Démonstration analitique de deux théorèmes sur les transversales.
Par M. Ch. Sturm
Pour le premier théorème, prenons la droite donnée pour axe des
l’origine étant d’ailleurs quelconque et les coordonnées étant rectangulaires.
Soient
![{\displaystyle a,a',a''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b33b1a84f18e6633e1e5427b26cb3ab9cf72a660)
les coordonnées du sommet
![{\displaystyle \mathrm {A} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea6ef4ca74d67faaa4cee78ec7201ae9b5caa76c)
![{\displaystyle b,b',b''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acb09184e7b9be5d9ee0e46225e64efbebda8b38)
les coordonnées du sommet
![{\displaystyle \mathrm {B} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d78a2086ed80d312a2621662edfa44ef8d47317d)
![{\displaystyle c,c',c''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3eaeade6209f360eeccbcb497eb6f5c28a915edb)
les coordonnées du sommet
![{\displaystyle \mathrm {C} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/361b47422cabcfe72db184c88a4d5cfb960c9584)
![{\displaystyle \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf744715b1e99242f0e30fecf27cd092e460b6ef)
![{\displaystyle n,n',n''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5738d00c83d9f2d2580eee79e17b5c86c9b24416)
les coordonnées du sommet
![{\displaystyle \mathrm {N} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d634dbc1633d46a2ff22bb7269b4970135327c4)
Soient en outre
les cosinus des angles que forme la direction du premier côté
du polygone avec les trois axes ; ce côté, considéré comme droite indéfinie, pourra également être exprimé par les deux systèmes d’équations
![{\displaystyle (1)\left\{{\begin{aligned}&x=a\ +\alpha \ \ p,\\&y=a'\,+\alpha '\,p,\\&z=a''+\alpha ''p,\end{aligned}}\right.\qquad (2)\left\{{\begin{aligned}&x=b\ +\alpha \ \ q,\\&y=b'\,+\alpha '\,q,\\&z=b''+\alpha ''q\,;\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/117ec78b39367965461f6066a805b89f3635103d)
et
représentant les distances respectives d’un point quelconque de cette droite aux deux points
et ![{\displaystyle \mathrm {B.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5ed3ff856ed0e582ac8f3e7d5a3a357f6ca8b0e)
Le plan conduit par l’axe des
et par le sommet
a pour équation
![{\displaystyle n'x=ny.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47b22d56ee15e7c4ede16de0cab0e1ce58fa4b6c)
(3)
Ce plan coupe
en un certain point, et on peut admettre que
et
sont les distances de ce point aux deux points
et
En substituant donc tour à tour pour
et
dans l’équation (3) les valeurs données par les équations (1) et (2) on trouvera, pour les deux segmens déterminés sur
par le plan dont il s’agit
![{\displaystyle p={\frac {na'-n'a}{n'\alpha -n\alpha '}},\qquad q={\frac {nb'-n'b}{n'\alpha -n\alpha '}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/911e6760695c6d6c7761355151212eb1b07b65ec)
d’où il suit que le rapport entre les deux segmens que détermine sur
le plan conduit par la droite donnée et par le sommet
est
![{\displaystyle {\frac {na'-n'a}{nb'-n'b}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da447b7f5180ec58be7bd395585c6936d3cbea83)
Appliquant donc, tour à tour, les mêmes considérations aux côtés consécutifs
du polygone coupés par ce même plan, on trouvera, pour les rapports de longueur des segmens déterminés sur ces divers côtés,
![{\displaystyle {\frac {na'-n'a}{nb'-n'b}},\ {\frac {nb'-n'b}{nc'-n'c}},\ {\frac {nc'-n'c}{nd'-n'd}},\ldots {\frac {nl'-n'l}{nm'-n'm}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b0aac9624ef45680ecd3beb04b51f61a7ec2077)
Donc, si l’on dénote par
le produit continuel des segment déterminés sur ces côtés, à partir de leurs extrémités
et par
le produit continuel des segmens déterminés sur ces mêmes côtés, à partir de leurs extrémités
le rapport du premier produit au second sera
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {P} _{n}}{\mathrm {Q} _{n}}}={\frac {na'-n'a}{nm'-n'm}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57b3a4f7118655386dd1eb1327c514d928c8c37c)
Si présentement nous considérons tour à tour les plans qui passent par les sommets
en employant des notations analogues, nous trouverons
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {P} _{a}}{\mathrm {Q} _{a}}}={\frac {ab'-ba'}{n'a-na'}},\ {\frac {\mathrm {P} _{b}}{\mathrm {Q} _{b}}}={\frac {bc'-cb'}{a'b-ab'}},\ {\frac {\mathrm {P} _{c}}{\mathrm {Q} _{c}}}={\frac {cd'-dc'}{b'c-c'b}},\ldots {\frac {\mathrm {P} _{n}}{\mathrm {Q} _{n}}}={\frac {na'-n'a}{m'n-mn'}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7025038eb5b2172f307c660eff17a123d24ee9b8)
d’où nous conclurons
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {P} _{a}}{\mathrm {Q} _{a}}}.{\frac {\mathrm {P} _{b}}{\mathrm {Q} _{b}}}.{\frac {\mathrm {P} _{c}}{\mathrm {Q} _{c}}}\ldots {\frac {\mathrm {P} _{n}}{\mathrm {Q} _{n}}}=1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9356a0887a673847824cf70ee5430b025e751fee)
c’est-à-dire,
![{\displaystyle \mathrm {P} _{a}.\mathrm {P} _{b}.\mathrm {P} _{c}\ldots \mathrm {P} _{n}=\mathrm {Q} _{a}.\mathrm {Q} _{b}.\mathrm {Q} _{c}\ldots \mathrm {Q} _{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7831966e4ac419287fb688f81e5fe15a97502f9e)
comme le veut le théorème.
Tout étant supposé dans le second théorème comme dans le premier, avec cette circonstance particulière que le point donné
est pris pour origine ; l’équation du plan mené par ce point
et par le côté
du polygone sera
![{\displaystyle (m'n''-m''n')x+(m''n-mn'')y+(mn'-m'n)z=0,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c41d482784c5f512349bd3e4abfab4a33250b22f)
(4)
en mettant tour à tour dans cette équation, pour
les valeurs (1) et (2) ci-dessus,
deviendront respectivement les distances des extrémités
et
du côté
au point où ce côté est coupé par le plan conduit par
et par le point
On trouvera ainsi pour ces deux segmens
![{\displaystyle {\begin{aligned}p&=-{\frac {a(m'n''-n'm'')+a'(m''n-mn'')+a''(mn'-m'n)}{\alpha (m'n''-n'm'')+\alpha '(m''n-mn'')+\alpha ''(mn'-m'n)}},\\\\q&=-{\frac {b(m'n''-n'm'')+b'(m''n-mn'')+b''(mn'-m'n)}{\alpha (m'n''-n'm'')+\alpha '(m''n-mn'')+\alpha ''(mn'-m'n)}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4df121b40fb8a64ebfa470e6df686e3f94d02239)
de sorte que le rapport
de ces deux segmens aura pour expression
![{\displaystyle {\frac {mn'a''-ma'n''+am'n''-nm'a''+na'm''-an'm''}{mn'b''-mb'n''+bm'n''-nm'b''+nb'm''-bn'm''}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b15fa9221e04ada02f099a5fed45d49a38fae72)
On trouvera de même pour le rapport entre les segmens retranchés par le même plan sur le côté
et comptés tour à tour de ses extrémités
et ![{\displaystyle \mathrm {C,} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11e3cace89a88dd76ccd7f873b28b60969f80ffa)
![{\displaystyle {\frac {mn'b''-mb'n''+bm'n''-nm'b''+nb'm''-bn'm''}{mn'c''-mc'n''+cm'n''-nm'c''+nc'm''-cn'm''}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1be39d332708055d168563f77dfce7b4c2259131)
et ainsi des autres, jusqu’au côté
pour lequel le rapport de ces mêmes segmens sera
![{\displaystyle {\frac {mn'k''-mk'n''+km'n''-nm'k''+nk'm''-kn'm''}{mn'l''-ml'n''+lm'n''-nm'l''+nl'm''-ln'm''}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f01640cfaa96d76bc37a6a395a2e88e8e01918d)
En conséquence, si l’on dénote par
le produit continu des segmens déterminés par le plan
sur les côtés consécutifs
à partir de leurs extrémités
et par
le produit continu des segmens déterminés par ce même plan sur les mêmes côtés, à partir de leurs extrémités
on aura
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {P} _{mn}}{\mathrm {Q} _{mn}}}={\frac {mn'a''-ma'n''+am'n''-nm'a''+na'm''-an'm''}{mn'l''-ml'n''+lm'n''-nm'l''+nl'm''-ln'm''}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd1f8df43523c1181a273bf91ef478f177717675)
Par l’emploi de notations analogues, on trouvera
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {P} _{ab}}{\mathrm {Q} _{ab}}}&={\frac {ab'c''-ac'b''+ca'b''-ba'c''+bc'a''-cb'a''}{ab'n''-an'b''+na'b''-ba'n''+bn'a''-nb'a''}},\\\\{\frac {\mathrm {P} _{bc}}{\mathrm {Q} _{bc}}}&={\frac {bc'd''-bd'c''+db'c''-cb'd''+cd'b''-dc'b''}{bc'a''-ba'c''+ab'c''-cb'a''+ca'b''-ac'b''}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7607ed366cbdcdfa98c39b0e5f35d4b22612258c)
et ainsi de suite, et enfin
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {P} _{na}}{\mathrm {Q} _{na}}}={\frac {na'b''-nb'a''+bn'a''-an'b''+ab'n''-ba'n''}{na'm''-nm'a''+mn'a''-an'm''+am'n''-ma'n''}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7b32524a1e6965896fd554559b0430cafb2b953)
d’où nous conclurons
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {P} _{ab}}{\mathrm {Q} _{ab}}}.{\frac {\mathrm {P} _{bc}}{\mathrm {Q} _{bc}}}.{\frac {\mathrm {P} _{cd}}{\mathrm {Q} _{cd}}}\ldots {\frac {\mathrm {P} _{mn}}{\mathrm {Q} _{mn}}}.{\frac {\mathrm {P} _{na}}{\mathrm {Q} _{na}}}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66214fd4cbf7ac74893692733a2659f0cd985091)
c’est-à-dire,
![{\displaystyle \mathrm {P} _{ab}.\mathrm {P} _{bc}.\mathrm {P} _{cd}\ldots \mathrm {P} _{mn}.\mathrm {P} _{na}=\mathrm {Q} _{ab}.\mathrm {Q} _{bc}.\mathrm {Q} _{cd}\ldots \mathrm {Q} _{mn}.\mathrm {Q} _{na},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56c79e6a9ef43cef7dc56ac895a3f3df4e7cd935)
comme le veut le théorème.