Solution du dernier des deux problèmes proposés à la
page 104 de ce volume.
Par M. Lhuilier, professeur de mathématiques à l’académie
impériale de Genève.
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Énoncé. Une loterie étant composée de m numéros dont il en sort n à chaque tirage ; quelle probabilité y a-t-il que, parmi les n numéros d’un tirage, il ne se trouvera pas k nombres consécutifs de la suite naturelle ?
Soit une loterie composée de numéros, dont on en tire un nombre proposé On a déjà assigné le nombre des cas suivant lesquels, parmi les numéros extraits, il y en a deux qui suivent l’ordre des nombres naturels, ou qui forment un ambe successif.[1]
Soit une loterie composée de numéros, dont on en tire un nombre proposé On demande le nombre des cas suivant lesquels, parmi les numéros extraits, il y en a trois qui suivent l’ordre des nombres naturels, ou qui forment un terne successif ?
Je vais d’abord introduire à la résolution de cette question par des exemples.
I. Que le nombre des numéros extraits soit trois ; le nombre des ternes successifs est évidemment
II. Que le nombre des numéros extraits soit quatre,
1.o Que le numéro un soit tiré, avec les deux numéros suivans.
À ce terne successif peuvent se joindre, un à un, chacun des numéros restans. Le nombre des cas est
2.o Que le numéro un soit tiré avec le numéro deux, sans le
numéro trois. Les numéros restans, dont on tire deux, ne donnent
pas lieu à des ternes successifs.
3.o Que le numéro un soit tiré sans le numéro deux. Il reste
numéros dont on tire trois ; ils donnent lieu à ternes
successifs.
Raisonnant de même sur les numéros suivans, quant à leur combinaison avec les numéros qui les suivent, on trouve que le nombre des
ternes successifs, auxquels donne lieu l’extraction de quatre numéros,
est la somme des et des premiers nombres naturels, savoir :
III. Que le nombre des numéros extraits soit cinq.
1.o Que le numéro un soit tiré avec les deux numéros suivans,
À ce terne successif peuvent se joindre, deux à deux les numéros restans. Le nombre des cas est
2.o Que le numéro un soit tiré avec le numéro deux, sans le
numéro trois. Il reste numéros, dont on en tire trois. Le
nombre des ternes successifs auxquels ces numéros donnent
lieu est
3.o Que le numéro un soit extrait sans le numéro deux. Il reste
numéros dont on en tire quatre. Le nombre des ternes successifs auxquels ces numéros donnent lieu, est
De là, le nombre total des ternes successifs auxquels donne lieu
l’extraction de cinq numéros est la somme des premiers nombres naturels, et celle des premiers
nombres triangulaires. Ce nombre est donc
IV. Que le nombre des numéros extraits soit six.
1.o Que le numéro un soit tiré avec les deux numéros qui le suivent. À ce terne successif peuvent se joindre les numéros suivans, pris trois a trois ; le nombre des cas est
2.o Que le numéro un soit tiré avec le numéro deux, sans le numéro trois. Il reste numéros dont on en tire quatre. Le nombre des ternes successifs auxquels ces numéros donnent lieu est
3.o Que le numéro un soit tiré sans le numéro deux. Il reste numéros dont on en tire cinq. Le nombre des ternes successifs auxquels ces numéros donnent lieu est
De là, le nombre total des ternes successifs auxquels donne lieu l’extraction de six numéros, est
V. Que le nombre des numéros extraits soit sept.
1.o Que le numéro un soit tiré avec les deux numéros qui le
suivent. À ce terne successif peuvent se joindre les numéros
suivans, pris quatre à quatre. Le nombre des cas, est
2.o Que le numéro un soit tiré avec le numéro deux, sans le
numéro trois. Il reste numéros dont on en tire cinq. Le
nombre des ternes successifs auxquels ces numéros donnent lieu est
3.o Que le numéro un soit tiré sans le numéro deux. Il reste
numéros dont en en tire six. Le nombre des ternes successifs
auxquels ces numéros donnent lieu est
De là, le nombre total des ternes successifs auxquels donne lieu
l’extraction de sept numéros, est
Ces exemples paraissent suffire pour indiquer la voie à suivre
dans cette recherche, et pour montrer que le cas proposé, sur un
certain nombre de numéros extraits, est toujours ramené aux deux
cas dans lesquels le nombre des numéros extraits est inférieur d’une
et de deux unités.
Soit une loterie composée de numéros, dont on tire un
nombre proposé On demande le nombre des cas suivant
lesquels, parmi les numéros extraits, il y en a quatre qui suivent
l’ordre des nombres naturels ; ou qui forment un quaterne successif ?
Je vais encore introduire à la marche de cette recherche par
des exemples.
I. Que le nombre des numéros extraits soit quatre ; le nombre des
quaternes successifs est évidemment
II. Que le nombre des numéros extraits soit cinq.
1.o Que le numéro un soit tiré avec les trois numéros suivans.
À ce quaterne successif peuvent se joindre les numéros restants
pris, un à un. Le nombre des cas est
2.o Les numéros un et deux étant tirés sans aucun des deux suivans. Les numéros suivans, dont on en tire trois, ne donnent
pas lieu à des quaternes successifs.
3.o Le numéro un étant tiré sans le numéro deux. Il reste numéros dont on tire quatre. Le nombre des quaternes successifs
auxquels ces numéros donnent lieu est
De là, le nombre des quaternes successifs auxquels donne lieu
l’extraction de cinq numéros, est
III. Que le nombre des numéros extraits soit six.
1.o Que le numéro un soit tiré avec les trois numéros suivans.
À ce quaterne successif peuvent se joindre les numéros suivans,
pris deux à deux. Le nombre des cas est
2.o Que le numéro un soit tiré avec les suivans deux et trois
sans le numéro quatre. Les numéros suivans, dont on en
tire trois, ne donnent pas lieu à des quaternes successifs.
3.o Que les numéros un et deux soient tirés sans le numéro trois.
il reste numéros dont on en tire quatre. Ils donnent lieu à
quaternes successifs.
4.o Que le numéro un soit tiré sans le numéro deux. Il reste
numéros dont on tire cinq. Le nombre des quaternes successifs auxquels ils donnent lieu est
Partant, le nombre total des quaternes successifs auxquels donne
lieu l’extraction de six numéros est
IV. Que le nombre des numéros extraits soit sept.
1.o Que le numéro un soit tiré avec les trois suivans. À ce quaterne successif peuvent se joindre les numéros suivans pris trois à trois. Le nombre des cas est
2.o Que le numéro un soit tiré avec les deux numéros suivans,
sans le numéro quatre. Il reste numéros dont on tire quatre,
et qui donnent lieu à quaternes successifs.
3.o Que le numéro un soit tiré avec le numéro deux, sans le
numéro trois. Il reste numéros dont on tire cinq. Ils donnent lieu à quaternes successifs.
4.o Que le numéro un soit tiré sans le numéro deux. Il reste
numéros dont on en tire six. Le nombre des quaternes successifs auxquels ces numéros donnent lieu est
De là, le nombre total des quaternes successifs auxquels donne
lieu l’extraction de sept numéros est
V. Que le nombre des numéros extraits soit huit.
1.o Que le numéro un soit tiré avec les trois numéros suivans,
À ce quaterne successif peuvent se joindre les numéros suivan,
pris quatre à quatre. Le nombre des cas est
2.o Que le numéro un soit tiré avec les deux numéros suivan,
sans le numéro quatre. Il reste numéros dont on tire cinq,
et qui donnent lieu à quaternes successifs.
3.o Que le numéro un soit tiré avec le numéro deux, sans le
numéro trois. Il reste numéros dont on tire six. Le nombre
des quaternes successifs auxquels ils donnent lieu est
4.o Que le numéro un soit tiré sans le numéro deux. Il reste
numéros dont on tire sept. Le nombre des quaternes successifs
auxquels ces numéros donnent lieu est
De là, le nombre total des quaternes successifs auxquels donne
lieu l’extraction de huit numéros est
Ces exemples suffisent pour indiquer la voie à suivre dans cette
recherche ; et pour montrer que le cas proposé, sur un certain nombre de numéros extraits, est toujours ramené aux trois cas dans
lesquels les nombres de numéros extraits sont inférieurs d’une, de
deux et de trois unités.
Qu’on s’occupe des quines successifs. On montre de même que le cas proposé, sur un certain nombre de numéros extraits, est toujours ramené aux quatre cas dans lesquels les nombres des numéros extraits sont inférieurs d’une, de deux, de trois et de quatre unités, etc., etc.[2]