GÉOMETRIE TRANSCENDANTE.
De la Loxodromie, sur une surface de révolution,
et, en particulier, sur un sphéroïde elliptique ;
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On a appelé Loxodromie[1] la courbe qui coupe tous les méridiens
d’une surface quelconque de révolution sous un même angle donné.
Le problème de la recherche de cette courbe est, comme l’on voit,
un cas particulier du problème général des trajectoires aux fonctions
égales. Je vais d’abord le traiter pour une surface de révolution
quelconque : je considérerai ensuite, en particulier, le cas où cette
surface est celle d’un sphéroïde elliptique.
I. En supposant les coordonnées rectangulaires, et prenant l’axe
des pour axe de révolution, toutes les surfaces de révolution
peuvent être comprises dans l’équation générale
désignant une fonction quelconque, dont la forme caractérise
dans chaque cas particulier, la surface dont il s’agit.
Considérons, en particulier, sur cette surface, un point nous aurons d’abord, pour ce point,
(1)
Nous aurons ensuite, en différentiant,
en conséquence, l’équation du plan tangent an ce point sera
(4)
mais l’équation du plan du méridien, pour ce même point, est
(5)
le système de ces deux équations appartient donc à la tangente au
méridien au point de sorte qu’en éliminant successivement entre elles et on pourra prendre pour les
équations de cette tangente
ou encore, en vertu de l’équation (1)
Supposons présentement que le point soit un de ceux
de la trajectoire cherchée ; les équations de la tangente à cette trajectoire en ce point seront de la forme
(7)
les deux coefficiens différentiels
devant être déterminés
par ces conditions, 1.o que cette tangente soit sur le plan tangent (4) ; 2.o qu’elle fasse avec l’autre tangente (6) un angle constant
que nous représenterons par
Pour exprimer que la première de ces deux conditions est satisfaite, il ne s’agit que d’admettre que les équations (4, 7) ont
lieu en même temps ; ce qui donne, par l’élimination de
et
et la division par
(8)
équation qui n’est, au surplus, que la différentielle de l’équation (1)
prise par rapport à
Quant à la seconde condition, elle se déduit de l’inspection des
équations (4, 7) et de la formule connue qui donne le cosinus de l’angle de deux droites. On obtient ainsi
ou encore
ou bien, en vertu des équations (1, 8)
ou, en réduisant et multipliant par
ou enfin, en quarrant et chassant le dénominateur
(9)
La trajectoire cherchée sera donc déterminée par cette dernière
équation, jointe aux équations (1, 8).
Mais présentement, que les coordonnées courantes ont totalement
disparu, nous pouvons nous délivrer des accens ; en remplaçant en
outre par le coefficient différentiel
nous aurons finalement, pour les équations du problème
La trajectoire cherchée devant être sur la surface de révolution
qui est supposée connue, cette trajectoire se trouvera tout-à-fait
déterminée, si l’on connaît seulement sa projection sur le plan des
On en obtiendra l’équation différentielle en éliminant et entre
les trois équations ci-dessus, L’élimination de entre les deux
dernières donne
(IV)
mais il est impossible d’éliminer tant qu’on n’a pas statué
sur la nature de la fonction du moins en se bornant à des
équations du premier ordre.
Il est facile de pressentir que cette équation doit se simplifier en
passant aux coordonnées polaires. Soient donc le rayon vecteur,
et son inclinaison sur l’axe des nous aurons
d’où nous conclurons successivement
substituant donc dans l’équation (IV), elle deviendra, toutes réductions faites,
(V)
et l’équation polaire de la courbe sera le résultat de l’élimination
de entre cette équation et l’équation
(VI)
Sortons présentement de ces généralités, et supposons que la surface de révolution dont il s’agit est celle d’un sphéroïde elliptique,
engendré par une ellipse dont les deux diamètres principaux sont
et dont le centre soit à l’origine et dont le diamètre soit dans l’axe de révolution ; l’équation de ce sphéroïde sera
nous aurons donc ici
(VII)
donc
d’où
(VIII)
en conséquence, l’équation (V) deviendra, en réduisant
quarrant et éliminant au moyen de l’équation (VII), il viendra enfin
d’où on tire
(IX)
équation séparée, qu’il s’agit présentement d’intégrer.
Pour faire disparaître le radical du numérateur, posons d’abord
ce qui donnera, en quarrant et réduisant
d’où on tirera
donc
Substituant ces valeurs dans l’équation (IX), elle pourra être mise
alors sous la forme
posant ensuite
d’où
elle se réduira à
(X)
Pour rendre cette dernière formule rationnelle, nous poserons
d’où en quarrant et réduisant
ce qui donne
donc
Substituant toutes ces valeurs dans la formule (X), elle deviendra
(XI)
formule entièrement rationnelle.
En décomposant d’abord la fraction qui compose le second membre
en trois autres, on aura
En décomposant ultérieurement les deux premières fractions, il vient
ce qui donne, en intégrant,
ou encore
Présentement, pour effectuer l’intégration indiquée dans le dernier
terme, sans tomber dans les imaginaires, il est nécessaire de distinguer deux cas ; savoir : celui où le sphéroïde est alongé et celui
où il est aplati ; c’est-à-dire, celui où l’on a et celui où
l’on a, au contraire,
I.er Cas. Sphéroïde alongé. Dans ce cas, on a
en sorte que l’intégrale totale est, pour ce cas
II.me Cas. Sphéroïde aplati. Dans ce cas, on a
en sorte que l’intégrale totale est, pour ce cas,
III.me Cas. Sphère. Si, dans l’une ou dans l’autre formule, on
suppose on aura le résultat qui convient à la sphère. On obtiendra ainsi
Il ne s’agit plus présentement que de repasser de à de à et de à On tire des relations précédemment établies
mais on a aussi
Substituant donc cette valeur dans celle de elle deviendra telle
qu’elle doit être substituée dans nos formules, pour qu’elles deviennent les équations de projections de la loxodromie sur le plan de l’équateur.
La valeur de devenant nulle lorsque ce qui rend la valeur de infinie et imaginaire ; il nous faut, pour éviter cet inconvénient,
reprendre en particulier le cas de la sphère. Nous avons obtenu
l’équation différentielle générale
(IX)
en y faisant de suite elle devient, toutes réductions faites,
ce qui donne en intégrant
étant une constante que l’on déterminera, en assujettissant la
courbe à passer par un point donné arbitrairement sur la sphère.
Si l’on demandait que la courbe coupât tous les méridiens perpendiculairement, on devrait avoir ; l’équation (IX) se réduirait donc à
d’où
la projection de la loxodromie serait donc un cercle ayant son centre
à l’origine ; cette loxodromie serait donc elle-même un parallèle quelconque.
Si, au contraire, on supposait l’équation (IX) deviendrait simplement
d’où
la projection de la loxodromie serait donc une droite quelconque passant par l’origine ; cette loxodromie serait donc elle-même un
méridien quelconque.
Si, dans cette même équation (IX), on suppose ce qui
revient à supposer que le sphéroïde se réduit au plan de l’équateur,
elle deviendra simplement
d’où
équation de la spirale logarithmique, ainsi que cela doit être.