Solution du problème énoncé à la page 128
de ce volume.
Par un Abonné.
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Énoncé. Deux points étant donnés, déterminer l’équation la plus
générale des courbes planes qui, passant par ces deux points, sont
telles que l’espace mixtiligne compris entre l’arc qui s’y termine et
sa corde, soit équivalent à une surface donnée ?
Solution. Soit et ces deux points, et rapportons-les à deux
axes rectangulaires ou obliques ; soit alors (a, b) les coordonnées du
premier, et celles du second.
On connaîtra ainsi le trapèze compris entre la droite qui joint ces
deux points, leurs ordonnées et l’axe des x ; et l’aire de ce trapèze
sera .
Puis donc que l’on connaît aussi l’aire du segment compris entre
l’arc qui se termine à ces deux points et sa corde, on doit connaître
également l’aire du quadrilatère mixtiligne compris par l’arc de courbe,
les ordonnées des deux extrémités de cet arc et l’axe des abscisses :
l’aire de ce quadrilatère étant la somme ou la différence de l’aire
au trapèze et de celle du segment.
Soit donc représenté cette dernière quantité par , et soit désigné
par , trois fonctions absolument arbitraires, mais nécessairement différentes, de l’abscisse x ; soit enfin désigné par , les
coefficiens différentiels ou fonctions-primes
de ces fonctions, l’équation demandée sera :
[1]
En effet, 1.o il est facile de se convaincre que cette équation est
également satisfaite par les valeurs et par les valeurs
et qu’ainsi la courbe quelle exprime passe par les
deux points donnés.
2.o Il n’est pas plus difficile de se convaincre qu’en substituant
la valeur de tirée de cette équation, dans la formule , et
intégrant, entre et , on obtiendra pour résultat, ainsi
qu’il était encore exigé.