Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 1/Proposition 34
C. F. Patris, (1, p. 106-108).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ λδʼ. | PROPOSITIO XXXIV. |
|---|---|
|
Τῶν παραλληλογραμίΔΎων χωρἰίων σἑ απεναὰν τίον πλευραι τέὲ πὰαιίι γῶνιίσ ἰσωϊ αλληλαιῖς εἰσί. καὶ ἡ διάμετρος αυτὰ δίχα τεέμνειί. |
Parallelogrammorum spatüiorum et opposita latera et anguli æqualia inter se sunt, et diameter ea bifariam secat. |
|
Εστω παραλληλόγραμμον χωρίονϊ τὸ ΑΓΔΒ, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἡ ΒΓ. λέγω ὅτι τοῦ ΑΓΔΒ παραλληλογράμμου αἱ ἀπεναντίον πλευραί τε καὶ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσὶ, καὶ ἡ ΒΓ διά. μεέτρος αὐτὸ δίχα τέμνει. |
Sit parallelogrammum spatrum AΓΔB, dia- meter autem ipsius BΓ ; dico AΓAB parallelo- grammi opposita et latera et angulos æqualia inter se esse, et BΓ diametrum illud bifariam secare. |
|
Επεῖ γὰρ παραλληλὸς ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ, καὶ εἰς αυὐτὰς ἐμπέπτωκεν εὐθεῖα ἡ ΒΓ, αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΔ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσί. Πάλιν, ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΓ τῃ ΒΔ, καὶ εἰς αυτὰς ἐμπέπτωκεν ἡ ΒΓ, αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΑΓΒ, ΓΒΔ ἴται ἀλλήλαις εἰσί. Δύο δὴ τρίγωνὰ ἐστι τὰ ΑΒΓ, ΒΓΔ τὰς δὐο γωνίας τὰς ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΑ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΒΓΔ, ΓΒΔ ἴσας ἐχοντα. ἐκατέρὰν ικατερᾳ, καὶ μίαν πλευραν3 μιᾳ πλευρᾷ ἰσήν, τὴν πρὸς ταις ἴσαις γονίαις. κοινήν αυτῶν τῆν ΒΓἑξ π καὶ ταὰς λοιπας ἀρὰ σπλευρὰς ταῖς λοιπαῖς ἴσας ἐζξζει, ἐκατερὰν Πκατεέρω, ζ΄αι τὴῆν λοιπήν γωνί (ὰν τήη λοιπῇ γωνίᾳ. |
Quoniam enim parallela est AB ipsi ΓΔ, et in ipsas incidit recta BΓ, alterni anguli ABΓ, BΓΔ, æquales inter se sunt. Rursus, quoniam parallela est AΓ ipsi BΔ, et in ipsas incidit BΓ, alterni anguli AΓB, ΓBΔ æquales inter se sunt. Duo igitur triangula sunt ABΓ, BΓΔ, duos an- gulos ABΓ, BΓA duobus angulis BΓΔ] , ΓBΔ æquales habentia, utrumque utrique, et unuum latus uni lateri æquale, quod est ad æquales angulos, commune utrique BΓ ; et reliqua igitur reliquis lateribus æqualia habebunt, utrumque utrique, et reliIquum angulum reliquo angulo ; æquale igitur est AB quidem latus ipsi Γ2, |
|
ἴση ἄρα ἡ μὲν ΑΒ πλευρὰ τῇ ΓΔ, ἡ δὲ ΑΓ τῇ ΒΔ, καὶ ἔτι ἴση ἐστὶν » ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΔΓ. Καὶὸ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΓΔ, ἡ δὲ ὑπὸ ΓΒΔ τῇ ὑπὸ ΑΓΒ. ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΔ ὕλῃ τῇ ὑπὸ ΑΓΔ ἐστὶν ἴση. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΓΔΒ ἴση |
AΓ vero ipsi BΔ, et adhuc æqualis est BAΓ angulus ipsi BíAΓ, . Et quoniam æqualis est quidem ABΓ angulus ipsi BΓΔ, et ΓBΔ ipsi AΓB ; totus igitur ABΔ toti AΓΔ est æqualis ; ostensus est autem et BAΓ ipsi ΓAB æ£qualis ; |
|
Τῶν ἄρα παραλληλογράμμων χωρίων αἱ ἀπ. ἐναντίον πλευραί τε καὶ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. |
Ergo parallelegrammorum spatiorum Oppo- sita etlatera et anguli æqualia inter se sunt. |
|
Λέγω δὲδλ ὅτι καὶ ἡ διάμετρος αὐτὰ δίχα τέμνει. Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ, κοινὴ. δὲ ἡΒΓ, δώο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΓ δυσὶ ταῖς ΔΓΙ, ΓΒ ἴσαι εἰσὶν, ἐκατέρα ἐκατέρᾳ, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΓΔ ἴση ἐστίΆ καὶ βάσις ἄρα ἡ ΑΓ βαοει τῇ ΒΔ ἴση ἐση (0. 0 καὶ τὸ ΑΒΓ ἄρα τρί- γωνον τῷ ΒΔΓ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν. |
Dico et diametrum ipsa bifariam secare. Quoniam enim æqualis est AB ipsi ΓΔ, com- munis autem BΓ, duæ igitur AB, BΓ duabus AΓ, ΓB æquales sunt, utraque utrique, et angulus ABΓ angulo BΓΔ æqualis est ; et basis igitur AΓ ipsi BΔ æqualis est ; et igitur triangulum ABΓ triangulo BΔΓ æquale est ; |
|
Η ἄρα ΒΓ διάμετρος δίχα τέμνει τὸ ΑΓΔΒ παραλληλόώγραμμον. Οπερ ἔδει δεῖξαι. |
Ergo BΓ diameter bifariam secat AΓAB paral- lelogrammum. Quod oportebat ostendere. |
Les côtés et les angles opposés des parallélogrammes sont égaux entr’eux, et la diagonale les partage en deux parties égales. Soit le parallélogramme ΑΓΔΒ, et que Br soit sa diagonale ; je dis que les côtés et les angles opposés du parallélogramme ΑΓΔΒ sont égaux entr’eux, et que la diagonale Br le partage en deux parties égales.
Car puisque AB est parallèle à TA, et que la droite ΒΓ tombe sur ces droites, les angles alternes ABr, ΒΓΔ sont égaux entr’eux (29) . De plus, puisque AT est parallèle à BA, et que ΒΓ tombe sur ces droites, les angles alternes ΑΓΒ, ΓΒΔ sont égaux entr’eux ; donc les deux triangles ABr, ΒΓΔ ont les deux angles ΑΒΓ, BrA égaux aux deux angles BrA, TBA, chacun à chacun, et un côté égal à un côté, savoir, le côté commun Br, qui est adjacenst aux angles égaux ; ils auront donc les autres côtés égaux aux autres côtés, chacun à chacun (26) , et l’angle restant égal à l’angle restant ; donc le côté AB est égal au côté ΓΔ, le côté AΓ égal au côté BA, et l’angle BAT égal à l’angle Bar. Puisque l’angle ABr est égal à l’angle BrA, et l’angle ΓΒΔ égal à l’angle ΑΓΒ, l’angle total ABΔ est égal à l’angle total ArA. Mais on a démontré que l’angle BAT est égal à l’angle ΓΔΒ ;
Donc les côtés et les angles opposés des parallélogrammes sont égaux entr’eux.
Je dis de plus que la diagonale partage les parallélogrammes en deux parties égales. Car puisque AB est égal à TA, et que la droite Br est commune, les deux droites AB, BT sont égales aux droites AΓ, ΓB, chacune à chacune ; mais l’angle ABT est égal à l’angle Bra ; donc la base AT est égale à la base B4 (4) , et le triangle ABT égal au triangle Bar.
Donc la diagonale ΒΓ partage le parallélogramme AΓΔB en deux parties égales ; ce qu’il fallait démontrer.