GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE.
Démonstration du théorème de M. Hamett,
mentionné à la page 334 du présent volume ;
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
Soit
un triangle rectangle en
Soient élevées à
et
aux points
et
et du côté opposé à
des perpendiculaires
et
respectivement égales à
et
Soient menées
et
et soit de plus abaissée du point
sur
la perpendiculaire
Il s’agit de démontrer que ces trois dernières droites se coupent en un même point.
Pour cela, soient élevées à
par ses deux extrémités
et
et du côté opposé à
des perpendiculaires
et
de même longueur qu’elle ; et soient menées
et
Soient menées respectivement à ces deux droites, par les points
et
des parallèles concourant en
et soient joints
et
Les deux triangles
et
ayant, par construction, un côté égal adjacent à deux angles égaux, chacun à chacun, auront aussi leurs deux autres côtés égaux, chacun à chacun. Les figures
et
seront donc des parallélogrammes dont
et
seront des diagonales respectives. Nous aurons de plus, à cause des parallèles,
![{\displaystyle Ang.\mathrm {C'CD} =Ang.\mathrm {CDA} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a536c483a4e1e9d94a43b113d9f47e9c3a194f8)
![{\displaystyle Ang.\mathrm {ACF} =Ang.\mathrm {CAD} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50aa0f042614baff1bb9354d1df694fe9d69bcb9)
d’où nous conclurons
![{\displaystyle Ang.\mathrm {C'CD} +Ang.\mathrm {ACF} =Ang.\mathrm {CDA} +Ang.\mathrm {CAD} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae19e4f4986c40b160fd5a44a0e13d66ed5fb800)
Ajoutant donc, de part et d’autre l’angle
nous aurons, d’une part, la somme des trois angles du triangle
et de l’autre la somme des trois angles
et
laquelle conséquemment vaudra, comme elle, deux angles droits ; d’où nous pouvons conclure que
n’est autre chose que le prolongement de ![{\displaystyle \mathrm {CC'} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b535f6a5afd971950d5e430243caad8ec0bf300b)
Cela posé, il est connu que les triangles
et
sont respectivement égaux aux triangles
et
et comme deux côtés de chacun des premiers sont respectivement perpendiculaires à leurs homologues dans les derniers, il s’ensuit que les côtés
et
des premiers doivent aussi être perpendiculaires aux côtés
et
des derniers ; donc leurs parallèles
et
seront aussi respectivement perpendiculaires à
et
Les trois droites
ne sont donc ainsi que les perpendiculaires abaissées des trois sommets du triangle
sur les directions des côtés respectivement opposés, et doivent conséquemment, par les théories connues, se couper au même point.