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Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 14/Algèbre élémentaire, article 1

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ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE.

Démonstration abrégée du Binome de Newton,
pour le cas de l’exposant entier et positif ;

M. L. C. Bouvier, ex-officier de génie, ancien élève
de l’école polytechnique.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈

Soit pour abréger,

il s’agit de prouver que le terme général du développement de est ou, ce qui revient au même, que

(1)

en développant le second membre depuis jusqu’à

Cette assertion se vérifiant facilement pour les quelques premières valeurs de tout se réduit à prouver que l’équation (1) aura lieu si l’on

(2)

or, on tire de là, en multipliant de part et d’autre par

(3)

d’où il suit, en comparant (3) à (1) que tout se réduit à prouver que

(4)

Or, en faisant, tour à tour, la multiplication par et par et prenant les termes généraux correspondans des deux produits, on trouve

donc, en ajoutant

(5)

or, il est très-facile de s’assurer que

donc l’équation (4), et par suite l’équation (1) se trouve pleinement justifiée[1].

  1. On a déjà donné dans ce recueil (tom. II, p. 207) une démonstration de la formule du binome, indépendante, comme celle-ci, de la théorie des combinaisons.
    J. D. G.