GÉOMÉTRIE ANALITIQUE.
Construction des formules qui servent à déterminer
directement la grandeur et la situation des diamètres
principaux, dans les courbes du second degré rapportées
à deux axes rectangulaires quelconques.
Par M. Rochat, professeur de navigation à St-Brieux.
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On donne, dans plusieurs ouvrages élémentaires, des méthodes propres à la recherche des diamètres principaux des courbes du second degré, rapportées à deux axes rectangulaires quelconques ; mais, les calculs relatifs à cette recherche n’y étant point terminés, j’ai pensé qu’il pouvait être utile de remplir cette lacune ; en donnant des formules propres à ramener directement l’équation
(1)
à la forme
si n’est pas zéro ; et à la forme
dans le cas contraire.
Pour parvenir à ce but, changeons d’abord, dans l’équation (1),
en et en et ensuite en et en la transformée en et sera
équation dans laquelle on a
Posons présentement
nous trouverons (Voyez Biot ou Garnier)
et la transformée sera
(2)
Soit, en premier lieu positif ou négatif, différent de zéro ; en posant
il viendra (Voyez les Auteurs cités)
et la transformée sera simplement
Si nous désignons respectivement par et dans cette équation, les valeurs de et qui répondent à et nous aurons
ce qui donnera, en substituant et chassant les dénominateurs,
Si présentement nous portons les valeurs déterminées ci-dessus pour et dans celle de elle deviendra, toutes réductions faites,
et de là nous conclurons
Ainsi le centre sera donné par les valeurs de et les grandeurs des axes par celles de et et leurs directions par celle de
Soit, en deuxième lieu, d’où nous supposerons alors, dans l’équation (2)
et la transformée sera
Présentement comme nous avons trouvé ci-dessus
puisqu’on a d’ailleurs
il viendra, en égalant ces deux valeurs
d’où
c’est-à-dire,
d’un autre côté l’équation donne
valeurs qui ne saurait s’accorder avec parce qu’elles conduiraient à la condition qui, jointe à exprime, comme l’on sait, que la courbe dégénère dans le système de deux droites. Il faudra donc prendre en égalant cette valeur à la précédente, et résolvant l’équation résultante par rapport à il viendra
En mettant cette valeur dans l’équation et se rappelant la relation , le coefficient de disparaîtra, et il viendra
et par suite
On a en outre
or, d’où ; donc
posant donc
la transformée sera
Ainsi les coordonnées du sommet seront données par les valeurs de et la direction de l’axe par celle de et le paramètre par celle de
Au surplus, comme, dans certains cas particuliers, ces formules pourraient devenir illusoires, il sera convenable d’y remplacer
par ; on aura ainsi
sous cette forme leur application n’entraînera plus aucune difficulté.