TRIGONOMÉTRIE.
Démonstration de quelques formules trigonométriques
nouvelles ou peu connues ;
Par M. du Bourguet, professeur de mathématiques spéciales
au lycée impérial.
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Soit une fonction quelconque d’un nombre que nous supposons essentiellement entier et positif ; convenons, pour abréger, de dénoter simplement par le produit de toutes les valeurs que reçoit la fonction lorsqu’on y met successivement pour les nombres consécutifs de la suite naturelle
en sorte qu’on ait
Cette notation admise ; le Théorème de Côte donne
pourvu qu’on prenne successivement le signe et le signe dans le second membre.
En exposant cette formule devient
sortant de dessous le signe le facteur qui deviendra au dehors remarquant que et divisant par il viendra
ou
ou
ou
ou, en extrayant la racine quarrée
Faisant enfin il viendra
En développant le second membre de cette équation, elle deviendra
mais comme, en général, on pourra encore mettre la même équation sous cette autre forme
Ces formules assez remarquables en elles-mêmes, conduisent immédiatement à celles que Lacroix a démontrées, d’après Lhuilier, dans son Traité des différences et des séries[1]. Il suffit, en effet, pour les en déduire, de faire dans l’équation (I), et dans l’équation (II), , en multipliant cette dernière par 2, On obtient ainsi
La formule (B) est un peu plus élégante que celle de Lhuilier, que Lacroix a désignée par la même lettre. La différence naît de ce qu’ici les valeurs de commencent à l’unité, tandis que, dans la formule de Lhuilier, elles commencent à zéro.
En concentrant, pour plus de brièveté, les seconds membres des équations (B) et (A), et multipliant la première par 2, elles deviennent
et il est très-remarquable qu’on obtient la racine quarrée du produit
par la simple substitution de à
De cette relation on peut conclure, en quarrant l’équation (A’),
ou, en se rappelant que
ou, en remarquant que 2 est fois facteur dans le second membre,
ou encore
ou enfin
d’où résulte encore,
Posant d’où et il viendra, en substituant dans l’équation (C) et développant,
équation qui, au surplus, se vérifie aisément d’elle-même, en observant que
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Si l’on divise le premier membre de l’équation (D) par le second, et vice versa, il viendra
L’équation (A) peut être écrite ainsi
en y mettant pour la valeur et ayant égard à l’équation (D), elle devient
L’équation (II) divisée par devient
faisant, dans cette équation, en remarquant qu’alors on doit avoir
[2]
il viendra, en divisant par ,
posant alors d’où il viendra
Or, par l’hypothèse, étant un nombre entier, doit en être un aussi ; c’est-à-dire, que est un sous-multiple de Si, en outre, il est aussi un sous-multiple de ce qui aura toujours lieu, dans la nouvelle division du cercle, toutes les fois que sous-multiple de ne sera pas 8° ou 40° ; la série (E) aura un nombre impair de facteur ; et le facteur, qui sera le moyen entre tous, sera ; de plus, les facteurs situés à la droite de celui-là, seront respectivement égaux aux facteurs situés à sa gauche, puisque la somme des arcs également distants des extrêmes et constamment égaie à Donc, en extrayant la racine quarrée des deux membres de l’équation (E), il viendra
d’où on tire encore les équations
Si nous posons ; nous aurons
en passant donc aux logarithmes de Briggs, nous trouverons
mais si au rayon l’on veut substituer le rayon comme on le fait dans les tables trigonométriques, afin d’éviter les
logarithmes négatifs, il faudra ajouter 99 dixaines au second membre de l’équation (F) ; si de plus on veut pousser jusqu’à 100°, cette équation deviendra
c’est-à-dire,
Ainsi pour le rayon et la division centésimale, le produit des sinus naturels de tous les degrés du quart de cercle est un nombre qui a 972 chiffres à sa partie entière.
Si sous-multiple de ne l’est pas de ce qui aura lieu seulement, comme nous l’avons déjà observé, lorsque sera égal à 40° ou à 8° ; alors le second membre de l’équation (E) aura un nombre pair de facteurs ; et sa première moitié, dont le dernier facteur sera sera égale à la dernière, dont le premier facteur sera Extrayant donc la racine quarrée des deux membres, il viendra
En faisant successivement et on aura