QUESTIONS RÉSOLUES.
Démonstration du théorème d’analise transcendante,
énoncé à la page 388 du X.e volume des Annales ;
Par
M. Frédéric Sarrus,
Et par un ancien
Élève de l’école polytechnique.
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M. Sarrus attaque la question d’une manière tout-à-fait synthétique. Il remarque d’abord que l’on a, par les théories connues,
d’où, en multipliant et réduisant,
Mais comme, à mesure que augmente,
tend sans cesse à devenir
il s’ensuit que, dans le même cas,
tend sans
cesse à se confondre avec l’arc de sorte qu’en faisant infini, on a rigoureusement
formule dont le second membre a une infinité de facteurs tendant sans cesse vers l’unité, quel que soit l’arc ce qui en garantit la convergence.
En prenant les différentielles logarithmiques des deux membres,
on tire de là, en transposant,
(I)
Si l’on pose ensuite étant la demi-circonférence dont le rayon est l’unité, en observant que et divisant par
on aura
(II)
qui est précisément la formule à démontrer.
M. Sarrus observe que ces deux séries, l’une et l’autre très-régulières, convergent rapidement toutes deux vers des progressions
décroissantes par quotiens ayant pour raison ; de sorte qu’en prenant pour un très-grand nombre, la dernière, par exemple, pourra être sensiblement remplacée par cette formule finie
L’anonyme, au contraire, parvient à son but par un procédé
tout-à-fait analitique, et conséquemment inverse de celui de M. Sarrus. Il cherche généralement quelle fonction, finie peut être équivalente à la série infinie
où désigne un arc quelconque. Posant donc cette série égale une certaine variable multipliant par et intégrant, il obtient
ou bien
observant ensuite que
il en conclut que
d’où, en différentiant et divisant par
ce qui donne, en remettant pour sa valeur et transposant,
formule qui est générale quel que soit l’arc
Si ensuite on suppose on tombe précisément sur la formule proposée à démontrer.