problème I, on aura $\mathrm {R} ={\frac {1}{r^{2}}},$ et l’élément de l’attraction sera égal à ${\frac {\alpha }{r^{2}}},$ qui étant décomposé suivant les directions des coordonnées $x,y,z$ donnera les trois attractions élémentaires

${\frac {(x-a)\alpha }{r^{3}}},\quad {\frac {(y-b)\alpha }{r^{3}}},\quad {\frac {(z-c)\alpha }{r^{3}}}.$

Introduisons maintenant à la place des coordonnées rectangles $x,y,z$ le rayon même $r$ avec les deux angles $p$ et $q,$ ainsi qu’on l’a fait dans le

n^o 4, et l’on aura

$\alpha =r^{2}\sin pdpdqdr,$

$x-a=r\sin p\cos q,\quad y-b=r\sin p\sin q,\quad z-c=r\cos p,$

et les trois attractions élémentaires deviendront celles-ci

${\begin{aligned}\sin ^{2}p\cos qdpdqdr&\quad {\text{suivant}}\quad a,\\\sin ^{2}p\,\sin qdpdqdr&\quad {\text{suivant}}\quad b,\\\sin \ \ p\cos pdpdqdr&\quad {\text{suivant}}\quad c.\end{aligned}}$

Maintenant, comme le rayon est supposé mené du point attiré, il est clair que ce point sera ici le centre même des rayons ; par conséquent il faudra procéder dans l’intégration d’une manière différente suivant que le point attiré sera hors du corps ou au dedans. Dans le Problème présent nous supposons que ce point est placé dans l’intérieur du corps, ainsi l’on suivra les règles données ci-dessus (5, 2^o).

On commencera donc par intégrer par rapport à $r,$ et nommant $r'$ et $r''$ les deux valeurs de $r$ qu’on trouvera par la résolution de l’équation à la surface donnée, on aura ces premières intégrales

${\begin{aligned}&(r'+r'')\sin ^{2}p\cos qdpdq,\\&(r'+r'')\sin ^{2}p\sin qdpdq,\\&(r'+r'')\sin \ \,p\cos pdpdq.\end{aligned}}$

maintenant on sait que les surfaces du second ordre qui sont renfermées dans un espace fini peuvent être représentées toutes par l’équation

$z^{2}+mx^{2}+ny^{2}=k,$

$m,n,k$ étant des coefficients quelconques positifs ; et il est clair, par la nature de cette équation, que les axes des trois coordonnées rectangles $x,y,z$ seront tels, que les plans passant par deux quelconques d’entre eux partageront la surface en deux parties parfaitement égales ; de sorte que ces axes seront en même temps les axes de la surface, et leur intersection commune en sera le centre. Qu’on substitue donc dans cette équation à

la place de $x,y,z$ leurs valeurs en $r,p,q,$ savoir (4)

$x=a+r\sin p\cos q,\quad y=b+r\sin p\sin q,\quad z=c+r\cos p,$

on aura l’équation

$(c+r\cos p)^{2}+m(a+r\sin p\cos q)^{2}+n(b+r\sin p\sin q)^{2}=k,$

et ordonnant les termes par rapport à $r,$

$\left(\cos ^{2}p+m\sin ^{2}p\cos ^{2}q+n\sin ^{2}p\sin ^{2}q\right)r^{2}$

$+2(c\cos p+ma\sin p\cos q+nb\sin p\sin q)r+\left(c^{2}+ma^{2}+nb^{2}-k\right)=0,$

c’est-à-dire

${\begin{aligned}r^{2}+&{\frac {2(c\cos p+ma\sin p\cos q+nb\sin p\sin q)}{\cos ^{2}p+m\sin ^{2}p\cos ^{2}q+n\sin ^{2}p\sin ^{2}q}}r\\&\quad +{\frac {c^{2}+ma^{2}+nb^{2}-k}{\cos ^{2}p+m\sin ^{2}p\cos ^{2}q+n\sin ^{2}p\sin ^{2}q}}=0,\end{aligned}}$

équation dont les racines seront $r'$ et $r''\,;$ mais nous n’aurons pas même besoin de la résoudre pour chercher ces racines ; car comme il nous suffit d’avoir leur somme $r'+r'',$ on la connaîtra immédiatement par le coefficient du second terme ; en sorte qu’on aura

$r'+r''=-{\frac {2(c\cos p+ma\sin p\cos q+nb\sin p\sin q)}{\cos ^{2}p+m\sin ^{2}p\cos ^{2}q+n\sin ^{2}p\sin ^{2}q}}\,;$

ainsi, substituant cette valeur dans les expressions précédentes, elles deviendront

${\begin{aligned}&-{\frac {2(\cos p+ma\sin p\cos q+nb\sin p\sin q)\sin ^{2}p\cos qdpdq}{\cos ^{2}p+m\sin ^{2}p\cos ^{2}q+n\sin ^{2}p\sin ^{2}q}},\\&-{\frac {2(\cos p+ma\sin p\cos q+nb\sin p\sin q)\sin ^{2}p\sin qdpdq}{\cos ^{2}p+m\sin ^{2}p\cos ^{2}q+n\sin ^{2}p\sin ^{2}q}},\\&-{\frac {2(\cos p+ma\sin p\cos q+nb\sin p\sin q)\sin p\cos pdpdq}{\cos ^{2}p+m\sin ^{2}p\cos ^{2}q+n\sin ^{2}p\sin ^{2}q}}.\end{aligned}}$

Il ne s’agit donc plus que d’intégrer ces formules en faisant varier les angles $p$ et $q$ chacun en particulier, et prenant chaque intégrale en sorte qu’elle soit nulle lorsque la variable est nulle, et complète lorsque la variable est égale à $180$ degrés (5, 2^o).

Donc, si l’on fait, pour abréger,

$\cos ^{2}p+m\sin ^{2}p\cos ^{2}q+n\sin ^{2}p\sin ^{2}q=\mathrm {N} ,$

et qu’on suppose

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&\int {\frac {\sin ^{2}p\cos p\cos qdpdq}{\mathrm {N} }},\\\mathrm {B} =&\int {\frac {\sin ^{3}p\cos ^{2}qdpdq}{\mathrm {N} }},\\\mathrm {C} =&\int {\frac {\sin ^{3}p\sin q\cos qdpdq}{\mathrm {N} }},\\\mathrm {D} =&\int {\frac {\sin ^{2}p\cos p\sin qdpdq}{\mathrm {N} }},\\\mathrm {E} =&\int {\frac {\sin ^{3}p\sin q\cos qdpdq}{\mathrm {N} }},\\\mathrm {F} =&\int {\frac {\sin ^{3}p\sin ^{2}qdpdq}{\mathrm {N} }},\\\mathrm {G} =&\int {\frac {\sin p\cos ^{2}pdpdq}{\mathrm {N} }},\\\mathrm {H} =&\int {\frac {\sin ^{2}p\cos p\cos qdpdq}{\mathrm {N} }},\\\mathrm {I} =&\int {\frac {\sin ^{2}p\cos p\sin qdpdq}{\mathrm {N} }},\end{aligned}}$

ces intégrales étant complétées de la manière qu’on vient de le dire, on aura les valeurs suivantes des attractions cherchées

attraction dans la direction de la ligne $a,\quad -2c\mathrm {A} -2ma\mathrm {B} -2nb\mathrm {C} \,;$

attraction dans la direction de la ligne $b,\quad -2c\mathrm {D} \,-2ma\mathrm {E} -2nb\mathrm {F} \,;$

attraction dans la direction de la ligne $c,\quad -2c\mathrm {G} \,-2ma\mathrm {H} -2nb\mathrm {I} .$

7. Corollaire I. — Il est clair que les valeurs des quantités $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ sont indépendantes des quantités $a,b,c,$ qui déterminent la position du point attiré, ainsi que de la constante $k$ qui entre dans l’équation à la surface ; d’où il suit :

1^o Que si l’on a deux points, dont l’un soit déterminé par les coordonnées $a,b,c,$ et l’autre par les coordonnées $\lambda a,\lambda b,\lambda c,$ proportionnelles à celles-là, les attractions du même corps sur le premier point seront à celles sur le second point comme $1$ est à $\lambda ,$ puisqu’en substituant $\lambda a,\lambda b,\lambda c$ à la place de $a,b,c$ dans les formules précédentes, on ne fait autre chose que les multiplier par le coefficient $\lambda .$ Or il est facile de voir que la position des deux points dont il s’agit sera sur une même ligne droite menée par le centre de la surface qui est l’origine des coordonnées $x,y,z$, ainsi que des coordonnées $a,b,c,$ et que la distance du premier point au centre sera à celle du second point au même centre comme $1$ est à $\lambda .$ D’où l’on peut d’abord conclure que les attractions sur deux points placés dans une droite menée par le centre de la surface seront nécessairement proportionnelles aux distances de ces points au même centre, pourvu toutefois que ces points ne soient pas placés hors de la surface. Et comme cette proposition est vraie en particulier par rapport à l’attraction que le solide exerce suivant chacune des coordonnées rectangles $a,b,c,$ il s’ensuit qu’elle sera vraie aussi par rapport à l’attraction qu’il exerce suivant une direction quelconque donnée.

2^o Que l’attraction sur un point donné placé au dedans du corps ou à sa surface, c’est-à-dire sur un point quelconque du corps, sera la même tant que les constantes $m$ et $n$ de l’équation à la surface seront les mêmes, quelque valeur qu’on donne d’ailleurs à la constante $k\,;$ or il est facile de prouver, par la nature de l’équation

$z^{2}+mx^{2}+ny^{2}=k,$

que les constantes $m$ et $n$ déterminent l’espèce de la surface, et la constante $k$ sa grandeur, en sorte que toutes les surfaces dont l’équation ne différe que par la valeur de $k$ sont semblables entre elles, et semblablement situées ; d’où il s’ensuit que tous les solides semblable, dont la surface sera représentée par une équation de la forme

$z^{2}+mx^{2}+ny^{2}=k,$

exerceront nécessairement la même attraction sur un même point quelconque placé où l’on voudra dans l’intérieur ou à la surface de ces solides. Et de là on tire d’abord ce Théorème que, si l’on a un solide creux

dont les deux surfaces, l’extérieure et l’intérieure, soient semblables, son attraction sur un point quelconques de la surface intérieure sera nulle ; car l’attraction du solide entier serait la même que celle de la partie qui occupe la cavité.

8. Corollaire II. — Considérons maintenant de plus près les valeurs des attractions suivant les lignes $a,b,c\,;$ et, comme tout se réduit à avoir les valeurs des quantités $\mathrm {A,B,C} ,\ldots ,$ voyons comment on pourra les trouver.

Pour faciliter beaucoup cette recherche, je commencerai par remarquer, en général, que si l’on a une fonction $\mathrm {P}$ du $\sin p$ et de $\cos ^{2}p,$ et qu’on demande la valeur de l’intégrale de $\mathrm {P} \cos pdp$ prise en sorte qu’elle soit nulle lorsque $p=0,$ et complète lorsque $p=180^{\circ },$ cette valeur sera nécessairement nulle ; car comme

$\sin(180^{\circ }-p)=\sin p\quad {\text{et}}\quad \cos(180^{\circ }-p)=-\cos p,$

il est visible que les valeurs de $\mathrm {P} \cos p$ qui répondent à $p$ et à $180^{\circ }-p$ seront égales et de signes contraires ; d’où il s’ensuit que dans la suite des éléments $\mathrm {P} \cos pdp$ qui répondent à toutes les valeurs de $p$ depuis $p=0$ jusqu’à $p=180^{\circ },$ les mêmes termes se trouveront deux fois, mais avec des signes différents, en sorte que la somme totale sera toujours nulle.

De là on doit conclure que si $\mathrm {P}$ est une fonction de $\sin p,\cos ^{2}p$ et de $\sin q,\cos ^{2}q,$ et qu’on demande l’intégrale complète de $\mathrm {P} \cos pdpdq$ ou de $\mathrm {P} \cos qdpdq$ ou de $\mathrm {P} \cos p\cos qdpdq,$ en faisant varier successivement les angles $p$ et $q,$ depuis $0$ jusqu’à $180$ degrés, chacune de ces intégrales sera nulle ; car on aura, en faisant d’abord varier $p,$

$\int \mathrm {P} \cos pdp=0,$

et faisant varier $q,$ on aura de même

$\int \mathrm {P} \cos qdq=0\,;$

donc, etc. Par le moyen de ce Théorème, on aura donc sans aucun calcul

$\mathrm {A=0,\quad C=0,\quad D=0,\quad E=0,\quad H=0,\quad I} =0\,;$

par conséquent les valeurs des trois attractions suivant les lignes $a,b,c$ se réduiront à celles-ci

D’où l’on voit que ces trois attractions seront respectivement proportionnelles aux lignes $a,b,c$.

Or comme ces lignes sont parallèles aux trois axes du solide, il est clair qu’elles expriment en même temps les distances du point attiré à chacun des trois plans passant par ces axes. Donc l’attraction d’un point quelconque du solide, parallèlement à chacun de ses trois axes, sera proportionnelle à la distance de ce point au plan passant par les deux autres axes ; par conséquent tous les points du solide qui seront à même distance de l’un quelconque de ces plans, c’est-à-dire tous les points placés dans un plan parallèle à l’un quelconque d’entre eux, seront attirés perpendiculairement à ce même plan par une force égale.

9. Corollaire III. — Si dans l’équation

$z^{2}+mx^{2}+ny^{2}=k$

on fait $n=m,$ elle devient

$z^{2}+m\left(x^{2}+y^{2}\right)=k,$

laquelle représente un sphéroïdeelliptique formé par la révolution d’une ellipse dont l’équation serait

$z^{2}+mn^{2}=k,$

autour de l’axe des abscisses $z\,;$ mais si $m$ n’est pas égal à $n,$ alors le solide sera un ellipsoïde dont toutes les coupes seront des ellipses. Dans l’un et dans l’autre cas l’attraction que le solide exerce sur un quelconque de ses points, parallèlement à l’un de ses trois axes, sera, par les Corollaires précédents, égale à celle qu’exercerait sur le point du même

axe sur lequel tomberait une perpendiculaire menée du point attiré, un ellipsoïde semblable et semblablement situé, c’est-à-dire ayant le même centre et les mêmes axes, et qui passerait par ce même point de l’axe. Et cette attraction sera toujours proportionnelle à la partie de l’axe comprise entre ce point et le centre du sphéroïde.

10. Corollaire IV. — Il ne s’agit plus que de déterminer les valeurs des quantités $\mathrm {B,F,G} ,$ c’est-à-dire des intégrales de ces formules

${\frac {\sin ^{3}p\cos ^{2}qdpdq}{\mathrm {N} }},\quad {\frac {\sin ^{3}p\sin ^{2}qdpdq}{\mathrm {N} }},\quad {\frac {\sin p\cos ^{2}pdpdq}{\mathrm {N} }}\,;$

$\mathrm {N}$ étant (6) égal à

$\cos ^{2}p+m\sin ^{2}p\cos ^{2}q+n\sin ^{2}p\sin ^{2}q.$

Pour y parvenir il convient de distinguer deux cas, suivant que $m$ est égal à $n$ ou non.

Supposons :

1^o Qu’on ait $m=n,$ ce qui est le cas d’un sphéroïde elliptique de révolution (numéro précédent), on aura alors

$\mathrm {N} =\cos ^{2}p+m\sin ^{2}p,$

en sorte que l’angle $q$ disparaîtra du dénominateur.

Qu’on intègre donc en premier lieu suivant $q,$ et l’on trouvera que, l’intégrale des trois formules précédentes, prise en sorte qu’elle soit nulle lorsque $q=0,$ et complète lorsque $q=180^{\circ },$ sera

${\frac {\sin ^{3}pdp}{\mathrm {N} }}\times 90^{\circ },\quad {\frac {\sin ^{3}pdp}{\mathrm {N} }}\times 90^{\circ },\quad {\frac {\sin p\cos ^{2}pdp}{\mathrm {N} }}\times 180^{\circ }\,;$

où l’on voit que les deux premières quantités sont les mêmes, en sorte qu’on aura nécessairement $\mathrm {B=F} .$

Pour pouvoir intégrer une seconde fois en faisant varier $p,$ on supposera $\cos p=u,$ ce qui donne

$\mathrm {N} =m+(1-m)u^{2}$

et

${\frac {\sin ^{3}pdp}{\mathrm {N} }}=-{\frac {\left(1-u^{2}\right)du}{m+(1-m)u^{2}}},\quad {\frac {\sin p\cos ^{2}pdp}{\mathrm {N} }}=-{\frac {u^{2}du}{m+(1-m)u^{2}}}.$

Soit de plus

${\frac {1-m}{m}}=\mu ^{2}\quad {\text{et}}\quad u={\frac {t}{\mu }},$

on aura

${\frac {\left(1-u^{2}\right)du}{m+(1-m)u^{2}}}={\frac {\left(m^{2}-t^{2}\right)dt}{m\mu ^{3}\left(1+t^{2}\right)}}={\frac {1+\mu ^{2}}{m\mu ^{2}}}{\frac {dt}{1+t^{2}}}-{\frac {dt}{m\mu ^{3}}},$

et

${\frac {u^{2}du}{m+(1-m)u^{2}}}={\frac {t^{2}dt}{m\mu ^{3}\left(1+t^{2}\right)}}={\frac {dt}{m\mu ^{3}}}-{\frac {dt}{m\mu ^{3}\left(1+t^{2}\right)}}.$

Or comme on doit intégrer ces formules en sorte que l’intégration commence lorsque $p=0$ et finisse lorsque $p=180^{\circ },$ il faudra, à cause de $t=\mu u=\mu \cos p,$ faire en sorte que chaque intégrale soit nulle lorsque $t=\mu ,$ et complète lorsque $t=-\mu \,;$ c’est pourquoi on aura

$\int dt=t-\mu ,\quad \int {\frac {dt}{1+t^{2}}}=\operatorname {arc} \,\operatorname {tang} t-\operatorname {arc} \,\operatorname {tang} \mu ,$

et faisant ensuite $t=-\mu ,$

$\int dt=-2\mu ,\quad \int {\frac {dt}{1+t^{2}}}=-2\operatorname {arc} \,\operatorname {tang} \mu .$

Donc l’intégrale complète de ${\frac {\sin ^{3}pdp}{\mathrm {N} }}$ sera

${\frac {2\left(1+\mu ^{2}\right)}{m\mu ^{3}}}\operatorname {arc} \,\operatorname {tang} \mu -{\frac {2}{m\mu ^{2},}}$

et celle de ${\frac {\sin p\cos ^{2}pdp}{\mathrm {N} }}$ sera

${\frac {2}{m\mu ^{2}}}-{\frac {2\operatorname {arc} \,\operatorname {tang} \mu }{m\mu ^{3}}}\,;$

donc enfin on aura

${\begin{aligned}\mathrm {B} =&\mathrm {F} =\left({\frac {1+\mu ^{2}}{m\mu ^{3}}}-\operatorname {arc} \,\operatorname {tang} \mu -{\frac {1}{m\mu ^{2}}}\right)\times 180^{\circ },\\\mathrm {G} =&\left({\frac {1}{m\mu ^{2}}}-{\frac {\operatorname {arc} \,\operatorname {tang} \mu }{m\mu ^{3}}}\right)\times 360^{\circ }.\end{aligned}}$

2^o Soit $n$ différent de $m,$ ce qui est le cas où le solide est un ellipsoïde dont toutes les coupes sont des ellipses ; dans ce cas le dénominateur $\mathrm {N}$ contiendra l’angle $q,$ et l’on ne pourra guère exécuter qu’une seule intégration, savoir celle qui se rapporte à l’angle $p.$ Pour cela on remarquera que, comme dans cette intégration l’angle $q$ est supposé constant, on aura pour l’intégrale complète de ${\frac {\sin ^{3}pdp}{\mathrm {N} }}$ et de ${\frac {\sin p\cos ^{2}pdp}{\mathrm {N} }}$ les mêmes expressions que ci-dessus, en y substituant simplement, à la place de $m,$ la quantité $m\cos ^{2}q+n\sin ^{2}q,$ ou bien (en faisant $n=m+\nu$) celle-ci, $m+\nu \sin ^{2}q.$ Dénotant donc ces-valeurs par $\mathrm {Q}$ et $\mathrm {Q} ',$ il aura plus qu’à intégrer les différentielles

$\mathrm {Q} \cos ^{2}qdq,\quad \mathrm {Q} \sin ^{2}qdq,\quad \mathrm {Q} 'dq,$

en faisant varier $q$ depuis $q=0$ jusqu’à $q=180^{\circ }\,;$ et l’on aura les valeurs cherchées defs $\mathrm {B,F,G} .$

11. Remarque. — M. Maclaurin, dans son Traité du flux et du reflux de la mer, s’est contenté de chercher l’attraction d’un sphéroïde elliptique sur un point quelconque de ce sphéroïde, et les résultats de sa belle méthode synthétique s’accordent parfaitement avec ceux que nous venons de trouver par l’Analyse. M. d’Alembert vient d’étendre la solution de M. Maclaurin à des sphéroïdes où toutes les coupes seraient elliptiques, en faisant remarquer que les propositions qui servent de base à cette solution sont également vraies à l’égard de tous les sphéroïdes elliptiques, soit de révolution ou non c’est ce que nous avons trouvé directement par notre Analyse dans les trois premiers Corollaires du Problème précédent. À l’égard de la valeur absolue de l’attraction des sphéroïdes qui ne sont pas de révolution, M. d’Alembert a essayé de la déterminer par différents moyens très-ingénieux, mais dont aucun ne lui a pleinement réussi. Un des plus simples paraît être celui que nous avons employé dans le Corollaire IV, 2^o ; mais il est facile de se convaincre que les intégrations qui restent à exécuter pour avoir les valeurs des constantes $\mathrm {B,F,G}$ échappent à toutes les méthodes connues jusqu’à présent.

Au reste, si le sphéroïde proposé différait peu d’un sphéroïde de révolution, en sorte que $\nu =m-n$ fût une quantité très-petite, on pourrait déterminer son attraction par approximation aussi exactement qu’on voudrait. En effet, il n’y aura qu’à substituer $m+n\sin ^{2}q$ au lieu de $m$ dans les valeurs de

$\mathrm {Q} ={\frac {2\left(1+\mu ^{2}\right)}{m\mu ^{3}}}\operatorname {arc} \,\operatorname {tang} \mu -{\frac {2}{m\mu ^{2}}}$

et de

$\mathrm {Q} '={\frac {2}{m\mu ^{2}}}-{\frac {2\operatorname {arc} \,\operatorname {tang} \mu }{m\mu ^{3}}}$

${\Bigl (}\mu ^{2}$ étant ${\frac {1-m}{m}}{\Bigr )},$ et développer ensuite ces quantités suivant les puissances de $\nu \,;$ ce qui changera la quantité $\mathrm {Q}$ en

$\mathrm {Q} +{\frac {d\mathrm {Q} }{dm}}\nu \sin ^{2}q+{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {Q} }{dm^{2}}}\nu ^{2}\sin ^{4}q+\ldots ,$

et la quantité $\mathrm {Q} '$ en

$\mathrm {Q} '+{\frac {d\mathrm {Q} '}{dm}}\nu \sin ^{2}q+{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {Q} '}{dm^{2}}}\nu ^{2}\sin ^{4}q+\ldots \,;$

on multipliera maintenant la première de ces quantités par $\cos ^{2}qdq$ et par $\sin ^{2}qdq,$ et la seconde par $dq,$ et, prenant les intégrales en sorte qu’elles soient nulles lorsque $q=0$ et complètes lorsque $q=180^{\circ },$ on aura les valeurs cherchées des quantités $\mathrm {B,F,G} .$

On aura donc de cette manière

${\begin{aligned}&\mathrm {B} =\\&\left({\frac {1}{2}}\mathrm {Q} +\ \ {\frac {\nu }{8}}{\frac {d\mathrm {Q} }{dm}}+\ \ {\frac {2\nu ^{2}}{32}}{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {Q} }{dm^{2}}}+\ \ {\frac {5\nu ^{3}}{128}}{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{3}\mathrm {Q} }{dm^{3}}}+\ \ {\frac {14\nu ^{4}}{512}}{\frac {1}{2.3.4}}{\frac {d^{4}\mathrm {Q} }{dm^{4}}}+\ldots \right)180^{\circ },\\&\mathrm {F} =\\&\left({\frac {1}{2}}\mathrm {Q} +{\frac {3\nu }{8}}{\frac {d\mathrm {Q} }{dm}}+{\frac {10\nu ^{2}}{32}}{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {Q} }{dm^{2}}}+{\frac {35\nu ^{3}}{128}}{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{3}\mathrm {Q} }{dm^{3}}}+{\frac {126\nu ^{4}}{512}}{\frac {1}{2.3.4}}{\frac {d^{4}\mathrm {Q} }{dm^{4}}}+\ldots \right)180^{\circ },\\&\mathrm {G} =\\&\left(\,\mathrm {Q} '+\ \ {\frac {\nu }{2}}{\frac {d\mathrm {Q} '}{dm}}+{\frac {3\nu ^{2}}{8}}{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {Q} '}{dm^{2}}}+\ {\frac {10\nu ^{3}}{32}}{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{3}\mathrm {Q} '}{dm^{3}}}+\ \ {\frac {35\nu ^{4}}{128}}{\frac {1}{2.3.4}}{\frac {d^{4}\mathrm {Q} '}{dm^{4}}}+\ldots \right)180^{\circ }.\end{aligned}}$

Problème IV.

12. Les mêmes choses étant supposées que dans le Problème III, on demande l’attraction du sphéroïde sur un point placé au dehors.

On aura dans ce cas les mêmes formules différentielles que dans celui du Problème cité ; toute la différence consistera dans la manière de compléter chaque intégrale ; on suivra pour cela les règles données dans le n^o 5, il, et il est facile de voir qu’après la première intégration suivant la variabilité de $r,$ on aura les mêmes formules que dans le Problème III, mais avec cette différence qu’au lieu de la somme $r'+r''$ des deux valeurs de $r$ il faudra mettre leur différence $r'-r''.$ Ainsi les premières intégrales des trois attractions suivant les trois axes du sphéroïde seront

${\begin{aligned}&(r'-r'')\sin ^{2}p\cos qdpdq,\\&(r'-r'')\sin ^{2}p\sin qdpdq,\\&(r'-r'')\sin \ \,p\cos qdpdq.\end{aligned}}$

Maintenant, si l’on représente par

$r^{2}+2\varpi +\rho =0$

l’équation en $r$ dont $r'$ et $r''$ sont les racines, on aura, comme on sait,

$(r'-r'')^{2}=4\left(\varpi ^{2}-\rho \right)\,;$

donc

$r'-r''=2{\sqrt {\varpi ^{2}-\rho }}.$

Qu’on suppose, pour abréger,

${\begin{aligned}&c\cos p+ma\sin p\cos q+nb\sin p\sin q=\mathrm {M} ,\\&\cos ^{2}p+m\sin ^{2}p\cos ^{2}q+n\sin ^{2}p\sin ^{2}q=\mathrm {N} ,\\&c^{2}+ma^{2}+nb^{2}-k=h,\end{aligned}}$

et l’on aura (Problème III)

$\varpi =\mathrm {\frac {M}{N}} ,\quad \rho ={\frac {h}{\mathrm {N} }}\,;$

donc

$r'-r''={\frac {2{\sqrt {\mathrm {M} ^{2}-h\mathrm {N} }}}{\mathrm {N} }}.$

Ainsi il n’y aura qu’à substituer cette valeur dans les formules précédentes et intégrer ensuite par rapport à la variable $p\,;$ pour compléter ces intégrales on fera $r'=r'',$ c’est-à-dire $r'-r''=0,$ et l’on aura

$\mathrm {M} ^{2}-h\mathrm {N} =0,$

équation d’où l’on tirera les deux valeurs extrêmes de $p,$ ou plutôt de $\sin p$ ou de $\cos p,$ lesquelles détermineront l’étendue qu’il faudra donner aux intégrales dont il s’agit. On intégrera enfin relativement à $q,$ et pour avoir les valeurs extrêmes de $q$ il n’y aura qu’à chercher les conditions qui donnent des racines égales à l’équation

$\mathrm {M} ^{2}-h\mathrm {N} =0,$

ordonnée relativement $\sin p$ ou $\cos p\,;$ connaissant ces valeurs, on s’en servira pour compléter les dernières intégrales.

13. Corollaire I. — Considérons le cas d’un sphéroïde de révolution auquel on a $m=n\,;$ on aura donc

${\begin{aligned}\mathrm {M} =&c\cos p+m\sin p(a\cos q+b\sin q),\\\mathrm {N} =&\cos ^{2}p+m\sin ^{2}p.\end{aligned}}$

Supposons de plus qu’on cherche seulement l’attraction du sphéroïde pour un point quelconque de son axe de révolution ; il faudra faire $a=0,b=0,$ et l’on aura simplement

$\mathrm {M} =c\cos p\,;$

d’où l’on voit que l’équation

$\mathrm {M} ^{2}-h\mathrm {N} =0$

ne renfermera point l’angle $q,$ et qu’ainsi les intégrations relatives à $p$ et $q$ seront indépendantes l’une de l’autre, en sorte qu’il sera libre de commencer par celle des deux qu’on voudra ; de plus, l’intégration relative à $q$ devra s’étendre (5, 1^o) depuis $q=0$ jusqu’à $q=180^{\circ }.$

Faisant pour plus de simplicité $\sin p=u,$ on aura, à cause de $h=c^{2}-k,$

${\begin{aligned}\mathrm {M} ^{2}-h\mathrm {N} =&c^{2}\left(1-u^{2}\right)-h\left(1-u^{2}\right)-mhu^{2}\\=&c^{2}-h-\left(c^{2}-h+mh\right)u^{2}\\=&k-\left[k+m\left(c^{2}-k\right)\right]u^{2},\end{aligned}}$

et les trois formules différentielles deviendront

${\begin{aligned}&2{\frac {\sqrt {k-\left(k-mk+mc^{2}\right)u^{2}}}{1-(1-m)u^{2}}}u^{2}\cos qdpdq,\\&2{\frac {\sqrt {k-\left(k-mk+mc^{2}\right)u^{2}}}{1-(1-m)u^{2}}}u^{2}\sin qdpdq,\end{aligned}}$

$2{\frac {\sqrt {k-\left(k-mk+mc^{2}\right)u^{2}}}{1-(1-m)u^{2}}}ududq$^[1].

Or comme l’équation

$k-\left(k-mk+mc^{2}\right)u^{2}=0$

donne

$u=\pm {\sqrt {\frac {k}{k-mk+mc^{2}}}},$

il s’ensuit que les intégrations relatives à l’angle $p$ devront s’étendre depuis $p=\alpha$ jusqu’à $p=-\alpha ,$ en prenant

$\alpha =\operatorname {arc} \,\sin {\sqrt {\frac {k}{k-mk+mc^{2}}}}.$

D’où il est facile de conclure d’abord que l’intégrale complète de la quantité

${\frac {\sqrt {k-\left(k-mk+mc^{2}\right)u^{2}}}{1-(1-m)u^{2}}}u^{2}dp$

sera nulle ; car si l’on dénote par $\mathrm {A}$ l’intégrale de cette quantité prise depuis $p=0$ jusqu’à $p=\alpha ,$ il est clair que l’intégrale de la même quantité depuis $p=0$ jusqu’à $p=-\alpha$ sera égale à $-\mathrm {A} ,$ puisque $u^{2}=\sin ^{2}p$ conserve la même valeur en prenant $p$ négatif ; or il est visible que l’intégrale depuis $p=\alpha$ jusqu’à $p=-\alpha$ n’est autre chose que la somme des deux précédentes, c’est-à-dire $\mathrm {A-A} =0.$

Donc l’intégrale de chacune des deux premières formules différentielles sera nulle ; par conséquent l’attraction perpendiculaire à l’axe de révolution dans lequel est prise l’ordonnée $c$ sera nulle ; ce qui est d’ailleurs évident de soi-même.

Il ne reste donc qu’à chercher l’intégrale de la troisième formule différentielle, et comme on peut intégrer d’abord suivant $q,$ on aura, en exécutant cette intégration, et complétant l’intégrale en sorte qu’elle commence au point où $q=0$ et qu’elle finisse à celui où $q=180^{\circ },$ on aura, dis-je, la formule

${\frac {2{\sqrt {k-\left(k-mk+mc^{2}\right)u^{2}}}udu}{1-(1-m)u^{2}}}\times 180^{\circ }.$

Ainsi il ne s’agira plus que d’intégrer la quantité

${\frac {2{\sqrt {k-\left(k-mk+mc^{2}\right)u^{2}}}udu}{1-(1-m)u^{2}}},$

et pour cela on fera

${\sqrt {k-\left(k-mk+mc^{2}\right)u^{2}}}=t,$

ce qui donne

$u^{2}={\frac {k-t^{2}}{k-mk+mc^{2}}},$

moyennant quoi la différentielle proposée se transforme en celle-ci

$-{\frac {2t^{2}dt}{mc^{2}+(1-m)t^{2}}}=-{\frac {2}{1-m}}\left(dt-{\frac {\dfrac {mc^{2}}{1-m}}{{\dfrac {mc^{2}}{1-m}}+t^{2}}}dt\right),$

dont l’intégrale est évidemment

$-{\frac {2}{1-m}}\left(t-{\sqrt {\frac {mc^{2}}{1-m}}}\times \operatorname {arc} \,\operatorname {tang} {\frac {t}{\sqrt {\dfrac {mc^{2}}{1-m}}}}\right)\,;$

pour compléter cette intégrale il faut se ressouvenir qu’elle doit s’étendre depuis $p=\alpha$ jusqu’à $p=-\alpha \,;$ et pour éviter toute erreur il conviendra de chercher à part les deux portions qui s’étendent, l’une depuis $p=0$ jusqu’à $p=-\alpha$ et que nous dénoterons par $\mathrm {A} ,$ l’autre depuis $p=0$ jusqu’à $p=-\alpha$ et que nous dénoterons par $\mathrm {B} \,;$ et la somme $\mathrm {A+B}$ sera l’intégrale complète cherchée. Or en faisant $p=0$ on a $u=0,$ donc

$t={\sqrt {k}}\,;$ par conséquent la constante à ajouter à l’intégrale ci-dessus sera

${\frac {2}{1-m}}\left({\sqrt {k}}-{\sqrt {\frac {mc^{2}}{1-m}}}\times \operatorname {arc\,tang} {\frac {\sqrt {k}}{\sqrt {\dfrac {mc^{2}}{1-m}}}}\right)\,;$

faisant ensuite $p=\alpha$ on aura $t=0,$ et faisant $p=-\alpha$ on aura de même $t=0\,;$ d’où il suit qu’on aura

$\mathrm {A=B} ={\frac {2}{1-m}}\left({\sqrt {k}}-{\sqrt {\frac {mc^{2}}{1-m}}}\times \operatorname {arc\,tang} {\frac {\sqrt {k}}{\sqrt {\dfrac {mc^{2}}{1-m}}}}\right)\,;$

donc l’intégrale cherchée sera égale à $2\mathrm {A} \,;$ et, multipliant par $180$ degrés, on aura enfin la quantité

${\frac {2}{1-m}}\left({\sqrt {k}}-{\sqrt {\frac {mc^{2}}{1-m}}}\times \operatorname {arc\,tang} {\frac {\sqrt {k}}{\sqrt {\dfrac {mc^{2}}{1-m}}}}\right)\times 360^{\circ }$

pour la valeur de l’attraction du sphéroïde sur un point de l’axe placé à la distance $c$ du centre.

Ce Problème a aussi été résolu synthétiquement par {{M.|Maclaurin dans son Traité des Fluxions, et nos solutions s’accordent dans les résultats.

14. Corollaire II. — Si l’on voulait résoudre la question du Corollaire précédent sans supposer $m=n,$ c’est-à-dire en regardant le sphéroïde comme simplement elliptique sans qu’il soit de révolution, la quantité $\mathrm {N}$ serait (en faisant toujours $\sin p=u$)

$1-u^{2}+\left(m\cos ^{2}q+n\sin ^{2}q\right)u^{2},$

au lieu d’être simplement

$1-u^{2}+mu^{2}\,;$

en sorte que pour appliquer les formules différentielles du n^o 13 au cas présent il suffirait d’y mettre partout $m\cos ^{2}q+n\sin ^{2}q$ à la place de $m.$

De là on peut d’abord conclure que les intégrales relatives à $p$ seront les mêmes que ci-dessus, en y changeant seulement $m$ en $m\cos ^{2}q+n\sin ^{n}2q.$ Donc les intégrales des deux premières formules seront aussi nulles, et celle de la troisième sera représentée par la quantité

${\frac {4dq}{1-m}}\left({\sqrt {k}}-{\sqrt {\frac {mc^{2}}{1-m}}}\times \operatorname {arc\,tang} {\frac {\sqrt {k}}{\sqrt {\dfrac {mc^{2}}{1-m}}}}\right),$

laquelle devra donc encore être intégrée relativement à $q,$ après y avoir substitué partout $m\cos ^{2}q+n\sin ^{2}q$ à la place de $m.$ Or comme les deux valeurs extrêmes de $p$ sont (13) $p=\alpha$ et $p=-\alpha ,$ il est visible qu’elles ne peuvent devenir égales qu’en faisant $\alpha =0,$ et par conséquent

${\frac {k}{k-mk+mc^{2}}}=0\quad {\text{et}}\quad k-mk+mc^{2}=\infty ,$

ce qui ne se peut ; ainsi, ne pouvant tirer de cette condition les valeurs de $q$ nécessaires pour compléter l’intégrale de la quantité précédente, on prendra cette intégrale en sorte qu’elle commence où $q=0$ et qu’elle finisse où $q=180^{\circ }\,;$ mais l’intégration de la différentielle dont il s’agit étant très-difficile, si même elle n’est pas impossible, nous ne nous y prêterons pas ; outre que cette matière n’est pas proprement de l’objet auquel ce Mémoire était destiné, elle a d’ailleurs été déjà savamment discutée dans le sixième volume des Opuscules de M. d’Alembert, auquel il nous suffira par conséquent de renvoyer.

15. Remarque. — On trouverait des difficultés beaucoup plus grandes si l’on voulait déterminer par les formules du Problème précédent l’attraetion du sphéroïde sur un point placé hors de l’axe ; car alors les quantités $a,b$ n’étant point nulles, les expressions des attractions différentielles seraient trop compliquées pour qu’on pût les traiter par les méthodes connues. On peut cependant ramener en quelque manière tous les cas à celui où le point attiré est placé dans le prolongement de l’axe des coordonnées $z,$ en changeant la position des coordonnées rectangles $x,y,z$ de manière que l’axe des $z$ passe par le point attiré ; car alors on aura également $a=0$ et $b=0\,;$ ce qui pourra peut-être faciliter les intégrations relatives aux angles $p$ et $q.$

Pour faire cette transformation des coordonnées de la manière la plus générale, on remarquera que nommant $x',y',z'$ les nouvelles coordonnées rectangles, qu’on suppose avoir la même origine que les coordonnées $x,y,z,$ les valeurs de celles-ci en celles-là seront exprimées de cette manière

${\begin{aligned}x=&\lambda \ \,x'+\mu \ \ y'+\nu \ \ z',\\y=&\lambda '\,x'+\mu '\,y'+\nu '\,z',\\z=&\lambda ''x'+\mu ''y'+\nu ''z',\end{aligned}}$

les coefficients $\lambda ,\mu ,\nu ,\lambda ',\ldots$ dépendant uniquement de la position des coordonnées $x',y',z'$ relativement à celle des coordonnées $x,y,z.$

Or comme on suppose que les coordonnées $x',y',z'$ se rapportent aux mêmes points que les coordonnées $x,y,z,$ on aura nécessairement

$x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\,;$

donc il faudra qu’on ait

$\left(\lambda ^{2}+\lambda '^{2}+\lambda ''^{2}\right)x'^{2}+\left(\mu ^{2}+\mu '^{2}+\mu ''^{2}\right)y'^{2}+\left(\nu ^{2}+\nu '^{2}+\nu ''^{2}\right)z'^{2}$

$+2\left(\lambda \mu +\lambda '\mu '+\lambda ''\mu ''\right)x'y'+2\left(\lambda \nu +\lambda '\nu '+\lambda ''\nu ''\right)x'z'+2\left(\mu \nu +\mu '\nu '+\mu ''\nu ''\right)y'z'$

$=x'^{2}+y'^{2}+z'^{2},$

équation qui doit avoir lieu indépendamment des valeurs de $x',y',z'\,;$ c’est pourquoi il faudra qu’on ait, en particulier, les conditions suivantes

${\begin{array}{lll}\lambda ^{2}+\lambda '^{2}+\lambda ''^{2}=1,&\mu ^{2}+\mu '^{2}+\mu ''^{2}=1,&\nu ^{2}+\nu '^{2}+\nu ''^{2}=1,\\\lambda \mu +\lambda '\mu '+\lambda ''\mu ''=0,&\lambda \nu +\lambda '\nu '+\lambda ''\nu ''=0,&\mu \nu +\mu '\nu '+\mu ''\nu ''=0,\end{array}}$

qui serviront à déterminer six des neuf quantités $\lambda ,\mu ,\nu ,\lambda ',\mu ',\ldots .$

Maintenant, comme $a,b,c$ sont les coordonnées qui déterminent la position du point attiré, relativement aux axes des premières coordonnées $x,y,z,$ si l’on nomme de même $a',b',c'$ les coordonnées qui détermineront la position du même point relativement aux axes des nouvelles coordonnées $x',y',z',$ on aura pareillement

${\begin{aligned}a=&\lambda \ \,a'+\mu \ \ b'+\nu \ \ c',\\b=&\lambda '\,a'+\mu '\,b'+\nu '\,c',\\c=&\lambda ''a'+\mu ''b'+\nu ''c'\,;\end{aligned}}$

et ces équations serviront à déterminer les trois restantes des neuf quantités $\lambda ,\mu ,\ldots .$

Supposons maintenant que l’on ait $a'=0$ et $b'=0,$ pour que le point attiré se trouve dans l’axe même des coordonnées $c'\,;$ et l’on aura

$a=\nu c',\quad b=\nu 'c',\quad c=\nu ''c'',$

d’où l’on tire

$\nu ={\frac {a}{c'}},\quad \nu '={\frac {b}{c'}},\quad \nu ''={\frac {c}{c'}}.$

Ensuite on déterminera les autres quantités $\lambda ,\lambda ',\lambda '',\mu ,\mu ',\mu ''$ par les six équations ci-dessus.

On substituera donc à la place de $x,y,z$ les expressions ci-dessus dans l’équation

$z^{2}+mx^{2}+ny^{2}=k\,;$

ensuite il faudra mettre (6) à la place des nouvelles coordonnées $x',y',z'$ les quantités $r\sin p\cos q,\ r\sin p\sin q,\ c'+r\cos p\,;$ et l’on aura l’équation

$\left.{\begin{aligned}&m\left[\lambda \ \ r\sin p\cos q+\mu \ \ r\sin p\sin q+\nu \ \ (c'+r\cos p)\right]^{2}\\+&\ n\left[\lambda '\ r\sin p\cos q+\mu '\ r\sin p\sin q+\nu '\ (c'+r\cos p)\right]^{2}\\+&\quad \left[\lambda ''r\sin p\cos q+\mu ''r\sin p\sin q+\nu ''(c'+r\cos p)\right]^{2}\end{aligned}}\right\}=k,$

laquelle, étant ordonnée par rapport à $r,$ deviendra

$\left[{\begin{aligned}&m\left[\lambda \ \ r\sin p\cos q+\mu \ \ r\sin p\sin q+\nu \ \ (c'+r\cos p)\right]^{2}\\+&\ n\left[\lambda '\ r\sin p\cos q+\mu '\ r\sin p\sin q+\nu '\ (c'+r\cos p)\right]^{2}\\+&\quad \left[\lambda ''r\sin p\cos q+\mu ''r\sin p\sin q+\nu ''(c'+r\cos p)\right]^{2}\end{aligned}}\right]\times r^{2}$

$+\left[{\begin{aligned}&m\nu \ \ \left[\lambda \ \ r\sin p\cos q+\mu \ \ r\sin p\sin q+\nu \ \ (c'+r\cos p)\right]^{2}\\+&n\ \nu '\ \left[\lambda '\ r\sin p\cos q+\mu '\ r\sin p\sin q+\nu '\ (c'+r\cos p)\right]^{2}\\+&\quad \nu ''\left[\lambda ''r\sin p\cos q+\mu ''r\sin p\sin q+\nu ''(c'+r\cos p)\right]^{2}\end{aligned}}\right]\times 2c'r$

$+\left(m\nu ^{2}+n\nu '^{2}+\nu ''^{2}\right)c'^{2}-k=0.$

Donc faisant

$\mathrm {N} =\left[{\begin{aligned}m&\left(\lambda \sin p\cos q+\mu \sin p\sin q+\nu \cos p\right)^{2}\\&+n\left(\lambda '\ \sin p\cos q+\mu '\ \sin p\sin q+\nu '\ \cos p\right)^{2}\\&+\,\ \ \left(\lambda ''\sin p\cos q+\mu ''\sin p\sin q+\nu ''\cos p\right)^{2}\end{aligned}}\right],$

$\mathrm {M} =\left[{\begin{aligned}&(m\lambda \nu +n\lambda '\nu '+\lambda ''\nu '')\sin p\cos q\\&\quad +(m\mu \nu +n\mu '\nu '+\mu ''\nu '')\sin p\cos q\\&\qquad \qquad \quad +\left(m\nu ^{2}+n\nu '^{2}+\nu ''^{2}\right)\cos p\end{aligned}}\right]\times c'$

$h\ =\left(m\nu ^{2}+n\nu '^{2}+\nu ''^{2}\right)c'^{2}-k=a^{2}+mb^{2}+nc^{2}-h\,;$

on aura

$\mathrm {N} r^{2}+2\mathrm {M} r+h=0\,;$

d’où l’on tire la différence des racines

$r''-r'={\frac {2{\sqrt {\mathrm {M} ^{2}-h\mathrm {N} }}}{\mathrm {N} }},$

valeur qu’il faudra substituer dans les formules différentielles du Problème IV, après quoi on intégrera relativement à $p$ et à $q,$ en observant les règles données dans ce Problème. Mais comme les valeurs ci-dessus de $\mathrm {M}$ et de $\mathrm {N}$ sont presque encore plus compliquées que celles du n^o 12, il s’ensuit que la méthode précédente ne saurait être d’une grande utilité dans la solution du Problème dont il s’agit.

extraits de deux lettres de d’alembert à lagrange.

(Nouveaux Mémoires de l’Académie royale des Sciences et Belles-Lettres
de Berlin, année 1774.)

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lettre du 15 septembre 1775.

La lecture de votre excellent Mémoire sur l’attraction des sphéroïdes elliptiques, inséré dans le volume de 1773, m’a fait revenir un moment sur ce que j’avais donné dans le sixième volume de mes Opuscules, relativement à cette matière, et j’ai trouvé que le Théorème de M. Maclaurin, sur lequel j’avais formé quelques doutes, pages 242 et 243, Art. 54, et qu’il a énoncé sans démonstration, est en effet très-vrai. Pour le faire voir, je reprends l’équation de la page 236 de mon sixième volume

$c^{2}-{\frac {b^{2}}{1+\sin ^{2}\mathrm {Z} {\dfrac {b^{2}-a^{2}}{a^{2}}}}}=\mathrm {C} ^{2}-\mathrm {\frac {B^{2}}{1+\sin ^{2}Z'{\dfrac {B^{2}-A^{2}}{A^{2}}}}} ,$

et j’ajoute au premier membre $b^{2}-c^{2},$ et au second $\mathrm {B^{2}-C^{2}} ,$ qui lui est égal par l’hypothèse, ce qui donne

${\frac {\sin ^{2}\mathrm {Z} }{1+\sin ^{2}\mathrm {Z} {\dfrac {b^{2}-a^{2}}{a^{2}}}}}$

en raison constante avec

$\mathrm {\frac {\sin ^{2}Z'}{1+\sin ^{2}Z'{\dfrac {B^{2}-A^{2}}{A^{2}}}}} .$

De même ajoutant au premier membre $a^{2}-c^{2},$ et au second $\mathrm {A^{2}-C^{2}} ,$ qui lui est égal (hypothèse), et mettant au numérateur $1-\cos ^{2}\mathrm {Z}$ pour $\sin ^{2}\mathrm {Z} ,$ et $1-\cos ^{2}\mathrm {Z} '$ pour $\sin ^{2}\mathrm {Z} ',$ on verra facilement que

${\frac {\cos ^{2}\mathrm {Z} }{1+\sin ^{2}\mathrm {Z} {\dfrac {b^{2}-a^{2}}{a^{2}}}}}$

sera en raison constante avec

$\mathrm {\frac {\cos ^{2}Z'}{1+\sin ^{2}Z'{\dfrac {B^{2}-A^{2}}{A^{2}}}}} ,$

d’où l’on tire aisément le reste de la démonstration par la même méthode que dans les pages 236 et 237.

Il faut encore remarquer, pour la fin de la page 242, Art. 53, que l’équation

$\mathrm {\frac {C^{2}}{B'^{2}}} ={\frac {\delta ^{2}}{\delta ^{2}-c^{2}+b'^{2}}},$

n’a lieu dans la supposition dont il s’agit, qu’en faisant $\delta =\mathrm {C} ,$ parce que $\mathrm {C^{2}-B'^{2}}$ est supposé égal à $c^{2}-b'^{2}\,;$ et qu’ainsi il ne se trouve point, dans cette équation

$\mathrm {C^{2}-B'^{2}} =c^{2}-b'^{2},$

de quantité $\delta$ qui soit différente de $\mathrm {C} .$

Comme il me semble que vous n’avez pas traité dans votre excellent Mémoire le cas du Théorème dont il s’agit, j’ai cru cette remarque digne de vous être communiquée.

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lettre du 15 décembre 1775.

Je suis bien aise que vous ayez trouvé par votre théorie, comme vous me faites l’honneur de me le mander, une démonstration analytique du Théorème de Maclaurin, dont je vous envoyai il y a deux mois la démonstration synthétique. C’est aussi par une voie analytique, dont le détail aurait été trop long dans une lettre, que j’avais trouvé la démonstration de ce Théorème. Je me contenterai de vous dire ici en peu de mots, que, si, en suivant les dénominations des pages 233 et suivantes du sixième volume de mes Opuscules, on suppose que e ${\frac {c^{2}-b'^{2}}{\delta ^{2}}}$ ou ${\frac {g^{2}}{\omega ^{2}}}$ soit le même dans les deux sphéroïdes, et qu’on fasse

${\frac {c^{2}-b'^{2}}{\delta ^{2}}}=u^{2}\quad {\text{et}}\quad {\frac {b^{2}-a^{2}}{a^{2}}}=\rho ^{2},$

je trouve que les attractions des deux sphéroïdes seront entre elles en raison donnée et connue, si la quantité

${\frac {du}{\sqrt {u^{2}+{\dfrac {b^{2}-c^{2}}{\delta ^{2}}}}}}{\frac {1}{\sqrt {{\dfrac {\rho ^{2}c^{2}+c^{2}-b^{2}}{\rho ^{2}\delta ^{2}+\delta ^{2}}}-u^{2}}}}$

est la même dans les deux sphéroïdes, c’est-à-dire si ${\frac {b^{2}-c^{2}}{\delta ^{2}}}$ est constant dans ces deux sphéroïdes, ainsi que ${\frac {c^{2}-b^{2}+\rho ^{2}c^{2}}{\left(\rho ^{2}+1\right)\delta ^{2}}}.$ Or il est facile de tirer de cette double condition l’équation

$\mathrm {A^{2}=B^{2}} -b^{2}+a^{2}\quad {\text{ou}}\quad \mathrm {A^{2}-B^{2}} =a^{2}-b^{2}.$

Il me semble encore que, pour trouver dans votre théorie l’attraction d’un sphéroïde de révolution en un point quelconque de l’équateur, dont je suppose le plan parallèle à celui des $x$ et des $y$ (ce qui donne, non plus $m=n,$ mais $m=1,$ et $n$ égal à tout ce qu’on voudra), il est nécessaire de changer les dénominations de $z,x$ et $y,$ et qu’il faut supposer

$y=r\sin p,\quad x=r\cos p\sin q,\quad z=c-r\cos p\cos q,$

$c$ étant l’axe parallèle aux $z,$ $b$ égal à $c$ l’axe parallèle aux $x,$ et $a$ l’axe parallèle aux $y,$ suivant les dénominations que j’ai données à ces axes dans le sixième volume de mes Opuscules. Par cette transformation l’attraction du sphéroïde à l’équateur se trouvera aussi facilement que l’attraction au pôle ; et vous pouvez remarquer que cette transformation est analogue à la solution de M. Maclaurin, qui consiste à chercher l’attraction des coupes elliptiques et semblables, perpendiculaires au plan de l’équateur, et ayant toutes une même commune section.

addition au mémoire précédent^[2].

(Nouveaux Mémoires de l’Académie royale des Sciences et Belles-Lettres
de Berlin, année 1775.)

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Les remarques contenues dans la lettre de M. d’Alembert, dont j’ai eu l’honneur de faire part à l’Académie il y a huit jours, m’ont donné occasion de chercher si le Théorème de M. Maclaurin concernant l’attraction d’un ellipsoïde sur un point quelconque placé dans le prolongement de l’un de ses trois axes ne pourrait pas se déduire des formules que j’ai données dans ce Mémoire ; et je crois que les Analystes verront avec plaisir avec combien de facilité on peut parvenir par ces formules à la démonstration du Théorème dont il s’agit.

1. Soit un sphéroïde elliptique représenté par l’équation

$z^{2}+mx^{2}+ny^{2}=k,$

nous avons trouvé dans le n^o 14 du Mémoire cité que l’attraction de ce sphéroïde sur un point placé hors de lui, dans le prolongement de l’axe des coordonnées $z$ (qui est en même temps un des axes du sphéroïde), et à la distance $c$ du centre, est exprimée par l’intégrale de la formule

${\frac {4dq}{1-m}}\left({\sqrt {k}}-{\sqrt {\frac {mc^{2}}{1-m}}}\times \operatorname {arc} \,\operatorname {tang} {\frac {\sqrt {k}}{\sqrt {\dfrac {mc^{2}}{1-m}}}}\right),$

en supposant qu’on mette dans cette formule $m\cos ^{2}q+n\sin ^{2}q$ à la place de $m,$ et qu’ensuite on prenne l’intégrale depuis $q=0$ jusqu’à $q=180^{\circ }\,;$ et comme les valeurs de $\sin ^{2}q$ et $\cos ^{2}q$ reviennent les mêmes dans le second quart de cercle, on pourra se contenter de prendre l’intégrale depuis $q=0$ jusqu’à $q=90^{\circ },$ et de la doubler.

Donc, si l’on fait pour plus de simplicité ${\frac {\sqrt {k}}{c}}=g,$ et qu’on écrive $m'$ à la place de $m$ en sorte qu’on ait $m'=m\cos ^{2}q+n\sin ^{2}q,$ l’attraction dont il s’agit sera exprimée par l’intégrale prise depuis $q=0$ jusqu’à $q=90^{\circ }$ de la formule

${\frac {8dq{\sqrt {k}}}{1-m'}}\left(1-{\frac {1}{g}}{\sqrt {\frac {m'}{1-m'}}}\times \operatorname {arc} \,\operatorname {tang} {\frac {g}{\sqrt {\dfrac {m'}{1-m'}}}}\right).$

Or

$\cos ^{2}q={\frac {1+\cos 2q}{2}},\quad \sin ^{2}q={\frac {1-\cos 2q}{2}}\,;$

donc

$m'={\frac {m+n+(m-n)\cos 2q}{2}}.$

Soit maintenant

$\operatorname {tang} q=t,$

on aura

$\cos 2q={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\quad dq={\frac {dt}{1+t^{2}}}\,;$

donc

$m'={\frac {(m+n)\left(1+t^{2}\right)+(m-n)\left(1-t^{2}\right)}{2\left(1+t^{2}\right)}}={\frac {m+nt}{1+t^{2}}},$

${\begin{aligned}1-m'=&{\frac {1-m+(1-n)t^{2}}{1+t^{2}}},\\{\frac {m'}{1-m'}}=&{\frac {m+nt^{2}}{1-m+(1-n)t^{2}}}\,;\end{aligned}}$

et la différentielle précédente deviendra par ces substitutions

${\frac {8dt{\sqrt {k}}}{1-m+(1-n)t^{2}}}$

$\times \left[1-{\frac {1}{g}}{\sqrt {\frac {m+nt^{2}}{1-m+(1-n)t^{2}}}}\times \operatorname {arc} \,\operatorname {tang} {\frac {g}{\sqrt {\dfrac {m+nt^{2}}{1-m+(1-n)t^{2}}}}}\right],$

et comme $q=0$ donne $t=0,$ et $q=90^{\circ }$ donne $t=\infty ,$ il s’ensuit que pour avoir l’attraction entière il faudra prendre l’intégrale de cette quantité depuis $t=0$ jusqu’à $t=\infty .$

2. On voit par l’équation générale du sphéroïde, laquelle donne $z^{2}=k$ lorsque $x$ et $y$ sont nuls, que ${\sqrt {k}}$ est le demi-axe, en sorte que, faisant $c={\sqrt {k}},$ le point attiré tombe sur la surface ; or dans ce cas on a $g=1,$ ce qui simplifie un peu la formule précédente. Mais je vais faire voir que quelle que soit la valeur de $g,$ on peut toujours ramener la formule à la même forme que dans le cas de $g=1.$

Pour cela je suppose

${\frac {m+nt^{2}}{1-m+(1-n)t^{2}}}=g^{2}{\frac {\mu +\nu \theta ^{2}}{1-\mu +(1-\nu )\theta ^{2}}},$

$\mu$ et $\nu$ étant des coefficients indéterminés et $\theta$ une nouvelle variable ; et je tire de là

$t^{2}={\frac {g^{2}(1-m)\mu -m(1-\mu )+\left[g^{2}(1-m)\nu -m(1-\nu )\right]\theta ^{2}}{n(1-\mu )-g^{2}(1-n)\mu +\left[n(1-\nu )-g^{2}(1-n)\nu \right]\theta ^{2}}}\,;$

je suppose maintenant

$g^{2}(1-m)\mu -m(1-\mu )=0,\quad n(1-\nu )-g^{2}(1-n)\nu =0,$

ce qui me donne

$\mu ={\frac {m}{m+(1-m)g^{2}}},\quad \nu ={\frac {n}{n+(1-n)g^{2}}}\,;$

j’aurai ainsi

$t^{2}={\frac {g^{2}(1-m)\nu -m(1-\nu )}{n(1-\mu )-g^{2}(1-n)\mu }}\theta ^{2},$

savoir, en substituant les valeurs précédentes de $\mu$ et $\nu ,$

$t^{2}={\frac {g^{2}(1-m)+m}{g^{2}(1-n)+n}}\theta ^{2},$

et de là

$t=\theta {\sqrt {\frac {g^{2}(1-m)+m}{g^{2}(1-n)+n}}}\,;$

de plus, à cause de $t^{2}={\frac {m\nu }{n\mu }}\theta ^{2},$ on aura

$1-m+(1-n)t^{2}={\frac {(1-m)n\mu +(1-n)m\nu \theta ^{2}}{n\mu }}\,;$

mais les deux équations ci-dessus donnent

$(1-m)\mu ={\frac {m(1-\mu )}{g^{2}}},\quad (1-n)\nu ={\frac {n(1-\nu )}{g^{2}}}\,;$

donc on aura

$1-m+(1-n)t^{2}={\frac {m}{g^{2}\mu }}\left[1-\mu +(1-\nu )\theta ^{2}\right]$

$={\frac {m+(1-m)g^{2}}{g^{2}}}\left[1-\mu +(1-\nu )\theta ^{2}\right].$

Faisant donc ces substitutions dans la formule différentielle du numéro précédent et supposant, pour abréger,

$\chi ={\frac {g^{4}k}{\left[g^{2}(1-m)+m\right]\left[g^{2}(1-n)+n\right]}},$

elle deviendra

${\frac {8d\theta {\sqrt {\chi }}}{1-\mu +(1-\nu )\theta ^{2}}}$

$\times \left[1-{\sqrt {\frac {\mu +\nu \theta ^{2}}{1-\mu +(1-\nu )\theta ^{2}}}}\times \operatorname {arc} \,\operatorname {tang} {\frac {1}{\sqrt {\dfrac {\mu +\nu \theta ^{2}}{1-\mu +(1-\nu )\theta ^{2}}}}}\right],$

et comme $\theta$ est égal à zéro lorsque $t=0,$ et égal à $\infty$ lorsque $t=\infty ,$ il s’ensuit qu’il faudra prendre aussi l’intégrale de cette formule depuis $\theta =0$ jusqu’à $\theta =\infty .$

3. Cette transformée en $\theta$ est, comme on voit, entièrement semblable à la formule ci-dessus en $t$ dans le cas de $g=1,$ les quantités $\mu ,\nu ,\chi$ répondant aux quantités $m,n,k\,;$ donc puisque les deux valeurs extrêmes des variables $t$ et $\theta$ doivent être les mêmes, il s’ensuit que l’intégrale de la différentielle en $t$ du n^o 1, quelle que soit la valeur de $g,$ sera exprimée par une fonction de $\mu ,\nu ,\chi$ semblable à la fonction de $m,n,k$ par laquelle sera exprimée la même intégrale dans le cas de $g=1.$

Donc l’attraction du sphéroïde représenté par l’équation

$z^{2}+mx^{2}+ny^{2}=k$

sur un point placé hors de lui dans l’axe des $z$ à la distance $c$ du centre sera égale à l’attraction du sphéroïde représenté par l’équation

$z^{2}+\mu x^{2}+\nu y^{2}=\chi$

sur un point de sa surface dans le même axe des $z.$

4. Les trois demi-axes du sphéroïde représenté par l’équation

$z^{2}+mx^{2}+ny^{2}=k,$

auxquels les coordonnées $x,y,z$ sont supposées parallèles, sont ${\sqrt {\frac {k}{m}}},{\sqrt {\frac {k}{n}}},$${\sqrt {k}}\,;$ nommant donc ces demi-axes $a,b,c,$ on aura

$k=c^{2},\quad m={\frac {c^{2}}{a^{2}}},\quad n={\frac {c^{2}}{b^{2}}},$

et désignant par $h$ la distance du point attiré au centre du sphéroïde, distance que nous avons nommée plus haut $c,$ on aura (1)

$g^{2}={\frac {c^{2}}{h^{2}}}\,;$

donc, substituant ces valeurs dans les formules du n^o 2, on aura

$\mu ={\frac {h^{2}}{h^{2}+a^{2}-c^{2}}},\ \ \nu ={\frac {h^{2}}{h^{2}+b^{2}-c^{2}}},\ \ \chi ={\frac {a^{2}b^{2}c^{2}}{\left(h^{2}+a^{2}-c^{2}\right)\left(h^{2}+b^{2}-c^{2}\right)}}\,;$

donc, si l’on nomme de même $\alpha ,\beta ,\gamma$ les trois demi-axes correspondants du sphéroïde représenté par l’équation

$z^{2}+\mu x^{2}+\nu y^{2}=\chi ,$

et qui sont ${\sqrt {\frac {\chi }{\mu }}},{\sqrt {\frac {\chi }{\nu }}},{\sqrt {\chi }},$ on aura, en substituant les valeurs précédentes de $\mu ,\nu ,\chi ,$

${\begin{aligned}\alpha =&{\frac {abc}{h{\sqrt {h^{2}+b^{2}-c^{2}}}}},\\\beta =&{\frac {abc}{h{\sqrt {h^{2}+a^{2}-c^{2}}}}},\\\gamma =&{\frac {abc}{h{\sqrt {h^{2}+a^{2}-c^{2}}}{\sqrt {h^{2}+b^{2}-c^{2}}}}}.\end{aligned}}$

Donc, si l’on a un sphéroïde elliptique dont les trois demi-axes soient $a,b,c,$ l’attraction de ce sphéroïde sur un point placé dans le prolongement d’un de ces axes comme $c,$ à la distance $h$ du centre, sera égale à l’attraction qu’un autre sphéroïde dont les trois demi-axes seraient $\alpha ,\beta ,\gamma$ exercerait sur un point placé à l’extrémité du demi-axe $\gamma .$

Si l’on fait $h=c,$ on voit que les quantités, $\alpha ,\beta ,\gamma$ deviennent $a,b,c,$ et par conséquent les deux sphéroïdes reviennent au même ; ce qui doit être pour l’exactitude de nos formules.

5. Imaginons un autre sphéroïde dont les trois demi-axes soient $f,g,h$, et qui soit entièrement semblable à celui dont les trois demi-axes sont $\alpha ,\beta ,\gamma \,;$ il faudra donc que l’on ait

$f={\frac {\alpha h}{\gamma }},\quad g={\frac {\beta h}{\gamma }}\,;$

par conséquent, si l’on substitue pour $\alpha ,\beta ,\gamma$ les valeurs précédentes, on aura

$f={\sqrt {h^{2}+b^{2}-c^{2}}},\quad g={\sqrt {h^{2}+a^{2}-c^{2}}}\,;$

donc

$f^{2}-h^{2}=b^{2}-c^{2},\quad g^{2}-h^{2}=a^{2}-c^{2}\,;$

et par conséquent aussi

$f^{2}-g^{2}=b^{2}-a^{2}.$

Donc, si le sphéroïde donné dont les trois demi-axes sont $a,b,c,$ et le sphéroïde dont les demi-axes sont $f,g,h$ sont supposés décrits autour du même centre, et en sorte que leurs axes respectifs soient placés dans les mêmes lignes, les coupes elliptiques de l’un et de l’autre sphéroïde faites par un plan passant par deux axes auront le même centre et les mêmes foyers, par les propriétés connues des sections coniques.

6. Par les formules du n^o 1 on voit que l’attraction sur un point placé à l’extrémité du demi-axe ${\sqrt {k}}$ (en faisant $c={\sqrt {k}}$ ou $g=1$) est proportionnelle à ${\sqrt {k}}$ tant que les quantités $m$ et $n$ demeurent les mêmes ; donc (4) l’attraction de deux sphéroïdes semblables sur des points placés aux extrémités de leurs axes respectifs est proportionnelle à ces axes. Donc l’attraction du sphéroïde, dont les axes sont $2f,2g,2h$ sur un point placé à l’extrémité de l’axe $2h,$ est à l’attraction du sphéroïde semblable, dont les axes sont $2\alpha ,2\beta ,2\gamma$ sur un point placé à l’extrémité de l’axe $2\gamma ,$ comme $2h$ est à $2\gamma$ ou comme $1$ est à ${\frac {\gamma }{h}}\,;$ mais ${\biggl (}$ à cause de $f={\frac {\alpha h}{\gamma }},\ g={\frac {\beta h}{\gamma }}{\biggr )}$

${\frac {\gamma }{h}}={\frac {\alpha \beta h}{\gamma fg}},$

et (4)

${\frac {\alpha \beta }{\gamma }}={\frac {abc}{h^{2}}}\,;$

donc

${\frac {\gamma }{h}}={\frac {abc}{fgh}}.$

Ainsi la proportion dont il s’agit sera égale à celle de $1$ à ${\frac {abc}{fgh}},$ ou de $fgh$ à $abc.$

De là et de ce qu’on a démontré plus haut il s’ensuit que l’attraction d’un sphéroïde elliptique sur un point placé dans le prolongement d’un de ses trois axes sera à l’attraction qu’exercerait sur le même point un autre sphéroïde qui aurait le même centre, la même position des axes, dont les coupes elliptiques faites par les mêmes plans passant par deux axes auraient les mêmes foyers, et dont la surface passerait par le point donné, en sorte que ce point se trouvât à l’extrémité d’un de ses axes, l’attraction, dis-je, du premier sphéroïde sera à celle du second comme le produit des trois axes du premier au produit des trois axes du second sphéroïde.

C’est le Théorème que M. Maclaurin a énoncé sans démonstration dans l’Art. 653 de son Traité des fluxions, et que nous nous étions proposé de déduire de nos formules.

1. Le facteur $2,$ qui figure dans ces formules et dans celles qui en résultent par l’intégration, est omis dans le texte primitif ; nous avons cru devoir le rétablir ici.
   (Note de l’Éditeur.)
2. Lu le 9 novembre 1775.