Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 03/Géométrie élémentaire, article 9

Recherche de la distance entre les centres des cercles inscrit et circonscrit à un même triangle ; par M. Garnier.

Annales de mathématiques pures et appliquées, 3, 1813 (p. 346-347).

GÉOMÉTRIE.

Recherche de la distance entre les centres des cercles
inscrit et circonscrit à un même triangle ;

Par M. Garnier, docteur ès sciences, ancien professeur
à l’école polytechnique.

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Au Rédacteur des Annales,

Monsieur,

La lecture de vos Annales me laisse le regret de n’avoir pas connu plutôt cet intéressant recueil ; il m’aurait servi à améliorer quelques théories de la première section de mon algèbre ; mais enfin je l’exploite au profit, tant de la seconde que de l’Application de l’algèbre à la géométrie, et des réciproques, ouvrage dont je prépare de nouvelles éditions ; ainsi, Monsieur, vous voyez que je serai de beaucoup votre débiteur.

Je ne sais trop, Monsieur, si vous consentirez à revenir sur une question déjà traitée dans le tome 1.^er de votre recueil (pages 149-158). Il s’agit de l’expression de la distance entre les centres des cercles inscrit et circonscrit à un même triangle. Il me semble que le procédé que j’ai l’honneur de vous adresser se recommande, par sa simplicité.

Soient $A,B,C$ les trois angles du triangle proposé ; soient respectivement $r$ et $R$ les rayons des cercles inscrit et circonscrit ; soit enfin $D$ la distance entre les centres de ces cercles.

En considérant $D$ comme l’un des côtés d’un triangle dont le sommet est en $A,$ observant que les deux autres côtés de ce triangle sont $R$ et ${\frac {r}{\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}A}},$ et que l’angle compris est ${\frac {1}{2}}(B-C)$ ou ${\frac {1}{2}}(C-B)$ ; on trouvera, par l’équation fondamentale de la trigonométrie rectiligne,

$2rR\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(B-C)\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}A=r^{2}+(R^{2}-D^{2})\operatorname {Sin} .^{2}{\frac {1}{2}}A.$

En transportant le sommet de ce triangle de $A$ en $B,$ on aura semblablement

$2rR\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(A-C)\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}B=r^{2}+(R^{2}-D^{2})\operatorname {Sin} .^{2}{\frac {1}{2}}B.$

Retranchant cette dernière équation de la première, il viendra

$2rR\left\{\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(B-C)\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}A-\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(A-C)\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}B\right\}$

$=(R^{2}-D^{2})\left(\operatorname {Sin} .^{2}{\frac {1}{2}}A-\operatorname {Sin} .^{2}{\frac {1}{2}}B\right)\,;$

or,

${\begin{aligned}\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(B-C)\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}A-\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(A-C)\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}B&=\textstyle \operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(A-B)\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}C\\&=\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(A-B)\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(A+B)\\&=\operatorname {Sin} .^{2}{\frac {1}{2}}A-\operatorname {Sin} .^{2}{\frac {1}{2}}B\,;\\\end{aligned}}$

on a donc, simplement

$2rR=R^{2}-D^{2},$

ou$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad D={\sqrt {R^{2}-2rR}}.$

Paris, le 16 novembre 1812.