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Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 14/Géométrie élémentaire, article 9

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GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE.

Démonstration du théorème de M. Hamett,
mentionné à la page
 334 du présent volume ;

Par M. B. D. C.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈

Soit un triangle rectangle en Soient élevées à et aux points et et du côté opposé à des perpendiculaires et respectivement égales à et Soient menées et et soit de plus abaissée du point sur la perpendiculaire Il s’agit de démontrer que ces trois dernières droites se coupent en un même point.

Pour cela, soient élevées à par ses deux extrémités et et du côté opposé à des perpendiculaires et de même longueur qu’elle ; et soient menées et Soient menées respectivement à ces deux droites, par les points et des parallèles concourant en et soient joints et Les deux triangles et ayant, par construction, un côté égal adjacent à deux angles égaux, chacun à chacun, auront aussi leurs deux autres côtés égaux, chacun à chacun. Les figures et seront donc des parallélogrammes dont et seront des diagonales respectives. Nous aurons de plus, à cause des parallèles,

d’où nous conclurons

Ajoutant donc, de part et d’autre l’angle nous aurons, d’une part, la somme des trois angles du triangle et de l’autre la somme des trois angles et laquelle conséquemment vaudra, comme elle, deux angles droits ; d’où nous pouvons conclure que n’est autre chose que le prolongement de

Cela posé, il est connu que les triangles et sont respectivement égaux aux triangles et et comme deux côtés de chacun des premiers sont respectivement perpendiculaires à leurs homologues dans les derniers, il s’ensuit que les côtés et des premiers doivent aussi être perpendiculaires aux côtés et des derniers ; donc leurs parallèles et seront aussi respectivement perpendiculaires à et

Les trois droites ne sont donc ainsi que les perpendiculaires abaissées des trois sommets du triangle sur les directions des côtés respectivement opposés, et doivent conséquemment, par les théories connues, se couper au même point.


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