MÉCANIQUE.
Mémoire sur l’attraction des sphéroïdes elliptiques
homogènes ;
Par M. J. Plana, professeur d’astronomie à l’académie de
Turin.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
I. L’on trouve, dans le premier volume de la nouvelle édition de la Mécanique analitique de M. Lagrange (pages 113-114, l’énoncé d’un procédé très-ingénieux, pour former la série qui donne l’attraction des ellipsoïdes homogènes, sur les points extérieurs à leur surface. J’ai remarqué que ce procédé peut être démontré, d’une manière assez directe et simple, en transformant les coordonnées de la surface du corps attirant, conformément à ce qui a été pratiqué par M. Yvory, dans son excellent mémoire, sur l’attraction des ellipsoïdes homogènes.[1]
2. Soient
les coordonnées d’un point quelconque de l’ellipsoïde ;
l’élément de sa masse ; et
les coordonnées du point attiré. En posant
l’on sait qu’il suffit de connaître la valeur de
pour en conclure par la simple différentiation, les attractions parallèles aux axes.[2]
Soient, pour plus de simplicité,
![{\displaystyle T=\left[(a-x)^{2}+(b-y)^{2}+(c-z)^{2}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\,;\quad X=ax+by+cz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db1ae9dd42b6409635daa75fce542158a0f1c598)
![{\displaystyle r={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\,;\qquad R={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a357b555c84959a7181981561bd2e65a1a3259de)
d’où
![{\displaystyle T=\left[\left(r^{2}+R^{2}\right)-2X\right]^{-{\frac {1}{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8162fc846e534a3ce15f9151f6d92dbd803de8b7)
ou, en développant la valeur de ![{\displaystyle T,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30ee86b741f542feb8f95f3c81fd53b043a25e26)
![{\displaystyle T=\left(r^{2}+R^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}+{\tfrac {1}{2}}\left(r^{2}+R^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}.2X+{\tfrac {1.3}{2.4}}\left(r^{2}+R^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}.2^{2}X^{2}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0cd0d342cb173715107952b1296d2a1723ef3bf)
Maintenant, si l’on conçoit que l’on ait développé les radicaux
qui entrent dans cette série, il est évident que l’on réduira la valeur
de
à une suite de termes de la forme
dans lesquels
sera une fonction rationnelle et entière de
Il suit
de là que, pour former la série qui exprime la valeur de
il
est nécessaire d’avoir une formule propre à donner la valeur de
l’intégrale
![{\displaystyle \int x^{m}.y^{n}.z^{l}.\mathrm {d} M,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3c5b3833da3ba9aa89e600e8c589b05171ca308)
étendue à toute la masse de l’ellipsoïde. Or, il est clair qu’en
plaçant l’origine des coordonnées au centre de l’ellipsoïde, l’on aura
toutes les fois que l’un des exposans
sera
impair, puisque les mêmes élémens s’y trouveront, avec des signes
contraires. Donc, il faudra commencer par supprimer, dans la valeur
précédente de
tous les termes multipliés par des puissances impaires de
; et il faudra ensuite, par la même raison, rejeter du
développement des puissances paires de
tous les termes non compris
dans la forme
En désignant par
ce que deviennent par là les valeurs de
on aura, dans le cas présent,
![{\displaystyle (A)\ T=\left(r^{2}+R^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}+{\frac {1.3}{2.4}}\left(r^{2}+R^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}.2^{2}X'^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5eafe09146b6a34132fcb32890c50529fb44532)
![{\displaystyle +{\frac {1.3.5.7}{2.4.6.8}}\left(r^{2}+R^{2}\right)^{-{\frac {9}{2}}}.2^{4}X'^{4}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8108014e7f8c85a477136b075771edb17f7b2200)
3. Cela posé, cherchons une formule propre à donner la valeur de l’intégrale
![{\displaystyle \int \int \int .x^{2m}.y^{2n}.z^{2l}.\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z=P,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5347b72557c324a679b006d204adf036df9dcc5)
étendue à la masse entière de l’ellipsoïde.
En intégrant d’abord, depuis
jusqu’à
il viendra
![{\displaystyle P=-{\frac {2}{2m+1}}\int \int .x'^{2m+1}.y^{2n}.z^{2l}.\operatorname {d} x\operatorname {d} y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc1b881ea43f1273999d4ca8e9c92a2a88e39a6d)
Les valeurs de
qui entrent dans cette intégrale, doivent être considérées comme appartenant à la surface de l’ellipsoïde ; en conséquence, elles sont liées entre elles par l’équation
![{\displaystyle {\frac {x'^{2}}{k^{2}}}+{\frac {y^{2}}{k'^{2}}}+{\frac {z^{2}}{k''^{2}}}=1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/804e6350578509c81c9779458494228a7590a073)
désignant les demi-diamètres principaux de l’ellipsoïde. Il est évident que l’on rend cette équation identique, en posant
[3]
L’on pourra donc introduire les variables
et
à la place des variables
et
en prenant, conformément au principe connu,
[4]
d’où résulte, en substituant
![{\displaystyle P={\frac {2}{2m+1}}k^{2m+1}.k'^{2n+1}.k''^{2l+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcf83fcb99224bbc2a6dbbcf58babe618e1b1c40)
![{\displaystyle .\int \int \operatorname {Sin} .\theta ^{2m+2}.\operatorname {Cos} .\theta ^{2n+2l+1}.\operatorname {Sin} .\phi ^{2n}.\operatorname {Cos} .\phi ^{2l}.\operatorname {d} \theta \operatorname {d} \phi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adbf4f6f6d9940dcb1123aeaad89f913375f54ec)
Pour peu que l’on examine maintenant la forme des expressions des variables
en
et
l’on comprendra sans peine qu’en intégrant, d’abord depuis
jusqu’à
et ensuite
depuis
jusqu’à
l’on obtiendra la valeur de
relative à la moitié antérieure de l’ellipsoïde, et qu’en conséquence il suffira de doubler le résultat obtenu entre ces limites, pour que l’intégrale proposée soit étendue à la masse entière du corps.
Commençons l’intégration par rapport à
Il est facile de prouver que l’on a en général
![{\displaystyle \int \operatorname {d} \phi .\operatorname {Sin} .\phi ^{2n}.\operatorname {Cos} .\phi ^{2l}={\frac {1}{2n+1}}.\operatorname {Sin} .\phi ^{2n+1}.\operatorname {Cos} .\phi ^{2l-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d556b1e572287c717a94c1aba3c548fc5fbb218)
![{\displaystyle +{\frac {2l-1}{2n+1}}\int \operatorname {d} \phi .\operatorname {Sin} .\phi ^{2n+2}.\operatorname {Cos} .\phi ^{2l-2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e61bd8b81f9bf84cbd5c153049c6db7b8c5654d)
mais, en intégrant depuis
jusqu’à
le premier terme de cette intégrale devient toujours nul ; donc l’on aura, en continuant cette transformation,
![{\displaystyle \int \operatorname {d} \phi .\operatorname {Sin} .\phi ^{2n}.\operatorname {Cos} .\phi ^{2l}={\tfrac {2l-1}{2n+1}}.{\tfrac {2l-3}{2n+3}}.{\tfrac {2l-5}{2n+5}}.\ldots {\tfrac {1}{2n+2l-1}}\int \operatorname {d} \phi .\operatorname {Sin} .\phi ^{2n+2l}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a83652c6f1886b3f0e2f8b3f1d80176ee4b8c3e)
Or, par les formules connues, on trouve, entre les mêmes limites,
![{\displaystyle \int \operatorname {d} \phi .\operatorname {Sin} .\phi ^{2n+2l}={\frac {1.3.5.7\ldots (2n+2l-1)}{2.4.6.8\ldots (2n+2l)}}\varpi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63a957e119897b0f2563fb48ea05d2bf328b8d7b)
en nommant
le rapport de la circonférence au diamètre.
Donc
![{\displaystyle \int \operatorname {d} \phi .\operatorname {Sin} .\phi ^{2n}.\operatorname {Cos} .\phi ^{2l}={\tfrac {1.3\ldots (2l-1)}{(2n+1)(2n+3)\ldots (2n+2l-1)}}.{\tfrac {1.3\ldots (2n+2l-1)}{2.4.6\ldots (2n+2l)}}\varpi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d15bda57a076668f406b500d5104ed00d871da70)
ou bien, en réduisant,
![{\displaystyle (1)\ \int \operatorname {d} \phi .\operatorname {Sin} .\phi ^{2n}.\operatorname {Cos} .\phi ^{2l}={\frac {\left[1.3.5\ldots (2n-1)\right]\left[1.3.5\ldots (2l-1)\right]}{2.4.6\ldots (2n+2l)}}.\varpi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/181289a84faeaab9f490a13ad98c781f89e7165d)
Pour effectuer, l’intégration par rapport à
remarquons que l’on a, en général,
![{\displaystyle \int \operatorname {d} \theta .\operatorname {Sin} .\theta ^{2m+2}.\operatorname {Cos} .\theta ^{2n+2l+1}=-{\frac {\operatorname {Sin} .\theta ^{2m+1}.\operatorname {Cos} .\theta ^{2n+2l+2}}{2m+2n+2l+3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/074e7e3cb4fea058abb724e50bc91cfd2fe5c7f8)
![{\displaystyle +{\frac {2m+1}{2m+2n+2l+3}}\int \operatorname {d} \theta .\operatorname {Sin} .\theta ^{2m}.\operatorname {Cos} .\theta ^{2n+2l+1}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bc68b5d712fc7abd4800c0795a36a24c53b51d1)
mais, entre les limites
le premier terme du second membre de cette équation deient toujours nul ; donc l’on aura, en continuant cette transformation,
![{\displaystyle \int \operatorname {d} \theta .\operatorname {Sin} .\theta ^{2m+2}.\operatorname {Cos} .\theta ^{2n+2l+1}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48a8c41d919c33dbb46437923fc7f80a7e8ff198)
![{\displaystyle {\tfrac {(2m+1)(2m-1)\ldots 1}{(2m+2n+2l+3)(2m+2n+2l+1)\ldots (2n+2l+3)}}\int \operatorname {d} \theta .\operatorname {Cos} .\theta ^{2n+2l+1}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1fd9b3ddef36ca6a8e1c776be89e3e49e530750)
or, par les formules connues, on trouve, entre les mêmes limites,
![{\displaystyle \int \operatorname {d} \theta .\operatorname {Cos} .\theta ^{2n+2l+1}={\frac {2.4.6\ldots (2n+2l)}{3.5.7\ldots (2n+2l+1)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed8fcf1e64aaae94f5015644abc5d90da6b211af)
partant
![{\displaystyle (2)\ \int \operatorname {d} \theta .\operatorname {Sin} .\theta ^{2m+2}.\operatorname {Cos} .\theta ^{2n+2l+1}={\tfrac {\left[1.3.5\ldots (2m+1)\right]\left[2.4.6\ldots (2n+2l)\right]}{3.5.7\ldots (2m+2n+2l+3)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f7be2b7aa924b5312b9241df96d36556d443c5d)
En doublant le produit des formules (1) et (2), et posant
![{\displaystyle M={\frac {4\varpi }{3}}.kk'k''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21d88b0f851595fc447e9dc1a1ce4b18f201d4f1)
l’on obtient enfin
![{\displaystyle \mathrm {(B)} \ \int x^{2m}.y^{2n}.z^{2l}.\operatorname {d} M=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6341f9e7d2ef724d0122fbf81ea03649f1d738e6)
![{\displaystyle {\tfrac {\left[1.3.5\ldots (2m-1)\right]\left[1.3.5\ldots (2n-1)\right]\left[1.3.5\ldots (2l-1)\right]}{5.7.9\ldots (2m+2n+2l+3)}}Mk^{2m}.k'^{2n}.k''^{2l}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/938a2d88793ddf345881c046068aa58beafe7932)
Ce beau théorème est dû à M. Lagrange.[5]
4. Reprenons actuellement la valeur de
donnée par la série (A), et remarquons qu’en conséquence du théorème renfermé dans la formule (B), la valeur de
sera exprimée par une suite de la forme
où
représentent des fonctions rationnelles et entières de
. Or, il est démontré que
doit toujours être une fonction des excentricités de l’ellipsoïde[6], donc il doit nécessairement exister, entre les coefficiens
des rapports tels, qu’ils réduiront la valeur précédente de
à cette forme :
Il suit de là que l’équation
![{\displaystyle B\left(k'^{2}-k^{2}\right)^{p}\left(k''^{2}-k^{2}\right)^{q}+B'\left(k'^{2}-k^{2}\right)^{p'}\left(k''^{2}-k^{2}\right)^{q'}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0f08eb33338538a25f4b1abf2f3935e0ae13ec7)
![{\displaystyle =Ak^{2m}.k'^{2n}.k''^{2l}+A'k^{2m'}.k'^{2n'}.k''^{2l'}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aeabcb229b5e37bdb81c65093d902b73a183fe46)
doit être identiquement vraie. Cette identité ne cesse pas de subsister,
en faisant
dans les deux membres de l’équation ; ainsi, l’on aura
![{\displaystyle (C)\ Bk'^{2p}.k''^{2q}+B'k'^{2p'}.k''^{2q'}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/952e6c06cf9004571a6be9092d147ec15fe4519a)
![{\displaystyle =A_{I}k'^{2\alpha }.k''^{2\beta }+A_{II}k'^{2\alpha '}.k''^{2\beta '}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d8c9da01c222637e01ed4d6f420141e0aabbe9f)
en nommant
les coefficiens des termes qui,
dans le second membre de l’équation précédente, sont indépendans
de
La formule (B) nous fait voir que, pour obtenir les termes
qui, dans la valeur de
sont indépendans de
il suffit de poser
dans la valeur de
donnée par la série (A). Il est évident
que, par ce moyen, cette série revient à celle que l’on obtiendrait, en développant le radical
![{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}-2by-2cz+y^{2}+z^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd232d177da99e6af9ca457adb411ec7f30d9d30)
suivant les puissances de
et
en conservant seulement les termes
de la forme
L’intégrale d’un tel terme est, en vertu de la formule (B),
![{\displaystyle {\frac {\left[1.3.5\ldots (2m-1)\right]\left[1.3.5\ldots (2n-1)\right]}{5.7.9\ldots (2m+2n+3)}}MHk'^{2m}.k''^{2n}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaf15b4d48b423fa9c0c7e627547941e912438f1)
et, d’après l’équation (C), si l’on change, dans ce résultat,
et
respectivement en
et
la fonction
![{\displaystyle {\frac {\left[1.3.5\ldots (2m-1)\right]\left[1.3.5\ldots (2n-1)\right]}{5.7.9\ldots (2m+2n+3).}}.MH.\left(k'^{2}-k^{2}\right)^{m}\left(k''^{2}-k^{2}\right)^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3f53de7e043432c8aad4efd35845aced72fa3a8)
appartiendra au développement de la valeur de
![{\displaystyle V.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b2661a49b86bd1a5548e527bbfb068aa9f59978)
C’est en cela que consiste le procédé enseigné par M. Lagrange.
Turin, le 3 janvier 1813.