GÉOMÉTRIE TRANSCENDANTE.
Recherches analitiques, sur une classe de problèmes
de géométrie dépendant de la théorie des maxima
et minima ;
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
Soient
les distances d’un point cherché
à des points fixes, donnés dans l’espace ; soient
les distances du même point à d’autres points qui doivent être trouvés sur autant de courbes fixes données, planes ou à double courbure ; soient enfin
les distances de ce point à des points qui sont assujettis à se trouver sur autant de surfaces données ; et l’équation
![{\displaystyle u=\operatorname {F} (p,p',p'',\ldots q,q',q'',\ldots r,r',r'',\ldots ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba6e7cebd9d41700018f6387289b4af787bac4f4)
dans laquelle
désigne une fonction connue quelconque, étant donnée, proposons-nous d’assigner les conditions nécessaires pour que la fonction
soit maximum ou minimum.
Rapportons l’espace à trois plans rectangulaires quelconques. Soient
respectivement, les coordonnées des points d’où partent les droites
pour se diriger vers
soient
respectivement les coordonnées des points d’où partent les droites
pour se diriger vers ce point ; et soient enfin
respectivement, les points d’où partent les droites
pour se diriger vers le même point.
Convenons encore de désigner par ![{\displaystyle (p,x),(p,y),(p,z),(p',x),(p',y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5571ae71f3d94f60b1405f12788ca399d6ae8270)
les angles que font les droites
avec les trois axes ; par
les angles que font les droites
avec ces axes ; et enfin par ![{\displaystyle (r,x),(r,y),(r,z),(r',x),(r',y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e1c0507918ca971c9dc6b81f3a158408298c15d)
les angles que font les droites
avec les mêmes axes ; et soient
les coordonnées du point
La condition commune au maximum et au minimum de la fonction
est, comme l’on sait, que sa différentielle totale du premier ordre soit égale à zéro. Il est connu d’ailleurs que cette condition, toujours nécessaire pour qu’il y ait maximum ou minimum, ne suffit pas néanmoins, dans tous les cas, pour en assurer l’existence.
En posant donc, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}\left({\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} p}}\right)=P,&\left({\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} p'}}\right)=P',&\left({\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} p''}}\right)=P'',\ldots \\\\\left({\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} q}}\right)=Q,&\left({\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} q'}}\right)=Q',&\left({\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} q''}}\right)=Q'',\ldots \\\\\left({\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} r}}\right)=R,&\left({\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} r'}}\right)=R',&\left({\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} r''}}\right)=R'',\ldots \\\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bab7ddebebbe85b1571a80664be37b3b189ac2b)
l’équation commune au maximum et au minimum sera
![{\displaystyle P\operatorname {d} p+P'\operatorname {d} p'+P''\operatorname {d} p''+\ldots +Q\operatorname {d} q+Q'\operatorname {d} q'+Q''\operatorname {d} q''+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28caa04668c7ce33b1bb803ccc9d267f1c1bcd70)
![{\displaystyle +R\operatorname {d} r+R'\operatorname {d} r'+R''\operatorname {d} r''+\ldots =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2220f1ce737dea4e122a1f30bb78b786dd4047d)
Or, nous avons
![{\displaystyle {\begin{aligned}&p={\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}}},\\&q={\sqrt {(x-d)^{2}+(y-e)^{2}+(z-f)^{2}}},\\&r={\sqrt {(x-g)^{2}+(y-h)^{2}+(z-k)^{2}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b417011bcfe9c52604aa14312f00b7fd6986642)
d’où
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {d} p={\frac {x-a}{p}}\operatorname {d} x+{\frac {y-b}{p}}\operatorname {d} y+{\frac {z-c}{p}}\operatorname {d} z,\\\\&\operatorname {d} q={\frac {x-d}{q}}(\operatorname {d} x-\operatorname {d} d)+{\frac {y-e}{q}}(\operatorname {d} y-\operatorname {d} e)+{\frac {z-f}{q}}(\operatorname {d} z-\operatorname {d} f),\\\\&\operatorname {d} r={\frac {x-g}{r}}(\operatorname {d} x-\operatorname {d} g)+{\frac {y-h}{r}}(\operatorname {d} y-\operatorname {d} h)+{\frac {z-k}{r}}(\operatorname {d} z-\operatorname {d} k),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33fa9899fb3786b03d22e0c6a06a8ff95685a25b)
mais on a
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\frac {x-a}{p}}=&\operatorname {Cos} .(p,x),\quad &{\frac {y-b}{p}}=&\operatorname {Cos} .(p,y),\quad &{\frac {z-c}{p}}=&\operatorname {Cos} .(p,z),\\\\{\frac {x-d}{q}}=&\operatorname {Cos} .(q,x),&{\frac {y-e}{q}}=&\operatorname {Cos} .(q,y),&{\frac {z-f}{q}}=&\operatorname {Cos} .(q,z),\\\\{\frac {x-g}{r}}=&\operatorname {Cos} .(r,x),&{\frac {y-h}{r}}=&\operatorname {Cos} .(r,y),&{\frac {z-k}{r}}=&\operatorname {Cos} .(r,z)\,;\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1efe432afb7575c18dca784d081fdd9836104345)
donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {d} p=\operatorname {d} x\operatorname {Cos} .(p,x)+\operatorname {d} y\operatorname {Cos} .(p,y)+\operatorname {d} z\operatorname {Cos} .(p,z),\qquad \qquad (1)\\\\&\operatorname {d} q=(\operatorname {d} x-\operatorname {d} d)\operatorname {Cos} .(q,x)+(\operatorname {d} y-\operatorname {d} e)\operatorname {Cos} .(q,y)+(\operatorname {d} z-\operatorname {d} f)\operatorname {Cos} .(q,z),\\\\&\operatorname {d} r=(\operatorname {d} x-\operatorname {d} g)\operatorname {Cos} .(r,x)+(\operatorname {d} y-\operatorname {d} h)\operatorname {Cos} .(r,y)+(\operatorname {d} z-\operatorname {d} k)\operatorname {Cos} .(r,z),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/327c641fe7d96dcb5dfdc2fd0055ea822ad4f53f)
et l’on aura des valeurs analogues pour ![{\displaystyle \operatorname {d} p',\operatorname {d} q',\operatorname {d} r',\operatorname {d} p'',\operatorname {d} q'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7026c30208aa9e9218682f52888bfb58fb766c1c)
![{\displaystyle \operatorname {d} r'',\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfd14810217369d94cfdaa019d01e2ab89221e53)
Soient désignées par
la tangente au point
à la courbe sur laquelle ce point doit se trouver, et par
l’arc de cette courbe, on aura
![{\displaystyle \operatorname {d} d=\operatorname {d} s\operatorname {Cos} .(t,x),\qquad \operatorname {d} e=\operatorname {d} s\operatorname {Cos} .(t,y),\qquad \operatorname {d} f=\operatorname {d} s\operatorname {Cos} .(t,z)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07efc6f0e2a092e5444e4908096349a4ccf456ea)
substituant ces valeurs dans celle de
en observant que
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .(t,x)\operatorname {Cos} .(q,x)+\operatorname {Cos} .(t,y)\operatorname {Cos} .(q,y)+\operatorname {Cos} .(t,z)\operatorname {Cos} .(q,z)=\operatorname {Cos} .(t,q)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c1dc005209f58983b4bb3126548b2379988dc0f)
elle deviendra
![{\displaystyle \operatorname {d} q=\operatorname {d} x\operatorname {Cos} .(q,x)+\operatorname {d} y\operatorname {Cos} .(q,y)+\operatorname {d} z\operatorname {Cos} .(q,z)+\operatorname {d} s\operatorname {Cos} .(t,q)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a542f633701251452f62e81ce541ffc108be2c28)
(2)
Soit ensuite désignée par
la normale au point
à la surface sur laquelle ce point doit se trouver ; l’équation différentielle de cette surface pourra, comme l’on sait, être mise sous la forme
![{\displaystyle \operatorname {d} g\operatorname {Cos} .(n,x)+\operatorname {d} h\operatorname {Cos} .(n,y)+\operatorname {d} k\operatorname {Cos} .(n,z)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7d34769daa7f646d6e81131069d43c87209e9a0)
d’où
![{\displaystyle -\operatorname {d} k={\frac {\operatorname {Cos} .(n,x)}{\operatorname {Cos} .(n,z)}}\operatorname {d} g+{\frac {\operatorname {Cos} .(n,y)}{\operatorname {Cos} .(n,z)}}\operatorname {d} h,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0da6470ec0906a2b6409a13770afc4236582bd5d)
valeur qui, substituée dans celle de
donnera
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}\operatorname {d} r&=\operatorname {d} x\operatorname {Cos} .(r,x)+\operatorname {d} y\operatorname {Cos} .(r,y)+\operatorname {d} z\operatorname {Cos} .(r,z)\\&+\left\{{\frac {\operatorname {Cos} .(r,z)\operatorname {Cos} .(n,x)}{\operatorname {Cos} .(n,z)}}-\operatorname {Cos} .(r,x)\right\}\operatorname {d} g\\\\&+\left\{{\frac {\operatorname {Cos} .(r,z)\operatorname {Cos} .(n,y)}{\operatorname {Cos} .(n,z)}}-\operatorname {Cos} .(r,y)\right\}\operatorname {d} h\,;\end{aligned}}\right\}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b6c7214028c947bc8035978880c0a745bc56077)
(3)
et les valeurs de
seront susceptibles de transformations analogues.
En substituant donc ces diverses valeurs dans l’équation
![{\displaystyle P\operatorname {d} p+P'\operatorname {d} p'+\ldots +Q\operatorname {d} q+Q'\operatorname {d} q'+\ldots +R\operatorname {d} r+R'\operatorname {d} r'+\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a70d920243852cac8f43c4228884b78351adced)
que nous avons vu ci-dessus exprimer la condition commune au maximum et au minimum, elle deviendra, en employant le signe
par forme d’abréviation,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left\{\Sigma \left[P\operatorname {Cos} .(p,x)\right]+\Sigma \left[Q\operatorname {Cos} .(q,x)\right]+\Sigma \left[R\operatorname {Cos} .(r,x)\right]\right\}\operatorname {d} x\\\\+&\left\{\Sigma \left[P\operatorname {Cos} .(p,y)\right]+\Sigma \left[Q\operatorname {Cos} .(q,y)\right]+\Sigma \left[R\operatorname {Cos} .(r,y)\right]\right\}\operatorname {d} y\\\\+&\left\{\Sigma \left[P\operatorname {Cos} .(p,z)\right]+\Sigma \left[Q\operatorname {Cos} .(q,z)\right]+\Sigma \left[R\operatorname {Cos} .(r,z)\right]\right\}\operatorname {d} z\\\\&\qquad \qquad -\Sigma \left\{Q\operatorname {d} s\operatorname {Cos} .(t,q)\right\}\\\\+&\Sigma \left\{R\left[{\frac {\operatorname {Cos} .(r,z)\operatorname {Cos} .(n,x)}{\operatorname {Cos} .(n,z)}}-\operatorname {Cos} .(r,x)\right]\operatorname {d} g\right\}\\\\+&\Sigma \left\{R\left[{\frac {\operatorname {Cos} .(r,z)\operatorname {Cos} .(n,y)}{\operatorname {Cos} .(n,z)}}-\operatorname {Cos} .(r,y)\right]\operatorname {d} h\right\}=0.\quad (\mathrm {I} )\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01fd2076934d959f98cedffbbbb3956403e58785)
Or, présentement que les différentielîes
sont tout-à-fait indépendantes, il faudra, dans l’équation (I), égaler leurs coefficiens à zéro ; et comme d’ailleurs aucune des fonctions
ne doit être nulle, cela donnera d’abord
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .(t,q)=0,\qquad \operatorname {Cos} .(t',q')=0,\qquad \operatorname {Cos} .(t'',q'')=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/750412943aee8ee80639bc55619c15be59d355a1)
ce qui nous apprend, en premier lieu, que les droites
doivent être respectivement perpendiculaires aux tangentes
et par conséquent normales aux courbes auxquelles elles se terminant.
On aura ensuite
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {Cos} .(r,x)}{\operatorname {Cos} .(n,x)}}={\frac {\operatorname {Cos} .(r,y)}{\operatorname {Cos} .(n,y)}}={\frac {\operatorname {Cos} .(r,z)}{\operatorname {Cos} .(n,z)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1737e7da12d3f94e746085ae35a16de531d018cf)
et les autres équations analogues, d’où
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}\operatorname {Cos} .(r,x)=\operatorname {Cos} .(n,x),&\operatorname {Cos} .(r',x)=\operatorname {Cos} .(n',x),\ldots \\\operatorname {Cos} .(r,y)=\operatorname {Cos} .(n,y),&\operatorname {Cos} .(r',y)=\operatorname {Cos} .(n',y),\ldots \\\operatorname {Cos} .(r,z)=\operatorname {Cos} .(n,z),&\operatorname {Cos} .(r',z)=\operatorname {Cos} .(n',z),\ldots \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8d2911f4f43669b7cadfc2faa7c752e766bcc9b)
ce qui montre que les droites
doivent aussi être respectivement normales aux surfaces auxquelles elles se terminant.
Concevons présentement que le point
soit sollicité par des forces proportionnelles à
et dirigé suivant les droites
respectivement.
Soit
la résultante de toutes ces forces, et soient
les angles qu’elle fait avec les axes. Les quantités qui multiplient
dans l’équation (I) reviennent visiblement à
de sorte que cette équation, de laquelle nous avons déjà fait disparaître les derniers termes, se réduit à
![{\displaystyle V\left(\operatorname {d} x\operatorname {Cos} .\alpha +\operatorname {d} y\operatorname {Cos} .\beta +\operatorname {d} z\operatorname {Cos} .\gamma \right)=0.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a8c9614567cf044e20b425788621e5e2552f814)
(II)
Celle-ci sera toujours satisfaite, lorsqu’on aura
c’est-à-dire, lorsque les forces proportionnelles à
se feront équilibre, à quelque conditions que le point
puisse être d’ailleurs assujetti.
Si ce point est parfaitement libre dans l’espace, les différentielles
seront indépendantes, et il faudra encore que
parce que
ne sauraient être nuls à la fois.
Si le point
doit être pris sur une surface donnée ; en représentant par
les angles que fait avec les axes la normale à cette surface en ce point, son équation différentielle sera
![{\displaystyle \operatorname {d} x\operatorname {Cos} .\delta +\operatorname {d} y\operatorname {Cos} .\varepsilon +\operatorname {d} z\operatorname {Cos} .\zeta =0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c5e6e08a0b16651122a8fdb808eace34f8fb21b)
en tirant de cette équation la valeur de
pour la substituer dans l’équation (II), celle-ci deviendra, en divisant par ![{\displaystyle V,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ace9595e3ce66fdec7e9d30202626accd676b11e)
![{\displaystyle \left(\operatorname {Cos} .\alpha -{\frac {\operatorname {Cos} .\delta \operatorname {Cos} .\gamma }{\operatorname {Cos} .\zeta }}\right)\operatorname {d} x+\left(\operatorname {Cos} .\beta -{\frac {\operatorname {Cos} .\varepsilon \operatorname {Cos} .\gamma }{\operatorname {Cos} .\zeta }}\right)\operatorname {d} y=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/085e49a70fb5632222cd91b88b41c4afcf4e62d9)
d’où, à cause de l’indépendance de
et ![{\displaystyle \operatorname {d} y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ba2d4a0a636cc3ff03e6d526fc22670c41d706b)
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {Cos} .\alpha }{\operatorname {Cos} .\delta }}={\frac {\operatorname {Cos} .\beta }{\operatorname {Cos} .\varepsilon }}={\frac {\operatorname {Cos} .\gamma }{\operatorname {Cos} .\zeta }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d0ab7d190dc2a1fdfef4c2bc916536c638e0b1a)
ou bien
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .\alpha =\operatorname {Cos} .\delta ,\qquad \operatorname {Cos} .\beta =\operatorname {Cos} .\varepsilon ,\qquad \operatorname {Cos} .\gamma =\operatorname {Cos} .\zeta \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae0b82c2fa4e98e3d0b0e62f0943b08c20ed5dbe)
c’est-à-dire que la résultante des forces qui sollicitent le point
doit, lorsqu’elle n’est pas nulle, être normale à la surface sur laquelle ce point doit être situé ; de sorte qu’on peut la regarder comme détruite par la résistance de cette surface.
Si le point
doit être pris sur une ligne donnée, droite ou courbe, plane ou à double courbure ; en représentant par
l’élément de cette ligne, au point dont il s’agit et par
les angles que fait cet élément avec les axes, on aura
![{\displaystyle \operatorname {d} x=\operatorname {d} s\operatorname {Cos} .\delta ,\qquad \operatorname {d} y=\operatorname {d} s\operatorname {Cos} .\varepsilon ,\qquad \operatorname {d} z=\operatorname {d} s\operatorname {Cos} .\zeta \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74404ea90fd9e65df25d7f59e5ce2aa41f3dd6ef)
ces valeurs étant substituées dans l’équation (II), elle deviendra, en divisant par ![{\displaystyle V\operatorname {d} s,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd0f706452b50a8f965b481a2a99ddbf098e3dd7)
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\delta +\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\varepsilon +\operatorname {Cos} .\gamma \operatorname {Cos} .\zeta =0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3644a435d1b8acce4bf7523a16e065022523b8d0)
d’où l’on voit que, dans ce cas, si la résultante
n’est pas nulle, sa direction devra être normale à la ligne sur laquelle le point
doit être situé ; de sorte qu’elle sera en équilibre sur cette ligne, considérée comme obstacle à l’action qu’elle tend à produire.
On peut donc, en résumé, établir le théorème général que voici :
Soient
les distances d’un point
à des points fixes dans l’espace. Soient
les distances du même point à des points mobiles sur des lignes fixes. Soient enfin
les distances de ce point à des points mobiles sur des surfaces fixes.
Supposons que ce point
soit tellement choisi dans l’espace qu’une fonction déterminée
des distances
soit un maximum ou un minimum ; et concevons ce même point sollicité, suivant les directions de ces distances, par des forces proportionnelles aux valeurs actuelles des dérivées partielles de
prises par rapport à ces mêmes distances ; alors,
1.o Les droites
seront respectivement normales aux lignes et surfaces auxquelles elles se termineront.
2.o Si le point
est parfaitement libre dans l’espace, il devra se trouver en équilibre sous l’action des forces que nous avons supposé le solliciter ; et s’il est assujetti à se trouver sur une surface ou sur une ligne donnée, la résultante de ces mêmes forces, lorsqu’elle ne sera pas nulle, devra être normale à cette surface ou à cette ligne ; de sorte qu’on pourra dire, dans tous les cas, que le point
est en équilibre.
L’inverse de ce théorème nest pas généralement vrai, c’est-à-dire que toutes ces diverses conditions peuvent fort bien être remplies, sans que, pour cela, il y ait nécessairement maximum ou minimum.
Dans le cas particulier où la fonction
sera simplement la somme des distances
ou la somme des produits respectifs de ces mêmes distances par des multiplicateurs
les forces sollicitant le point
devront être égales entre elles ou proportionnelles à ces multiplicateurs[1].