ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE.
Démonstration abrégée du Binome de Newton,
pour le cas de l’exposant entier et positif ;
M. L. C. Bouvier, ex-officier de génie, ancien élève
de l’école polytechnique.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
Soit pour abréger,
![{\displaystyle {\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}.{\frac {m-2}{3}}\ldots {\frac {m-\mu +2}{\mu -1}}=\operatorname {f} (m,\mu )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58150ddc4577b468bd6bb8d90d54cb99e45a4c8c)
il s’agit de prouver que le terme général du développement de
est
ou, ce qui revient au même, que
![{\displaystyle (x+a)^{m}=\Sigma \left\{\operatorname {f} (m,\mu )a^{\mu -1}x^{m-\mu +1}\right\}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2404cf5865009e1a951b1c76201e8891152c265)
(1)
en développant le second membre depuis
jusqu’à ![{\displaystyle \mu =\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fedee1f480be90f0dc1bec4dbf7723b6601414bc)
Cette assertion se vérifiant facilement pour les quelques premières valeurs de
tout se réduit à prouver que l’équation (1) aura lieu si l’on
![{\displaystyle (x+a)^{m-1}=\Sigma \left\{\operatorname {f} (m-1,\mu )a^{\mu -1}x^{m-\mu }\right\}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74df4b91daa7d1d908c0e70899d7cc96123159ce)
(2)
or, on tire de là, en multipliant de part et d’autre par ![{\displaystyle x+a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8b5f603cc1c7b8eaf1162eedf392ba0df454af2)
![{\displaystyle (x+a)^{m}=(x+a)\Sigma \left\{\operatorname {f} (m-1,\mu )a^{\mu -1}x^{m-\mu }\right\}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7195397c0abc3ffb862d5e8d79128b74858ed18f)
(3)
d’où il suit, en comparant (3) à (1) que tout se réduit à prouver que
![{\displaystyle (x+a)\Sigma \left\{\operatorname {f} (m-1,\mu )a^{\mu -1}x^{m-\mu }\right\}=\Sigma \left\{\operatorname {f} (m,\mu )a^{\mu -1}x^{m-\mu +1}\right\}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1b7781fdf04a123d3fe495266640d1b4f9579b7)
(4)
Or, en faisant, tour à tour, la multiplication par
et par
et prenant les termes généraux correspondans des deux produits, on trouve
![{\displaystyle {\begin{aligned}x\Sigma \left\{\operatorname {f} (m-1,\mu )a^{\mu -1}x^{m-\mu }\right\}&=\Sigma \left\{\operatorname {f} (m-1,\mu )a^{\mu -1}x^{m-\mu +1}\right\},\\\\a\Sigma \left\{\operatorname {f} (m-1,\mu )a^{\mu -1}x^{m-\mu }\right\}&=\Sigma \left\{\operatorname {f} (m-1,\mu -1)a^{\mu -1}x^{m-\mu +1}\right\}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b19479f353caee717340aaf7bccd3ad38d948e3)
donc, en ajoutant
![{\displaystyle (x+a)\Sigma \left\{\operatorname {f} (m-1,\mu )a^{\mu -1}x^{m-\mu }\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcf867a76e0c36e6de106af8f4e769f5e8c8314e)
![{\displaystyle =\Sigma \left\{\left[\operatorname {f} (m-1,\mu )+\operatorname {f} (m-1,\mu -1)\right]a^{\mu -1}x^{m-\mu +1}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37fff3f0862d5ad18cc819dc369351e578a0eae4)
(5)
or, il est très-facile de s’assurer que
![{\displaystyle \operatorname {f} (m-1,\mu )+\operatorname {f} (m-1,\mu -1)=\operatorname {f} (m,\mu )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45580798c07049b0b32b75834bf86c8c23c3efcd)
donc l’équation (4), et par suite l’équation (1) se trouve pleinement justifiée[1].