Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 03/Géométrie transcendante, article 1

Démonstration de quelques formules trigonométriques nouvelles ou peu connues ; par M. du Bourguet.

Annales de mathématiques pures et appliquées, 3, 1813 (p. 19-25).

TRIGONOMÉTRIE.

Démonstration de quelques formules trigonométriques
nouvelles ou peu connues ;

Par M. du Bourguet, professeur de mathématiques spéciales
au lycée impérial.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

Soit $\phi (n)$ une fonction quelconque d’un nombre $n$ que nous supposons essentiellement entier et positif ; convenons, pour abréger, de dénoter simplement par $P\left\{\phi (g\ldots h)\right\}$ le produit de toutes les valeurs que reçoit la fonction $\phi (n),$ lorsqu’on y met successivement pour $n$ les nombres consécutifs de la suite naturelle $g,g+1,g+2,\ldots ,h\,;$

en sorte qu’on ait

$P\left\{\phi (g\ldots h)\right\}=\phi (g),\phi (g+1),\phi (g+2),\ldots ,\phi (h).$

Cette notation admise ; le Théorème de Côte donne

$a^{4m}-2a^{2m}b^{2m}\operatorname {Cos} .z+b^{4m}=P\left\{a^{2}\pm 2ab.\operatorname {Cos} .{\tfrac {2(o\ldots m-1)\varpi +z}{2m}}+b^{2}\right\}\,;$

pourvu qu’on prenne successivement le signe $+$ et le signe $-$ dans le second membre.

En exposant $b=a,$ cette formule devient

$2a^{4m}(1-\operatorname {Cos} .z)=P\left\{2a^{2}\left[1\pm \operatorname {Cos} .{\tfrac {2(o\ldots m-1)\varpi +z}{2m}}\right]\right\}\,;$

sortant de dessous le signe $P$ le facteur $2a^{2}$ qui deviendra au dehors $2^{2m}a^{4m},$ remarquant que $1-\operatorname {Cos} .z=2\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}z,$ et divisant par $4a^{2},$ il viendra

$\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}z=2^{2m-2}.P\left\{1\pm \operatorname {Cos} .{\tfrac {2(o\ldots m-1)\varpi +z}{2m}}\right\}\,;$

ou

$\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}z=2^{2m-2}.P\left\{1+\operatorname {Cos} .{\tfrac {2(o\ldots m-1)\varpi +z}{2m}}\right\}\times P\left\{1-\operatorname {Cos} .{\tfrac {2(o\ldots m-1)\varpi +z}{2m}}\right\}\,;$

ou

$\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}z=2^{2m-2}.P\left\{1-\operatorname {Cos} .^{2}{\tfrac {2(o\ldots m-1)\varpi +z}{2m}}\right\},$

ou

$\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}z=2^{2m-2}.P\left\{\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {2(o\ldots m-1)\varpi +z}{2m}}\right\},$

ou, en extrayant la racine quarrée

$\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}z=2^{m-1}.P\left\{\operatorname {Sin} .{\tfrac {2(o\ldots m-1)\varpi +z}{2m}}\right\},$

Faisant enfin $z=2x,$ il viendra

$\operatorname {Sin} .x=2^{m-1}.P\left\{\operatorname {Sin} .{\tfrac {(o\ldots m-1)\varpi +x}{m}}\right\}.$

En développant le second membre de cette équation, elle deviendra

$\operatorname {Sin} .x=2^{m-1}.\operatorname {Sin} .{\tfrac {x}{m}}.\operatorname {Sin} .{\tfrac {\varpi +x}{m}}.\operatorname {Sin} .{\tfrac {2\varpi +x}{m}}\ldots \operatorname {Sin} .{\tfrac {(m-2)\varpi +x}{m}}.\operatorname {Sin} .{\tfrac {(m-1)\varpi +x}{m}}.$

mais comme, en général, $\operatorname {Sin} .{\tfrac {(m-n)\varpi +x}{m}}=\operatorname {Sin} .{\tfrac {n\varpi -x}{m}},$ on pourra encore mettre la même équation sous cette autre forme

$\operatorname {Sin} .x=2^{m-1}.\operatorname {Sin} .{\tfrac {x}{m}}.\operatorname {Sin} .{\tfrac {\varpi +x}{m}}.\operatorname {Sin} .{\tfrac {2\varpi +x}{m}}\ldots \operatorname {Sin} .{\tfrac {2\varpi -x}{m}}.\operatorname {Sin} .{\tfrac {\varpi -x}{m}}.$ $\mathrm {(II)}$

Ces formules assez remarquables en elles-mêmes, conduisent immédiatement à celles que Lacroix a démontrées, d’après Lhuilier, dans son Traité des différences et des séries^[1]. Il suffit, en effet, pour les en déduire, de faire dans l’équation (I), $x={\tfrac {1}{2}}\varpi ,$ et dans l’équation (II), $x={\tfrac {1}{4}}\varpi ,$, en multipliant cette dernière par 2, On obtient ainsi

$1=2^{m-1}.\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{m}}{\tfrac {\varpi }{2}}.\operatorname {Sin} .{\tfrac {3}{m}}{\tfrac {\varpi }{2}}\ldots .\operatorname {Sin} .{\tfrac {2m-3}{m}}{\tfrac {\varpi }{2}}.\operatorname {Sin} .{\tfrac {2m-1}{m}}{\tfrac {\varpi }{2}}.\quad \mathrm {(B)}$

${\sqrt {2}}=2^{m}.\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2m}}{\tfrac {\varpi }{2}}.\operatorname {Sin} .{\tfrac {3}{2m}}{\tfrac {\varpi }{2}}\ldots .\operatorname {Sin} .{\tfrac {2m-3}{2m}}{\tfrac {\varpi }{2}}.\operatorname {Sin} .{\tfrac {2m-1}{2m}}{\tfrac {\varpi }{2}}.\quad \mathrm {(A)}$

La formule (B) est un peu plus élégante que celle de Lhuilier, que Lacroix a désignée par la même lettre. La différence naît de ce qu’ici les valeurs de $m$ commencent à l’unité, tandis que, dans la formule de Lhuilier, elles commencent à zéro.

En concentrant, pour plus de brièveté, les seconds membres des équations (B) et (A), et multipliant la première par 2, elles deviennent

$2=2^{m}.P\left\{\operatorname {Sin} .{\tfrac {2(1\ldots m)-1}{2m}}\varpi \right\},\ \mathrm {(B')}$

${\sqrt {2}}=2^{m}.P\left\{\operatorname {Sin} .{\tfrac {2(1\ldots m)-1}{2m}}{\frac {\varpi }{2}}\right\},\ \mathrm {(A')}$

et il est très-remarquable qu’on obtient la racine quarrée du produit

$2^{m}.P\left\{\operatorname {Sin} .{\tfrac {2(1\ldots m)-1}{2m}}\varpi \right\},$

par la simple substitution de ${\frac {\varpi }{2}}$ à $\varpi .$

De cette relation on peut conclure, en quarrant l’équation (A’),

$2^{m}.P\left\{\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {2(1\ldots m)-1}{2m}}{\tfrac {\varpi }{2}}\right\}=P\left\{\operatorname {Sin} .2{\tfrac {2(1\ldots m)-1}{2m}}{\tfrac {\varpi }{2}}\right\}\,;$

ou, en se rappelant que $\operatorname {Sin} .2x=2\operatorname {Sin} .x\operatorname {Cos} .x$

$2^{m}.P\left\{\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {2(1\ldots m)-1}{2m}}{\tfrac {\varpi }{2}}\right\}=P\left\{2\operatorname {Sin} .{\tfrac {2(1\ldots m)-1}{2m}}{\tfrac {\varpi }{2}}\operatorname {Cos} .{\tfrac {2(1\ldots m)-1}{2m}}{\tfrac {\varpi }{2}}\right\}\,;$

ou, en remarquant que 2 est $m$ fois facteur dans le second membre,

$P\left\{\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {2(1\ldots m)-1}{2m}}{\tfrac {\varpi }{2}}\right\}=P\left\{\operatorname {Sin} .{\tfrac {2(1\ldots m)-1}{2m}}{\tfrac {\varpi }{2}}\operatorname {Cos} .{\tfrac {2(1\ldots m)-1}{2m}}{\tfrac {\varpi }{2}}\right\}\,;$

ou encore

$P\left\{\operatorname {Sin} .{\tfrac {2(1\ldots m)-1}{2m}}{\tfrac {\varpi }{2}}\right\}P\left\{\operatorname {Sin} .{\tfrac {2(1\ldots m)-1}{2m}}{\tfrac {\varpi }{2}}\right\}=\ldots$

$P\left\{\operatorname {Sin} .{\tfrac {2(1\ldots m)-1}{2m}}{\tfrac {\varpi }{2}}\right\}P\left\{\operatorname {Cos} .{\tfrac {2(1\ldots m)-1}{2m}}{\tfrac {\varpi }{2}}\right\}\,;$

ou enfin

$P\left\{\operatorname {Sin} .{\tfrac {2(1\ldots m)-1}{2m}}{\tfrac {\varpi }{2}}\right\}=P\left\{\operatorname {Cos} .{\tfrac {2(1\ldots m)-1}{2m}}{\tfrac {\varpi }{2}}\right\}\,;\quad \mathrm {(C)}$

d’où résulte encore,

$P\left\{\operatorname {Tang} .{\tfrac {2(1\ldots m)-1}{2m}}{\tfrac {\varpi }{2}}\right\}=1.$

Posant ${\frac {\varpi }{4m}}=\omega ,$ d’où $m={\frac {\varpi }{4\omega }},$ et $2m-1={\frac {\varpi -2\omega }{2\omega }},$ il viendra, en substituant dans l’équation (C) et développant,

$\operatorname {Sin} .\omega \operatorname {Sin} .3\omega \operatorname {Sin} .5\omega \ldots \operatorname {Sin} .({\tfrac {1}{2}}\varpi -\omega )=\ldots$

$\operatorname {Cos} .\omega \operatorname {Cos} .3\omega \operatorname {Cos} .5\omega \ldots \operatorname {Cos} .({\tfrac {1}{2}}\varpi -\omega )\,;\quad \mathrm {(D)}$

équation qui, au surplus, se vérifie aisément d’elle-même, en observant que

${\begin{array}{lll}&\operatorname {Sin} .\omega &=\operatorname {Cos} .({\tfrac {1}{2}}\varpi -\omega ),\\&\operatorname {Sin} .3\omega &=\operatorname {Cos} .({\tfrac {1}{2}}\varpi -3\omega ),\\\end{array}}$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

${\begin{array}{lll}&\operatorname {Sin} .({\tfrac {1}{2}}\varpi -3\omega )&=\operatorname {Cos} .3\omega ,\\&\operatorname {Sin} .({\tfrac {1}{2}}\varpi -\omega )&=\operatorname {Cos} .\omega .\\\end{array}}$

Si l’on divise le premier membre de l’équation (D) par le second, et vice versa, il viendra

$\operatorname {Tang} .\omega \operatorname {Tang} .3\omega \ldots \operatorname {Tang} .({\tfrac {1}{2}}\varpi -\omega )$

$=\operatorname {Cot} .\omega .\operatorname {Cot} .3\omega \ldots \operatorname {Cot} .({\tfrac {1}{2}}\varpi -\omega )=1$

L’équation (A) peut être écrite ainsi

$1=2^{\frac {2m-1}{2}}.\operatorname {Sin} .{\tfrac {\varpi }{4m}}.\operatorname {Sin} .{\tfrac {3\varpi }{4m}}\operatorname {Sin} .{\tfrac {5\varpi }{4m}}\ldots \operatorname {Sin} .{\tfrac {(2m-1)\varpi }{4m}}\,;$

en y mettant pour $m$ la valeur ${\tfrac {\varpi }{4\omega }}$ et ayant égard à l’équation (D), elle devient

${\frac {1}{2^{\frac {\varpi -2\omega }{4\omega }}}}=\operatorname {Sin} .\omega \operatorname {Sin} .3\omega \ldots \operatorname {Sin} .({\tfrac {1}{2}}\varpi -\omega )$

$=\operatorname {Cos} .\omega \operatorname {Cos} .3\omega \ldots \operatorname {Cos} .({\tfrac {1}{2}}\varpi -\omega ).$

L’équation (II) divisée par $\operatorname {Sin} .{\frac {x}{m}}$ devient

${\frac {\operatorname {Sin} .x}{\operatorname {Sin} .{\frac {x}{m}}}}=2^{m-1}.\operatorname {Sin} .{\tfrac {\varpi +x}{m}}\operatorname {Sin} .{\tfrac {2\varpi +x}{m}}\operatorname {Sin} .{\tfrac {3\varpi +x}{m}}\ldots \operatorname {Sin} .{\tfrac {(m-1)\varpi +x}{m}}\,;$

faisant, dans cette équation, $x=0,$ en remarquant qu’alors on doit avoir

${\frac {\operatorname {Sin} .x}{\operatorname {Sin} .{\frac {x}{m}}}}=m,$^[2]

il viendra, en divisant par $2^{m-1}$,

${\frac {m}{2^{m-1}}}=\operatorname {Sin} .{\tfrac {\varpi }{m}}\operatorname {Sin} .{\tfrac {2\varpi }{m}}\operatorname {Sin} .{\tfrac {3\varpi }{m}}\ldots \operatorname {Sin} .{\tfrac {(m-1)\varpi }{m}}\,;$

posant alors ${\frac {\varpi }{m}}=\omega ,$ d’où $m={\frac {\varpi }{\omega }},$ il viendra

${\frac {\varpi }{2^{{\frac {\varpi }{\omega }}-1}.\omega }}=\operatorname {Sin} .\omega \operatorname {Sin} .2\omega \operatorname {Sin} .3\omega \ldots \operatorname {Sin} .(\varpi -\omega ).\qquad \mathrm {(E)}$

Or, par l’hypothèse, $m$ étant un nombre entier, ${\frac {\varpi }{\omega }}$ doit en être un aussi ; c’est-à-dire, que $\omega$ est un sous-multiple de $\varpi .$ Si, en outre, il est aussi un sous-multiple de ${\tfrac {1}{2}}\varpi ,$ ce qui aura toujours lieu, dans la nouvelle division du cercle, toutes les fois que $\omega ,$ sous-multiple de $\varpi ,$ ne sera pas 8° ou 40° ; la série (E) aura un nombre ${\frac {\varpi }{\omega }}-1$ impair de facteur ; et le $\left({\frac {\varpi }{2\omega }}-1\right)^{me}$ facteur, qui sera le moyen entre tous, sera $\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\varpi =1$ ; de plus, les ${\frac {\varpi }{\omega }}-1$ facteurs situés à la droite de celui-là, seront respectivement égaux aux ${\frac {\varpi }{\omega }}-1$ facteurs situés à sa gauche, puisque la somme des arcs également distants des extrêmes et constamment égaie à $\varpi .$ Donc, en extrayant la racine quarrée des deux membres de l’équation (E), il viendra

${\sqrt {\frac {\varpi }{2^{{\frac {\varpi }{\omega }}-1}.\omega }}}\left\{{\begin{aligned}&=\operatorname {Sin} .\omega \operatorname {Sin} .2\omega \operatorname {Sin} .3\omega \ldots \operatorname {Sin} .\left({\tfrac {1}{2}}\varpi -\omega \right),\\&=\operatorname {Cos} .\omega \operatorname {Cos} .2\omega \operatorname {Cos} .3\omega \ldots \operatorname {Cos} .\left({\tfrac {1}{2}}\varpi -\omega \right)\,;\\\end{aligned}}\right.$

d’où on tire encore les équations

$1\quad \left\{{\begin{aligned}&=\operatorname {Tang} .\omega \operatorname {Tang} .2\omega \operatorname {Tang} .3\omega \ldots \operatorname {Tang} .\left({\tfrac {1}{2}}\varpi -\omega \right),\\&=\operatorname {Cot} .\omega \operatorname {Cot} .2\omega \operatorname {Cot} .3\omega \ldots \operatorname {Cot} .\left({\tfrac {1}{2}}\varpi -\omega \right)\,;\\\end{aligned}}\right.$

Si nous posons $\omega =1^{\circ }$ ; nous aurons

${\sqrt {\frac {\varpi }{2^{{\frac {\varpi }{\omega }}-1}.\omega }}}={\sqrt {\frac {200}{2^{199}}}}={\sqrt {\frac {400}{2^{200}}}}={\frac {20}{2^{100}}}={\frac {10}{2^{99}}}\,;$

en passant donc aux logarithmes de Briggs, nous trouverons

$\operatorname {Log} .\operatorname {Sin} .1^{\circ }+\operatorname {Log} .\operatorname {Sin} .2^{\circ }+\operatorname {Log} .\operatorname {Sin} .3^{\circ }+\ldots +\operatorname {Log} .\operatorname {Sin} .99^{\circ }$

$=1-99^{\circ }\operatorname {Log} .2,\quad$$\mathrm {(F)}$

$\operatorname {Log} .\operatorname {Tang} .1^{\circ }+\operatorname {Log} .\operatorname {Tang} .2^{\circ }+\operatorname {Log} .\operatorname {Tang} .3^{\circ }+\ldots +\operatorname {Log} .\operatorname {Tang} .99^{\circ }$

$=0\,;\qquad$$\mathrm {(G)}$

mais si au rayon l’on veut substituer le rayon $1\,00000\,00000,$ comme on le fait dans les tables trigonométriques, afin d’éviter les logarithmes négatifs, il faudra ajouter 99 dixaines au second membre de l’équation (F) ; si de plus on veut pousser jusqu’à 100°, cette équation deviendra

$\operatorname {Log} .\operatorname {Sin} .1^{\circ }+\operatorname {Log} .\operatorname {Sin} .2^{\circ }+\operatorname {Log} .\operatorname {Sin} .3^{\circ }+\ldots +\operatorname {Log} .\operatorname {Sin} .100^{\circ }$

$=1001-99\operatorname {Log} .2,$

c’est-à-dire,

$\operatorname {Log} .\operatorname {Sin} .1^{\circ }+\operatorname {Log} .\operatorname {Sin} .2^{\circ }+\operatorname {Log} .\operatorname {Sin} .3^{\circ }+\ldots +\operatorname {Log} .\operatorname {Sin} .100^{\circ }$

$=971,1983.$

Ainsi pour le rayon $1\,00000\,00000$ et la division centésimale, le produit des sinus naturels de tous les degrés du quart de cercle est un nombre qui a 972 chiffres à sa partie entière.

Si $\omega ,$ sous-multiple de $\varpi ,$ ne l’est pas de ${\tfrac {1}{2}}\varpi ,$ ce qui aura lieu seulement, comme nous l’avons déjà observé, lorsque $a$ sera égal à 40° ou à 8° ; alors le second membre de l’équation (E) aura un nombre pair de facteurs ; et sa première moitié, dont le dernier facteur sera $\operatorname {Sin} {\tfrac {1}{2}}(\varpi -\omega )),$ sera égale à la dernière, dont le premier facteur sera $\operatorname {Sin} {\tfrac {1}{2}}(\varpi +\omega )).$ Extrayant donc la racine quarrée des deux membres, il viendra

${\sqrt {\frac {\varpi }{2^{{\frac {\varpi }{\omega }}-1}.\omega }}}=\operatorname {Sin} .\omega \operatorname {Sin} .2\omega \operatorname {Sin} .3\omega \ldots \operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\left(\varpi -\omega \right).$

En faisant successivement $\omega =40^{\circ }$ et $\omega =8^{\circ }$ on aura

$\operatorname {Sin} .40^{\circ }\operatorname {Sin} .80^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {5}}\,;$

$\operatorname {Sin} .8^{\circ }\operatorname {Sin} .16^{\circ }\operatorname {Sin} .24^{\circ }\operatorname {Sin} .32^{\circ }\ldots \operatorname {Sin} .96^{\circ }={\frac {5}{4096}}.$

1. Voyez le n.^o 1094, page 431, équations (A) et (B).
2. Voyez mon Traité de calcul différentiel et intégral, art. 60.