journal Annales de mathématiques pures et appliquées Sommation de diverses séries ; par MM. Pagani Michel, M…s, Stein, C. G. , et Querret . 1823 Nîmes V 13 Sommation de diverses séries ; par MM. Pagani Michel, M…s, Stein, C. G. , et Querret . Annales de mathématiques pures et appliquées, 1822-1823, Tome 13.djvu Annales de mathématiques pures et appliquées, 1822-1823, Tome 13.djvu/3 105-114
Solution du problème d’analise transcendante proposé à la page 321 du XII.e volume des Annales ;
Par
MM. Pagani Michel, ingénieur à Genève,
Par MM. M…s , à Berlin,
Par MM. C. G., à Grenoble,
Par MM. Stein , à Berlin, professeur au collége de Trêves, ancien
élève de l’école polytechnique,
Par MM. Et
Querret , chef d’institution à St-Malo.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
P ROBLÈME. On demande la somme finie de la suite infinie
1
+
a
Cos
.
x
1
+
a
2
Cos
.2
x
1.2
+
a
3
Cos
.3
x
1.2.3
+
a
4
Cos
.4
x
1.2.3.4
+
…
?
{\displaystyle 1+{\frac {a\operatorname {Cos} .x}{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Cos} .2x}{1.2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .3x}{1.2.3}}+{\frac {a^{4}\operatorname {Cos} .4x}{1.2.3.4}}+\ldots ?}
Solution . La plupart des solutions qu’on a données de ce problème reviennent pour le fond à ce qu’il suit.
Si, dans le terme général,
a
n
Cos
.
n
x
1.2.3
…
n
,
{\displaystyle {\frac {a^{n}\operatorname {Cos} .nx}{1.2.3\ldots n}},}
on met pour
Cos
.
n
x
{\displaystyle \operatorname {Cos} .nx}
sa valeur connue
Cos
n
x
=
(
Cos
.
x
+
−
1
Sin
.
x
)
n
+
(
Cos
.
x
−
−
1
Sin
.
x
)
n
2
,
{\displaystyle \operatorname {Cos} nx={\frac {\left(\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)^{n}+\left(\operatorname {Cos} .x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)^{n}}{2}},}
en faisant, pour abréger,
a
(
Cos
.
x
+
−
1
Sin
.
x
)
=
p
,
a
(
Cos
.
x
−
−
1
Sin
.
x
)
=
q
,
{\displaystyle a\left(\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)=p,\qquad a\left(\operatorname {Cos} .x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)=q,}
ce terme général deviendra
1
2
.
p
n
+
q
n
1.2.3
…
n
;
{\displaystyle {\frac {1}{2}}.{\frac {p^{n}+q^{n}}{1.2.3\ldots n}}\,;}
donc la suite proposée est la somme de deux autres dont les termes généraux sont respectivement
1
2
.
p
n
1.2.3
…
n
,
1
2
.
q
n
1.2.3
…
n
;
{\displaystyle {\frac {1}{2}}.{\frac {p^{n}}{1.2.3\ldots n}},\qquad {\frac {1}{2}}.{\frac {q^{n}}{1.2.3\ldots n}}\,;}
or, ces suites sont connues et sont les développemens respectifs de
1
2
e
p
,
1
2
e
q
,
;
{\displaystyle {\frac {1}{2}}e^{p},\qquad {\frac {1}{2}}e^{q},\qquad \,;}
donc, en désignant par
S
{\displaystyle S}
la somme de la suite proposée, on aura
2
S
=
e
p
+
e
q
,
{\displaystyle 2S=e^{p}+e^{q},}
ou, en remettant pour
p
{\displaystyle p}
et
q
{\displaystyle q}
les fonctions dont ils sont les symboles,
2
S
=
e
a
Cos
.
x
+
−
1
a
Sin
.
x
+
e
a
Cos
.
x
−
−
1
a
Sin
.
x
;
{\displaystyle 2S=e^{a\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}a\operatorname {Sin} .x}+e^{a\operatorname {Cos} .x-{\sqrt {-1}}a\operatorname {Sin} .x}\,;}
ou bien encore
2
S
=
e
a
Cos
.
x
(
e
+
−
1
a
Sin
.
x
+
e
−
−
1
a
Sin
.
x
)
;
{\displaystyle 2S=e^{a\operatorname {Cos} .x}\left(e^{+{\sqrt {-1}}a\operatorname {Sin} .x}+e^{-{\sqrt {-1}}a\operatorname {Sin} .x}\right)\,;}
mais on sait que
e
+
−
1
a
Sin
.
x
+
e
−
−
1
a
Sin
.
x
=
2
Cos
.
(
a
Sin
.
x
)
;
{\displaystyle e^{+{\sqrt {-1}}a\operatorname {Sin} .x}+e^{-{\sqrt {-1}}a\operatorname {Sin} .x}=2\operatorname {Cos} .(a\operatorname {Sin} .x)\,;}
donc enfin
S
=
e
a
Cos
.
x
.
Cos
.
(
a
Sin
.
x
)
.
{\displaystyle S=e^{a\operatorname {Cos} .x}.\operatorname {Cos} .(a\operatorname {Sin} .x).}
M. Querret déduit ce résultat d’un théorème très-général. Si l’on sait, dit-il, sommer la suite
A
0
+
A
1
a
+
A
2
a
2
+
A
3
a
3
+
A
4
a
4
+
…
{\displaystyle A_{0}+A_{1}a+A_{2}a^{2}+A_{3}a^{3}+A_{4}a^{4}+\ldots \qquad }
(1)
dans laquelle
A
0
,
A
1
a
,
A
2
,
…
{\displaystyle A_{0},A_{1}a,A_{2},\ldots }
sont supposés des coefficiens numériques, et qu’on en représente la somme par
f
(
a
)
;
{\displaystyle \operatorname {f} (a)\,;}
on aura
f
[
a
(
Cos
.
x
+
−
1
Sin
.
x
)
]
+
f
[
a
(
Cos
.
x
−
−
1
Sin
.
x
)
]
2
{\displaystyle {\frac {\operatorname {f} \left[a\left(\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)\right]+\operatorname {f} \left[a\left(\operatorname {Cos} .x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)\right]}{2}}}
pour la somme de la série
A
0
+
A
1
a
Cos
.
x
+
A
2
a
2
Cos
.2
x
+
A
3
a
3
Cos
.3
x
+
…
{\displaystyle A_{0}+A_{1}a\operatorname {Cos} .x+A_{2}a^{2}\operatorname {Cos} .2x+A_{3}a^{3}\operatorname {Cos} .3x+\ldots \qquad }
(2)
et
f
[
a
(
Cos
.
x
+
−
1
Sin
.
x
)
]
−
f
[
a
(
Cos
.
x
−
−
1
Sin
.
x
)
]
2
−
1
{\displaystyle {\frac {\operatorname {f} \left[a\left(\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)\right]-\operatorname {f} \left[a\left(\operatorname {Cos} .x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)\right]}{2{\sqrt {-1}}}}}
pour la somme de la série
A
0
+
A
1
a
Sin
.
x
+
A
2
a
2
Sin
.2
x
+
A
3
a
3
Sin
.3
x
+
…
{\displaystyle A_{0}+A_{1}a\operatorname {Sin} .x+A_{2}a^{2}\operatorname {Sin} .2x+A_{3}a^{3}\operatorname {Sin} .3x+\ldots \qquad }
(3)
En effet, suivant la signification donnée à la caractéristique,
f
,
{\displaystyle \operatorname {f} ,}
en changeant successivement
a
{\displaystyle a}
en
a
(
Cos
.
x
+
−
1
Sin
.
x
)
{\displaystyle a\left(\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)\quad }
et
a
(
Cos
.
x
−
−
1
Sin
.
x
)
,
{\displaystyle \quad a(\operatorname {Cos} .x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x),}
on a
f
[
a
(
Cos
.
x
+
−
1
Sin
.
x
)
]
{\displaystyle \operatorname {f} \left[a\left(\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)\right]}
pour la somme de la série
A
0
+
A
1
a
(
Cos
.
x
+
−
1
Sin
.
x
)
+
A
2
a
2
(
Cos
.2
x
+
−
1
Sin
.2
x
)
+
…
(
4
)
{\displaystyle A_{0}+A_{1}a\left(\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)+A_{2}a^{2}\left(\operatorname {Cos} .2x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .2x\right)+\ldots \quad \mathrm {(} 4)}
et
f
[
a
(
Cos
.
x
−
−
1
Sin
.
x
)
]
{\displaystyle \operatorname {f} \left[a\left(\operatorname {Cos} .x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)\right]}
pour la somme de la série
A
0
+
A
1
a
(
Cos
.
x
−
−
1
Sin
.
x
)
+
A
2
a
2
(
Cos
.2
x
−
−
1
Sin
.2
x
)
+
…
(
5
)
{\displaystyle A_{0}+A_{1}a\left(\operatorname {Cos} .x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)+A_{2}a^{2}\left(\operatorname {Cos} .2x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .2x\right)+\ldots \quad \mathrm {(} 5)}
or, la série (2) est la somme des séries (4, 5) divisée par
2
;
{\displaystyle 2\,;}
et la série (3) est la différence de ces mêmes séries, divisée par
2
−
1
,
{\displaystyle 2{\sqrt {-1}},}
donc la somme de la série (2) doit être la somme des séries (4, 5) divisée par
2
;
{\displaystyle 2\,;}
et la série (3) doit être la différence de ces mêmes séries, divisée par
2
−
1
.
{\displaystyle 2{\sqrt {-1}}.}
L’application à la série proposée est facile ; on a, comme l’on sait,
e
a
=
1
+
a
1
+
a
2
1.2
+
a
3
1.2.3
+
a
4
1.2.3.4
+
…
;
{\displaystyle e^{a}=1+{\frac {a}{1}}+{\frac {a^{2}}{1.2}}+{\frac {a^{3}}{1.2.3}}+{\frac {a^{4}}{1.2.3.4}}+\ldots \,;}
donc
e
a
=
f
(
a
)
;
{\displaystyle e^{a}=\operatorname {f} (a)\,;}
donc la somme de la série
1
+
a
Cos
.
x
1
+
a
2
Cos
.2
x
1.2
+
a
3
Cos
.3
x
1.2.3
+
a
4
Cos
.4
x
1.2.3.4
+
…
{\displaystyle 1+{\frac {a\operatorname {Cos} .x}{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Cos} .2x}{1.2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .3x}{1.2.3}}+{\frac {a^{4}\operatorname {Cos} .4x}{1.2.3.4}}+\ldots }
sera, d’après ce qui précède,
S
=
e
a
(
Cos
.
x
+
−
1
Sin
.
x
)
+
e
a
(
Cos
.
x
−
−
1
Sin
.
x
)
2
,
{\displaystyle S={\frac {e^{a\left(\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)}+e^{a\left(\operatorname {Cos} .x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)}}{2}},}
ou
S
=
e
a
Cos
.
x
(
e
+
−
1
a
Sin
.
x
+
e
−
−
1
a
Sin
.
x
)
2
;
{\displaystyle S={\frac {e^{a\operatorname {Cos} .x}\left(e^{+{\sqrt {-1}}a\operatorname {Sin} .x}+e^{-{\sqrt {-1}}a\operatorname {Sin} .x}\right)}{2}}\,;}
c’est-à-dire
S
=
e
a
Cos
.
x
.
Cos
.
(
a
Sin
.
x
)
,
{\displaystyle S=e^{a\operatorname {Cos} .x}.\operatorname {Cos} .(a\operatorname {Sin} .x),}
comme ci-dessus ; résultat qu’on peut mettre aussi sous la forme
e
a
e
+
x
−
1
+
e
a
e
−
x
−
1
2
{\displaystyle {\frac {e^{ae^{+x{\sqrt {-1}}}}+e^{ae^{-x{\sqrt {-1}}}}}{2}}}
M. C. G. observe qu’au surplus le résuItat
e
a
Cos
.
x
.
Cos
.
(
a
Sin
.
x
)
=
1
+
a
Cos
.
x
1
+
a
2
Cos
.2
x
1.2
+
a
3
Cos
.3
x
1.2.3
+
…
{\displaystyle e^{a\operatorname {Cos} .x}.\operatorname {Cos} .(a\operatorname {Sin} .x)=1+{\frac {a\operatorname {Cos} .x}{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Cos} .2x}{1.2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .3x}{1.2.3}}+\ldots }
peut se vérifier immédiatement par le développement. On en effet, que
e
a
Cos
.
x
=
1
+
a
Cos
.
x
1
+
a
2
Cos
.2
x
1.2
+
a
3
Cos
.3
x
1.2.3
+
a
4
Cos
.4
x
1.2.3.4
+
…
;
{\displaystyle e^{a\operatorname {Cos} .x}=1+{\frac {a\operatorname {Cos} .x}{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Cos} .2x}{1.2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .3x}{1.2.3}}+{\frac {a^{4}\operatorname {Cos} .4x}{1.2.3.4}}+\ldots \,;}
Cos
.
(
a
Sin
.
x
)
=
{\displaystyle \operatorname {Cos} .(a\operatorname {Sin} .x)=}
1
−
a
2
Sin
.
2
x
1.2
+
a
4
Sin
.
4
x
1.2.3.4
−
a
6
Sin
.
6
x
1.2.3
…
6
+
a
8
Sin
.
8
x
1.2.3
…
8
+
…
;
{\displaystyle 1-{\frac {a^{2}\operatorname {Sin} .^{2}x}{1.2}}+{\frac {a^{4}\operatorname {Sin} .^{4}x}{1.2.3.4}}-{\frac {a^{6}\operatorname {Sin} .^{6}x}{1.2.3\ldots 6}}+{\frac {a^{8}\operatorname {Sin} .^{8}x}{1.2.3\ldots 8}}+\ldots \,;}
multipliant ces équations membre à membre, ordonnant le second membre du produit par rapport à
a
,
{\displaystyle a,}
et faisant attention qu’en général
Cos
.
n
x
=
Cos
.
n
x
−
n
1
n
−
1
2
Sin
.
2
x
Cos
.
n
−
2
x
{\displaystyle \operatorname {Cos} .nx=\operatorname {Cos} .^{n}x-{\frac {n}{1}}{\frac {n-1}{2}}\operatorname {Sin} .^{2}x\operatorname {Cos} .^{n-2}x}
+
n
1
.
n
−
1
2
.
n
−
2
3
.
n
−
3
4
.
Sin
.
4
x
Cos
.
n
−
4
x
−
…
{\displaystyle +{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}.{\frac {n-2}{3}}.{\frac {n-3}{4}}.\operatorname {Sin} .^{4}x\operatorname {Cos} .^{n-4}x-\ldots }
il viendra
e
a
Cos
.
x
.
Cos
.
(
a
Sin
.
x
)
=
{\displaystyle e^{a\operatorname {Cos} .x}.\operatorname {Cos} .(a\operatorname {Sin} .x)=}
1
+
a
Cos
.
x
1
+
a
2
Cos
.2
x
1.2
+
a
3
Cos
.3
x
1.2.3
+
a
4
Cos
.4
x
1.2.3.4
+
…
(
α
)
{\displaystyle 1+{\frac {a\operatorname {Cos} .x}{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Cos} .2x}{1.2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .3x}{1.2.3}}+{\frac {a^{4}\operatorname {Cos} .4x}{1.2.3.4}}+\ldots \quad (\alpha )}
M. Stein observe que, par le même procédé, on se convsincra facilement que
e
a
Cos
.
x
.
Sin
.
(
a
Sin
.
x
)
=
a
Sin
.
x
1
+
a
2
Sin
.2
x
1.2
+
a
3
Sin
.3
x
1.2.3
+
…
;
(
β
)
{\displaystyle e^{a\operatorname {Cos} .x}.\operatorname {Sin} .(a\operatorname {Sin} .x)={\frac {a\operatorname {Sin} .x}{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Sin} .2x}{1.2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Sin} .3x}{1.2.3}}+\ldots \,;\quad (\beta )}
nous observerons, à notre tour, qu’en changeant
x
{\displaystyle x}
en
1
2
ϖ
−
x
,
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\varpi -x,}
on déduit de ces formules
e
a
Sin
.
x
.
Cos
.
(
a
Cos
.
x
)
=
{\displaystyle e^{a\operatorname {Sin} .x}.\operatorname {Cos} .(a\operatorname {Cos} .x)=}
1
+
a
Sin
.
x
1
−
a
2
Cos
.2
x
1.2
−
a
3
Sin
.3
x
1.2.3
+
…
(
γ
)
{\displaystyle 1+{\frac {a\operatorname {Sin} .x}{1}}-{\frac {a^{2}\operatorname {Cos} .2x}{1.2}}-{\frac {a^{3}\operatorname {Sin} .3x}{1.2.3}}+\ldots \quad (\gamma )}
e
a
Sin
.
x
.
Sin
.
(
a
Cos
.
x
)
=
{\displaystyle e^{a\operatorname {Sin} .x}.\operatorname {Sin} .(a\operatorname {Cos} .x)=}
a
Cos
.
x
1
+
a
2
Sin
.2
x
1.2
−
a
3
Cos
.3
x
1.2.3
−
a
4
Sin
.4
x
1.2.3.4
+
…
(
δ
)
{\displaystyle {\frac {a\operatorname {Cos} .x}{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Sin} .2x}{1.2}}-{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .3x}{1.2.3}}-{\frac {a^{4}\operatorname {Sin} .4x}{1.2.3.4}}+\ldots \quad (\delta )}
M. Querret déduit bien facilement le premier de ces trois derniers développemens de sa formule générale. En continuant, en effet de faire
f
(
a
)
=
e
a
,
{\displaystyle \operatorname {f} (a)=e^{a},}
la série (3) deviendra
a
Sin
.
x
1
+
a
2
Sin
.2
x
1.2
+
a
3
Sin
.3
x
1.2.3
+
a
4
Sin
.4
x
1.2.3.4
+
…
{\displaystyle {\frac {a\operatorname {Sin} .x}{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Sin} .2x}{1.2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Sin} .3x}{1.2.3}}+{\frac {a^{4}\operatorname {Sin} .4x}{1.2.3.4}}+\ldots }
dont la somme sera conséquemment
e
a
(
Cos
.
x
+
−
1
Sin
.
x
)
−
e
a
(
Cos
.
x
−
−
1
Sin
.
x
)
2
−
1
,
{\displaystyle {\frac {e^{a\left(\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)}-e^{a\left(\operatorname {Cos} .x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)}}{2{\sqrt {-1}}}},}
ou bien
e
a
Cos
.
x
.
(
e
+
−
1
Sin
.
x
−
e
−
−
1
Sin
.
x
)
2
−
1
,
{\displaystyle {\frac {e^{a\operatorname {Cos} .x}.\left(e^{+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x}-e^{-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x}\right)}{2{\sqrt {-1}}}},}
ou enfin
e
a
Cos
.
x
.
Sin
.
(
a
Sin
.
x
)
.
{\displaystyle e^{a\operatorname {Cos} .x}.\operatorname {Sin} .(a\operatorname {Sin} .x).}
M. C. G. observe que la formule
e
a
Cos
.
x
.
Cos
.
(
a
Sin
.
x
)
=
{\displaystyle e^{a\operatorname {Cos} .x}.\operatorname {Cos} .(a\operatorname {Sin} .x)=}
1
+
a
Cos
.
x
1
+
a
2
Cos
.2
x
1.2
+
a
3
Cos
.3
x
1.2.3
+
a
4
Cos
.4
x
1.2.3.4
+
…
{\displaystyle 1+{\frac {a\operatorname {Cos} .x}{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Cos} .2x}{1.2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .3x}{1.2.3}}+{\frac {a^{4}\operatorname {Cos} .4x}{1.2.3.4}}+\ldots }
a cela de très-remarquable qu’elle renferme, comme cas particuliers, les développemens, tant des exponentiels que des fonctions circulaires. Si, en effet, on y fait successivement
x
=
0
{\displaystyle x=0}
et
x
=
1
2
ϖ
,
{\displaystyle x={\frac {1}{2}}\varpi ,}
on trouve
e
a
=
1
+
a
1
+
a
2
1.2
+
a
3
1.2.3
+
a
4
1.2.3.4
+
…
,
Cos
.
a
=
1
−
a
2
1.2
+
a
4
1.2.3.4
−
a
6
1.2.3
…
6
+
…
;
{\displaystyle {\begin{aligned}&e^{a}=1+{\frac {a}{1}}+{\frac {a^{2}}{1.2}}+{\frac {a^{3}}{1.2.3}}+{\frac {a^{4}}{1.2.3.4}}+\ldots ,\\\\&\operatorname {Cos} .a=1-{\frac {a^{2}}{1.2}}+{\frac {a^{4}}{1.2.3.4}}-{\frac {a^{6}}{1.2.3\ldots 6}}+\ldots \,;\end{aligned}}}
la formule
e
a
Cos
.
x
.
Sin
.
(
a
Sin
.
x
)
=
{\displaystyle e^{a\operatorname {Cos} .x}.\operatorname {Sin} .(a\operatorname {Sin} .x)=}
a
Sin
.
x
1
+
a
2
Sin
.2
x
1.2
+
a
3
Sin
.3
x
1.2.3
+
a
4
Sin
.4
x
1.2.3.4
+
…
{\displaystyle {\frac {a\operatorname {Sin} .x}{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Sin} .2x}{1.2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Sin} .3x}{1.2.3}}+{\frac {a^{4}\operatorname {Sin} .4x}{1.2.3.4}}+\ldots }
donnera pareillement, en faisant
x
=
1
2
ϖ
,
{\displaystyle x={\frac {1}{2}}\varpi ,}
Sin
.
a
=
a
1
−
a
3
1.2.3
+
a
5
1.2.3.4.5
−
a
7
1.2.3
…
7
+
…
{\displaystyle \operatorname {Sin} .a={\frac {a}{1}}-{\frac {a^{3}}{1.2.3}}+{\frac {a^{5}}{1.2.3.4.5}}-{\frac {a^{7}}{1.2.3\ldots 7}}+\ldots }
M. Stein remarque, à son tour, que, connaissant la série proposée, on en peut déduire les sommes d’autres séries également remarquables. En y changeant, par exemple,
x
{\displaystyle x}
en
2
x
,
{\displaystyle 2x,}
il vient
e
a
Cos
.2
x
.
Cos
.
(
a
Sin
.2
x
)
=
{\displaystyle e^{a\operatorname {Cos} .2x}.\operatorname {Cos} .(a\operatorname {Sin} .2x)=}
1
+
a
Cos
.2
x
1
+
a
2
Cos
.4
x
1.2
+
a
3
Cos
.6
x
1.2.3
+
…
;
{\displaystyle 1+{\frac {a\operatorname {Cos} .2x}{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Cos} .4x}{1.2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .6x}{1.2.3}}+\ldots \,;}
or, le terme général
a
n
Cos
.2
n
x
1.2.3
…
n
{\displaystyle {\frac {a^{n}\operatorname {Cos} .2nx}{1.2.3\ldots n}}}
de cette nouvelle série peut également être mis sous les deux formes
a
n
1.2.3
…
n
−
2
a
n
Sin
.
2
n
x
1.2.3
…
n
,
2
a
n
Cos
.
2
n
x
1.2.3
…
n
−
a
n
1.2.3
…
n
,
{\displaystyle {\frac {a^{n}}{1.2.3\ldots n}}-{\frac {2a^{n}\operatorname {Sin} .^{2}nx}{1.2.3\ldots n}},\qquad {\frac {2a^{n}\operatorname {Cos} .^{2}nx}{1.2.3\ldots n}}-{\frac {a^{n}}{1.2.3\ldots n}},}
il viendra donc, en faisant successivement les deux substitution,
e
a
Cos
.2
x
.
Cos
.
(
a
Sin
.2
x
)
=
(
1
+
a
1
+
a
2
1.2
+
a
3
1.2.3
+
…
)
{\displaystyle e^{a\operatorname {Cos} .2x}.\operatorname {Cos} .(a\operatorname {Sin} .2x)=\left(1+{\frac {a}{1}}+{\frac {a^{2}}{1.2}}+{\frac {a^{3}}{1.2.3}}+\ldots \right)}
−
2
(
a
Sin
.
2
x
1
+
a
2
Sin
.
2
2
x
1.2
+
a
3
Sin
.
2
3
x
1.2.3
+
…
)
{\displaystyle -2\left({\frac {a\operatorname {Sin} .^{2}x}{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Sin} .^{2}2x}{1.2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Sin} .^{2}3x}{1.2.3}}+\ldots \right)}
e
a
Cos
.2
x
.
Cos
.
(
a
Sin
.2
x
)
=
{\displaystyle e^{a\operatorname {Cos} .2x}.\operatorname {Cos} .(a\operatorname {Sin} .2x)=}
2
(
a
Cos
.
2
x
1
+
a
2
Cos
.
2
2
x
1.2
+
a
3
Cos
.
2
3
x
1.2.3
+
…
)
{\displaystyle 2\left({\frac {a\operatorname {Cos} .^{2}x}{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Cos} .^{2}2x}{1.2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .^{2}3x}{1.2.3}}+\ldots \right)}
+
2
−
(
1
+
a
1
+
a
2
1.2
+
a
3
1.2.3
+
…
)
;
{\displaystyle +2-\left(1+{\frac {a}{1}}+{\frac {a^{2}}{1.2}}+{\frac {a^{3}}{1.2.3}}+\ldots \right)\,;}
d’où on tirera, en transposant et remplaçant l’une des séries par sa valeur
e
a
,
{\displaystyle e^{a},}
a
Sin
.
2
x
1
+
a
2
Sin
.
2
2
x
1.2
+
a
3
Sin
.
2
3
x
1.2.3
+
…
=
{\displaystyle {\frac {a\operatorname {Sin} .^{2}x}{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Sin} .^{2}2x}{1.2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Sin} .^{2}3x}{1.2.3}}+\ldots =}
e
a
−
e
a
Cos
.2
x
.
Cos
.
(
a
Sin
.2
x
)
2
,
{\displaystyle {\frac {e^{a}-e^{a\operatorname {Cos} .2x}.\operatorname {Cos} .(a\operatorname {Sin} .2x)}{2}},}
1
+
a
Cos
.
2
x
1
+
a
2
Cos
.
2
2
x
1.2
+
a
3
Cos
.
2
3
x
1.2.3
+
…
=
{\displaystyle 1+{\frac {a\operatorname {Cos} .^{2}x}{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Cos} .^{2}2x}{1.2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .^{2}3x}{1.2.3}}+\ldots =}
e
a
+
e
a
Cos
.3
x
.
Cos
.
(
a
Sin
.2
x
)
2
,
{\displaystyle {\frac {e^{a}+e^{a\operatorname {Cos} .3x}.\operatorname {Cos} .(a\operatorname {Sin} .2x)}{2}},}
M. Stein remarque encore que, par des moyens semblables à ceux qui ont été appliqués à la série proposée, on parviendrait aussi à sommer la série
a
Sin
.
x
1
+
a
2
Sin
.2
x
2
+
a
3
Sin
.3
x
3
+
a
4
Sin
.4
x
4
+
…
,
{\displaystyle {\frac {a\operatorname {Sin} .x}{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Sin} .2x}{2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Sin} .3x}{3}}+{\frac {a^{4}\operatorname {Sin} .4x}{4}}+\ldots ,}
dont le terme général est
a
n
Sin
.
n
x
n
.
{\displaystyle {\frac {a^{n}\operatorname {Sin} .nx}{n}}.}
Le résultat serait compliqué d’imaginaires qu’on ne pourrait faire disparaître que par des moyens peu directs ; et on trouverait finalement pour la somme cherchée
Arc
.
(
Tang
.
=
a
Sin
.
x
1
−
a
Cos
.
x
)
;
{\displaystyle \operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Tang} .={\frac {a\operatorname {Sin} .x}{1-a\operatorname {Cos} .x}}\right)\,;}
aussi la série proposée n’est-elle autre chose que la valeur que l’on tire pour
y
{\displaystyle y}
de l’équation
Tang
.
y
=
a
Sin
.
x
1
−
a
Cos
.
x
,
{\displaystyle \operatorname {Tang} .y={\frac {a\operatorname {Sin} .x}{1-a\operatorname {Cos} .x}},}
très-usitée en géodésie.
M. Querret tire de sa méthode générale plusieurs autres sommations. Posant, par exemple,
f
(
x
)
=
Log
.
(
1
+
a
)
{\displaystyle \operatorname {f} (x)=\operatorname {Log} .(1+a)}
ou
f
(
a
)
=
a
1
−
a
2
2
+
a
3
3
−
a
4
4
+
a
5
5
−
…
{\displaystyle \operatorname {f} (a)={\frac {a}{1}}-{\frac {a^{2}}{2}}+{\frac {a^{3}}{3}}-{\frac {a^{4}}{4}}+{\frac {a^{5}}{5}}-\ldots }
il en conclut que la somme de la série
a
Cos
.
x
1
−
a
2
Cos
.2
x
2
+
a
3
Cos
.3
x
3
−
a
4
Cos
.4
x
4
+
…
{\displaystyle {\frac {a\operatorname {Cos} .x}{1}}-{\frac {a^{2}\operatorname {Cos} .2x}{2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .3x}{3}}-{\frac {a^{4}\operatorname {Cos} .4x}{4}}+\ldots }
doit être
Log
.
[
1
+
a
(
Cos
.
x
+
−
1
Sin
.
x
)
]
+
Log
.
[
1
+
a
(
Cos
.
x
−
−
1
Sin
.
x
)
]
2
.
{\displaystyle {\frac {\operatorname {Log} .\left[1+a\left(\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)\right]+\operatorname {Log} .\left[1+a\left(\operatorname {Cos} .x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)\right]}{2}}.}
ou encore
Log
.
(
1
+
2
a
Cos
.
x
+
a
2
)
2
;
{\displaystyle {\frac {\operatorname {Log} .\left(1+2a\operatorname {Cos} .x+a^{2}\right)}{2}}\,;}
de sorte qu’on a
Log
.
(
1
+
2
a
Cos
.
x
+
a
2
)
=
{\displaystyle \operatorname {Log} .\left(1+2a\operatorname {Cos} .x+a^{2}\right)=}
2
(
a
Cos
.
x
1
−
a
2
Cos
.2
x
2
+
a
3
Cos
.3
x
3
−
…
)
.
{\displaystyle 2\left({\frac {a\operatorname {Cos} .x}{1}}-{\frac {a^{2}\operatorname {Cos} .2x}{2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .3x}{3}}-\ldots \right).}
En faisant successivement
a
=
+
1
{\displaystyle a=+1}
et
a
=
−
1
,
{\displaystyle a=-1,}
il vient
Log
.
(
1
+
Cos
.
x
)
=
{\displaystyle \operatorname {Log} .(1+\operatorname {Cos} .x)=}
−
Log
.2
+
2
(
Cos
.
x
1
−
Cos
.2
x
2
+
Cos
.3
x
3
−
Cos
.4
x
4
+
…
)
,
{\displaystyle -\operatorname {Log} .2+2\left({\frac {\operatorname {Cos} .x}{1}}-{\frac {\operatorname {Cos} .2x}{2}}+{\frac {\operatorname {Cos} .3x}{3}}-{\frac {\operatorname {Cos} .4x}{4}}+\ldots \right),}
Log
.
(
1
−
Cos
.
x
)
=
{\displaystyle \operatorname {Log} .(1-\operatorname {Cos} .x)=}
−
Log
.2
−
2
(
Cos
.
x
1
+
Cos
.2
x
2
+
Cos
.3
x
3
+
Cos
.4
x
4
+
…
)
,
{\displaystyle -\operatorname {Log} .2-2\left({\frac {\operatorname {Cos} .x}{1}}+{\frac {\operatorname {Cos} .2x}{2}}+{\frac {\operatorname {Cos} .3x}{3}}+{\frac {\operatorname {Cos} .4x}{4}}+\ldots \right),}
développemens donnés par Euler (Voyez son Calcul intégral tom. I, à la fin du chap. VI) ; il en déduit ensuite
Log
.
Cos
.
1
2
x
=
−
Log
.2
+
Cos
.
x
−
1
2
Cos
.2
x
+
1
3
Cos
.3
x
−
1
4
Cos
.4
x
+
…
Log
.
Sin
.
1
2
x
=
−
Log
.2
−
Cos
.
x
−
1
2
Cos
.2
x
−
1
3
Cos
.3
x
−
1
4
Cos
.4
x
−
…
Log
.
Tang
.
1
2
x
=
−
2
(
Cos
.
x
+
1
3
Cos
.3
x
+
1
5
Cos
.5
x
+
1
7
Cos
.7
x
+
…
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {Log} .\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}x=-\operatorname {Log} .2+\operatorname {Cos} .x-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Cos} .2x+{\tfrac {1}{3}}\operatorname {Cos} .3x-{\tfrac {1}{4}}\operatorname {Cos} .4x+\ldots \\&\operatorname {Log} .\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}x=-\operatorname {Log} .2-\operatorname {Cos} .x-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Cos} .2x-{\tfrac {1}{3}}\operatorname {Cos} .3x-{\tfrac {1}{4}}\operatorname {Cos} .4x-\ldots \\&\operatorname {Log} .\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}x=-2\left(\operatorname {Cos} .x+{\tfrac {1}{3}}\operatorname {Cos} .3x+{\tfrac {1}{5}}\operatorname {Cos} .5x+{\tfrac {1}{7}}\operatorname {Cos} .7x+\ldots \right)\end{aligned}}}