Essai philosophique sur les probabilités/2b
Les inégalités de ce genre ont sur les résultats du calcul des probabilités une influence sensible qui mérite une attention particulière. Considérons le jeu de croix ou pile, et supposons qu’il soit également facile d’amener l’une ou l’autre face de la pièce. Alors la probabilité d’amener croix au premier coup est , et celle de l’amener deux fois de suite est , Mais s’il existe dans la pièce une inégalité qui fasse paraître une des faces plutôt que l’autre, sans que l’on connaisse quelle est la face favorisée par cette inégalité, la probabilité d’amener croix au premier coup sera toujours ; parce que dans l’ignorance où l’on est de la face que cette inégalité favorise, autant la probabilité de l’évènement simple est augmentée si cette inégalité lui est favorable, autant elle est diminuée si l’inégalité lui est contraire. Mais dans cette ignorance même, la probabilité d’amener croix deux fois de suite est augmentée. En effet, cette probabilité est celle d’amener croix au premier coup, multipliée par la probabilité que l’ayant amené au premier coup, on l’amènera au second ; or son arrivée au premier coup est un motif de croire que l’inégalité de la pièce le favorise ; l’inégalité inconnue augmente donc alors la probabilité d’amener croix au second coup ; elle accroît par conséquent le produit des deux probabilités. Pour soumettre cet objet au calcul, supposons que cette inégalité augmente d’un vingtième la probabilité de l’événement simple qu’elle favorise. Si cet évènement est croix, sa probabilité sera plus ou , et la probabilité de l’amener deux fois de suite sera le carré de ou . Si l’évènement favorisé est pile, la probabilité de croix sera moins ou , et la probabilité de l’amener deux fois de suite sera . Comme on n’a d’avance aucune raison de croire que l’inégalité favorise l’un de ces évènemens plutôt que l’autre, il est clair que pour avoir la probabilité de l’évènement composé croix croix, il faut ajouter les deux probabilités précédentes et prendre la moitié de leur somme ; ce qui donne pour cette probabilité qui surpasse , de ou du carré de l’accroissement que l’inégalité ajoute à la possibilité de l’évènement qu’elle favorise. La probabilité d’amener pile pile est pareillement ; mais les probabilités d’amener croix pile, ou pile croix ne sont chacune que ; car la somme de ces quatre probabilités doit égaler la certitude ou l’unité. On trouve ainsi généralement que les causes constantes et inconnues qui favorisent les évènemens simples que l’on juge également possibles, accroissent toujours la probabilité de la répétition d’un même événement simple.
Dans un nombre pair de coups, croix et pile doivent arriver tous deux, ou un nombre pair ou un nombre impair de fois. La probabilité de chacun de ces cas est si les possibilités des deux faces sont égales ; mais s’il existe entre elles une inégalité inconnue, cette inégalité est toujours favorable au premier cas.
Deux joueurs dont on suppose les adresses égales, jouent avec les conditions qu’à chaque coup, celui qui perd donne un jeton à son adversaire, et que la partie dure jusqu’à ce que l’un des joueurs n’ait plus de jetons. Le calcul des probabilités nous montre que pour l’égalité du jeu, les mises des joueurs doivent être en raison inverse de leurs jetons. Mais s’il existe entre leurs adresses une petite inégalité inconnue, elle favorise celui des joueurs qui a le plus petit nombre de jetons. Sa probabilité de gagner la partie augmente si les joueurs conviennent de doubler, de tripler leurs jetons ; et elle serait ou la même que la probabilité de l’autre joueur, dans le cas où les nombres de leurs jetons deviendraient infinis, en conservant toujours le même rapport.
On peut corriger l’influence de ces inégalités inconnues, en les soumettant elles-mêmes aux chances du hasard. Ainsi au jeu de croix ou pile, si l’on a une seconde pièce que l’on projette chaque fois avec la première, et que l’on convienne de nommer constamment croix la face amenée par cette seconde pièce, la probabilité d’amener croix deux fois de suite avec la première pièce, approchera beaucoup plus d’un quart que dans le cas d’une seule pièce. Dans ce dernier cas, la différence est le carré du petit accroissement de possibilité que l’inégalité inconnue donne à la face de la première pièce qu’elle favorise : dans l’autre cas, cette différence est le quadruple produit de ce carré, par le carré correspondant relatif à la seconde pièce.
Que l’on jette dans une urne, cent numéros depuis un jusqu’à cent, dans l’ordre de la numération, et qu’après avoir agité l’urne, pour mêler ces numéros, on en tire un ; il est clair que si le mélange a été bien fait, les probabilités de sortie des numéros seront les mêmes. Mais si l’on craint qu’il n’y ait entre elles de petites différences dépendantes de l’ordre suivant lequel les numéros ont été jetés dans l’urne ; on diminuera considérablement ces différences, en jetant dans une seconde urne, ces numéros suivant leur ordre de sortie de la première urne, et en agitant ensuite cette seconde urne pour mêler ces numéros. Une troisième urne, une quatrième, etc., diminueraient de plus en plus ces différences déjà insensibles dans la seconde urne.