Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 01/Géométrie, article 15

Solution de ce problème : Déterminer un point dont la somme des distances à deux points et à une droite donnés soit la moindre possible ; par M. Vecten.

Annales de mathématiques pures et appliquées, 1, 1811 (p. 373-375).

QUESTIONS RÉSOLUES.

Solution du premier des deux problèmes proposés à la
page 292 de ce volume ;

Par M. Vecten, professeur de mathématiques spéciales
au lycée de Nismes.

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Énoncé. Deux villes se trouvent situées d’une manière connue, d’un même côté d’un canal rectiligne.

On veut établir un pont sur ce canal, et construire une route de communication de ce pont aux deux villes pour l’usage desquelles il est destiné.

Il s’agit de déterminer en quel lieu il faut établir ce pont, et de quelle manière on doit diriger les branches de la route, pour que la longueur totale de celle-ci soit la moindre possible ?

Solution. Soit $\mathrm {AB}$ (fig.7) la direction du canal, soient $\mathrm {M,M'}$, les deux villes desquelles soient abaissées sur $\mathrm {AB}$ les perpendiculaires $\mathrm {MP,M'P'}$ soit prolongée l’une quelconque $\mathrm {MP}$ de ces perpendiculaires, au-delà de $\mathrm {AB}$, d’une quantité $\mathrm {PN=PM}$ ; soit menée $\mathrm {M'N}$ coupant $\mathrm {AB}$ en $\mathrm {K}$ et soit joint $\mathrm {MK}$.

Si chacun des deux angles égaux $\mathrm {MKP,M'KP'}$ n’excède pas $30^{\circ }$ ; ou, ce qui revient au même, si aucune des perpendiculaires $\mathrm {MP}$ ou $\mathrm {M'P'}$ n’excède la moitié de $\mathrm {MK}$ ou $\mathrm {M'K}$, le point $\mathrm {K}$ sera celui où il faudra établir le pont, et on communiquera de ce pont aux deux villes par les routes $\mathrm {KM,KM'}$.

Si les angles égaux $\mathrm {MKP,M'KP'}$ excèdent $30^{\circ }$ ; ou, ce qui revient au même, si $\mathrm {KM}$ et $\mathrm {KM'}$ sont moindres que les doubles de $\mathrm {MP}$ et $\mathrm {M'P'}$ respectivement ; après avoir joint $\mathrm {M,M'}$ par une droite coupant en $\mathrm {A}$ la direction du canal, on examinera quelle est la grandeur de l’angle $\mathrm {MAP}$.

Si cet angle n’est pas moindre que $30^{\circ }$, ou, ce qui revient au même, si $\mathrm {MP}$ et $\mathrm {M'P'}$ ne sont pas moindres que les moitiés de $\mathrm {AM}$ et $\mathrm {AM'}$ respectivement, le pont devra être établi au pied $\mathrm {P}$ de la perpendiculaire abaissée, sur la direction du canal de la ville qui en est la plus voisine ; et on communiquera de ce pont aux deux villes par la route $\mathrm {PMM'}$.

Si enfin l’angle $\mathrm {MAP}$ est moindre que $30^{\circ }$, c’est-à-dire, si $\mathrm {MP}$ et $\mathrm {M'P'}$ sont moindres que les moitiés respectives de $\mathrm {AM}$ et $\mathrm {AM'}$, les angles $\mathrm {MKP}$ et $\mathrm {M'KP'}$ étant toujours plus grands que $30^{\circ }$, on construira de la manière suivante :

Tout étant d’ailleurs dans la figure 8 comme dans la figure 7, soient décrits des points $\mathrm {M,M'}$, comme centres, et avec des rayons arbitraires, des arcs coupant $\mathrm {MP}$ et $\mathrm {M'P'}$ en $d$ et $d'$ ; de ces points $d$ et $d'$ comme centres, et avec les mêmes rayons respectifs, soient décrits de nouveaux arcs coupant les premiers en $e$ et $e'$ ; soient enfin menées $\mathrm {M} e$ et $\mathrm {M'} e'$, se coupant en $m$ ; en abaissant, de ce dernier point, une perpendiculaire sur $\mathrm {AB}$, le pied $\mathrm {K}$ de cette perpendiculaire sera l’emplacement du pont, et on communiquera de ce pont aux deux villes au moyen des trois branches de route $m\mathrm {M} ,m\mathrm {M'} ,m\mathrm {K} ,$ formant autour de leur point de concours $m$ des angles égaux entre eux et à quatre tiers d’angle droit^[1].

1. Toutes ces diverses constructions se trouvent démontrées par l’analise, dans la note remise aux rédacteurs par M. Vecten, et que le défaut d’espace a forcé de ne donner que par extrait.
   (Note des éditeurs.)