Exposé élémentaire de la théorie d’Einstein et de sa généralisation/chap. 6

Jean Becquerel

Exposé élémentaire de la théorie d’Einstein et de sa généralisation, suivi d’un appendice à l’usage des mathématiciens

Payot, 1922 (p. 60-73).

CHAPITRE VI

DYNAMIQUE DE LA RELATIVITÉ

À la cinématique définie par le groupe de transformations de Lorentz, qui remplace la cinématique ancienne basée sur le groupe de Galilée, correspond une dynamique nouvelle, qui, fait remarquable, est plus cohérente et plus simple que la dynamique newtonienne. Nous nous bornerons ici à indiquer les résultats. Un aperçu général de la théorie est donné dans la note 10 de l’appendice.

La masse fonction de la vitesse. — Dans la dynamique ancienne, la masse newtonienne d’une portion de matière est une grandeur invariable (chap. I). Dans la dynamique nouvelle, deux observateurs en mouvement l’un par rapport à l’autre ne doivent pas attribuer la même masse à une même portion de matière. La masse d’un corps est relative comme sa vitesse, et dans un système de référence déterminé, la masse augmente avec la vitesse.

Si l’on conserve la définition de la masse (coefficient d’inertie) donnée au chap. I, on trouve qu’il faut envisager deux masses : une masse longitudinale, qui intervient si la force agissante (et par suite l’accélération) est dirigée parallèlement à la vitesse acquise ; une masse transversale dans le cas où la force agit normalement à la trajectoire ; ces deux masses augmentent avec la vitesse de la portion de matière considérée, mais suivant des lois différentes ; elles ne sont égales que si la portion de matière est au repos.

Une autre définition de la masse permet de ne conserver qu’une seule masse. Supposons qu’une force $\mathrm {F}$ constante agisse pendant un temps $t$ sur une portion déterminée de matière, initialement au repos ; au bout du temps $t$ cette force a imprimé à la matière une vitesse $v$. Le produit de la force $\mathrm {F}$ par le temps $t$ est ce qu’on appelle l’impulsion communiquée à la portion de matière : divisons cette impulsion par la vitesse, nous obtenons la masse maupertuisienne $m={\frac {\mathrm {F} t}{v}}.$ Le produit $mv$, égal à l’impulsion $\mathrm {F} t,$ se nomme encore quantité de mouvement.

La masse est donc définie comme coefficient de proportionnalité entre l’impulsion communiquée et la vitesse acquise, comme capacité d’impulsion et non plus comme coefficient d’inertie. Dans l’ancienne dynamique, il y avait identité entre les deux définitions ; dans la dynamique de la relativité, la masse maupertuisienne se confond avec la masse newtonienne transversale, mais non avec la masse newtonienne longitudinale.

Nous appellerons donc dorénavant « masse » la capacité d’impulsion qui est indépendante de la direction suivant laquelle la force agit sur la portion de matière. On démontre que cette masse croît avec la vitesse $v$ suivant la loi extrêmement simple

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$m={\frac {m_{0}}{\alpha }}{},\qquad \left(\alpha ={\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\right)$

$m_{0}$ est une constante, la masse pour $\alpha =1$ ou $v=0$, c’est-à-dire la masse initiale ou masse au repos ; c’est la valeur vers laquelle tend la masse quand la vitesse tend vers zéro.

Supposons que la vitesse d’un corps, mesurée dans un système de référence déterminé, aille constamment en augmentant ; à mesure que $v$ tend vers la vitesse $c$ de la lumière, $\alpha$ tend vers zéro et $m$ croît indéfiniment ; la masse de toute portion de matière serait infinie si cette portion de matière était animée de la vitesse de la lumière. On voit encore de cette manière que la vitesse de la lumière est une vitesse limite qu’on ne saurait communiquer à aucune particule matérielle, car il faudrait fournir une énergie infinie.

L’énergie et ses diverses formes. — On appelle travail le produit d’une force par le déplacement de son point d’application dans la direction et le sens de la force, et énergie toute cause de production de travail ou inversement tout résultat de la transformation d’un travail. Le travail et l’énergie ont même mesure : dans le système C. G. S. (centimètre, gramme, seconde), l’unité est l’erg : c’est le travail accompli par une force égale à une dyne (la 981^e partie du poids du gramme) pour un déplacement de 1 centimètre dans la direction et le sens de la force.

On distingue deux catégories d’énergie : l’énergie cinétique et l’énergie potentielle.

L’énergie cinétique est l’énergie de mouvement. Un corps en mouvement possède, de ce fait, de l’énergie cinétique. En mécanique classique, l’énergie cinétique d’une portion de matière (point matériel) de masse $m$ et de vitesse $v$ est sa force vive ${\frac {1}{2}}mv^{2}$, et l’énergie cinétique d’un système matériel est la somme ${\frac {1}{2}}\sum {mv^{2}}$ des forces vives des différents points matériels qui composent ce système. Nous verrons bientôt que cette expression ancienne de l’énergie cinétique n’est valable que comme approximation.

L’énergie potentielle est de l’énergie en réserve, en puissance. Un exemple fera comprendre : si l’on soulève un objet, on dépense du travail ; ce travail n’est pas perdu, il est transformé en énergie potentielle ; en effet si on lâche l’objet, celui-ci tombe ; il y a donc quelque chose qui se transforme en énergie cinétique qui peut elle-même produire du travail.

Dans la nature, l’énergie se présente sous des formes variées. Tout champ de force renferme de l’énergie localisée dans chaque élément de volume de l’espace.

ÉNERGIE ÉLECTROSTATIQUE. — Si l’on met en présence un certain nombre de corps électrisés, ceux-ci exercent des forces les uns sur les autres ; le système possède de l’énergie potentielle ; on modifie cette énergie en changeant les distances des charges électriques, c’est-à-dire en dépensant (ou au contraire en récupérant) du travail. Ainsi un champ électrique, c’est-à-dire une portion d’espace où s’exercent des forces électriques possède une énergie potentielle, et l’on démontre que cette énergie est localisée dans chaque élément de volume du champ.

ÉNERGIE MAGNÉTIQUE. — De même, chaque élément de volume d’un champ magnétique renferme de l’énergie, mais cette fois c’est de l’énergie cinétique, car tout champ magnétique est produit par des charges (électrons) en mouvement (même un aimant renferme des charges en mouvement), et l’on sait aujourd’hui que l’énergie magnétique n’est autre chose que l’énergie cinétique de ces charges, qui est extériorisée dans l’espace environnant.

ÉNERGIE DU CHAMP DE GRAVITATION. — Les corps s’attirent et un système matériel possède, de ce fait, une énergie potentielle.

ÉNERGIE CHIMIQUE — Un système de deux corps susceptibles de s’unir possède de l’énergie potentielle, qui peut être transformée en chaleur et en travail lors de la combinaison de ces corps. L’énergie des explosifs est encore une forme d’énergie chimique.

ÉNERGIE CALORIFIQUE. — Enfin la chaleur est une des formes de l’énergie : c’est l’énergie (cinétique) du mouvement des molécules qui composent la matière.

CONSERVATION DE L’ÉNERGIE. — Un principe fondamental est celui de la conservation de l’énergie. Chaque fois que de l’énergie ou du travail se transforme, il y a production d’une énergie égale ou d’un travail équivalent. Voici deux exemples : quand on soulève un poids, l’accroissement d’énergie potentielle (énergie de gravitation) est égal au travail dépensé. Quand un corps perd sa vitesse par suite d’un frottement, toute son énergie cinétique se transforme en une quantité égale d’énergie calorifique, ou en une quantité égale d’énergie calorifique et d’énergie électrique (due à l’électrisation par frottement).

L’énoncé exact du principe est le suivant. L’énergie totale d’un système matériel isolé (c’est-à-dire qui n’échange aucune énergie ni aucune matière avec l’extérieur) reste constante au cours des transformations que subit ce système.

L’inertie de l’énergie. — Une des conséquences les plus remarquables de la théorie de la relativité est que la notion de masse n’est pas distincte de celle d’énergie. On démontre en effet les résultats suivants :

1^o L’énergie cinétique acquise par une particule matérielle, de masse au repos $m_{0}$ et de masse $m$ pour une vitesse $v$, s’obtient en multipliant la variation de masse ($m-m_{0}$) par le carré de la vitesse de la lumière. C’est seulement en première approximation (pour les vitesses faibles) que cette énergie est égale à ${\frac {1}{2}}m_{0}v^{2}$ (force vive dans la mécanique classique).

2^o L’énergie rayonnante (chaleur rayonnante, lumière, ondes hertziennes) possède une masse. Une quantité d’énergie $\mathrm {W}$ a une masse égale au quotient de cette énergie par le carré de la vitesse de la lumière :

$m={\frac {\mathrm {W} }{c^{2}}}\cdot$

3^o Un corps qui rayonne (ou qui absorbe) de l’énergie, chaleur, lumière, etc., éprouve une perte (ou une augmentation) de masse égale au quotient de l’énergie rayonnée (ou absorbée) par le carré de la vitesse de la lumière. En d’autres termes, en vertu du résultat qui précède, la masse de l’énergie rayonnée (ou absorbée) se trouve perdue (ou acquise) par la matière.

4^o On sait que la matière est constituée par des corpuscules électrisés auxquels on a donné le nom d’électrons. M. Langevin a établi que l’énergie (potentielle) totale d’un électron au repos est égale à la masse au repos de l’électron, multipliée par le carré de la vitesse de la lumière. Ce résultat s’étend à toute la matière, si, comme on a toutes raisons de le penser, la matière est entièrement formée d’électrons positifs et négatifs.

Réunissant tous ces résultats, les conclusions suivantes s’imposent :

Toute variation d’énergie (potentielle ou cinétique) d’un système (formé de matière, champs électromagnétiques, rayonnements, etc.) est accompagnée d’une variation de masse de ce système, égale au quotient de la variation d’énergie par le carré de la vitesse de la lumière.

Toute forme d’énergie possède de l’inertie ; la masse de la quantité d’énergie $\mathrm {W}$ est ${\frac {\mathrm {W} }{c^{2}}}$.

Toute masse $m$ représente une énergie totale $mc^{2}$.

Quelques conséquences de l’inertie de l’énergie (M. Langevin). —

1^o VARIATION DE LA MASSE AVEC LA TEMPÉRATURE. — Une quantité d’eau dont la masse est égale à 1 gramme à la température de 0° doit avoir à 100° une masse plus grande. La différence ($5\,.\,10^{-12}$ gramme) est d’ailleurs insensible. Malgré la petitesse de cet effet, l’exemple fait comprendre que la notion de masse cesse de se confondre avec celle de quantité de matière.

2^o RÉACTIONS CHIMIQUES. — De la chaleur étant mise en jeu dans les réactions chimiques, comme cette chaleur a une masse, la masse du composé n’est pas rigoureusement égale à la somme des masses des composants. Par exemple, lorsque 2 grammes d’hydrogène s’unissent à 16 grammes d’oxygène, il se dégage sous forme de chaleur une énergie égale à ${\text{2,87}}\,.\,10^{12}$ ergs. On n’obtient pas 18 grammes d’eau, mais ${\frac {{\text{2,87}}\,.\,10^{12}}{9\,.\,10^{20}}}={\text{3,2}}\,.\,10^{-9}$ gramme en moins.

3^o TRANSFORMATIONS RADIOACTIVES. — Dans les transformations radioactives, l’énergie libérée est considérablement plus grande que dans les réactions chimiques. Par exemple, la masse globale de l’hélium et du plomb engendrés par transformation complète d’une certaine quantité d’uranium est certainement inférieure de plus de 1/10 000 à la masse de cette quantité d’uranium.

Prout a émis l’hypothèse que les divers atomes sont construits à partir d’un élément primordial, l’hydrogène. Cette hypothèse de l’unité de la matière est de plus en plus confirmée par les découvertes récentes^[1] : par exemple, Sir Rutherford a montré que le choc d’une particule α (atome d’hélium lancé par un corps radioactif) contre un atome d’azote peut détacher de celui-ci un atome d’hydrogène. D’après la mécanique ancienne, la masse d’un atome quelconque devrait alors être un multiple exact de celle de l’atome d’hydrogène, c’est-à-dire que les poids atomiques, calculés en prenant pour unité celui de l’hydrogène, devraient être des nombres entiers. C’est la loi de Prout, qui est effectivement à peu près vérifiée car les poids atomiques sont voisins de nombres entiers ; cependant il subsiste des écarts :

Lithium 6,94, bore 10,90, carbone 11,91, etc.

M. Langevin a proposé l’explication suivante : la formation des atomes (par désintégration radioactive ou par un processus inverse non encore observé, mais qui s’est nécessairement produit dans la formation des atomes lourds) a été accompagnée de variations d’énergie interne par émission ou absorption de rayonnement. La masse de l’énergie rayonnée ou absorbée est la cause des écarts^[2], et ceux-ci sont tels que les énergies mises en jeu seraient du même ordre de grandeur que celles observées au cours des transformations radioactives.

La matière réservoir d’énergie. — Soient $m_{0}$, la masse au repos d’un corps, $m$ sa masse pour les observateurs relativement auxquels il possède la vitesse $v\,;$ l’énergie totale du corps, pour ces observateurs, est :

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${\begin{aligned}\mathrm {W} =mc^{2}&={\frac {m_{0}c^{2}}{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\\[0.75ex]&=m_{0}c^{2}+{\frac {1}{2}}m_{0}v^{2}+{\frac {3}{8}}m_{0}{\frac {v^{4}}{c^{2}}}+\ldots \end{aligned}}$

Le second terme et les suivants (en nombre infini), qui contiennent les puissances supérieures de $v$, représentent l’énergie cinétique due à la vitesse $v$ (relativement aux observateurs considérés). Cette énergie croît indéfiniment lorsque la vitesse $v$ tend vers la vitesse de la lumière. Pour les faibles vitesses elle se réduit pratiquement au second terme ${\frac {1}{2}}m_{0}v^{2}$ (expression ancienne de la force vive).

Le premier terme $m_{0}c^{2}$ est l’énergie que renferme la matière au repos ; c’est la somme des énergies cinétiques et potentielles des particules électrisées (électrons) qui, en dernière analyse, composent la matière. Cette énergie est fantastique ! un seul gramme de matière, quelle que soit la nature de celle-ci, correspond à la présence d’une énergie interne égale à $9\,.\,10^{20}$ ergs, énergie qui permettrait de soulever trente millions de tonnes au sommet de la tour Eiffel.

Presque toute cette énergie interne appartient aux noyaux atomiques, qui sont des mondes insensibles à la plupart des actions que nous pouvons produire^[3]. Une très faible partie de l’énergie des noyaux est libérée spontanément dans les transformations radioactives. Une portion d’énergie beaucoup plus petite encore, provenant, non plus des noyaux des atomes, mais des électrons qui gravitent autour de ces noyaux est dégagée dans le rayonnement (chaleur rayonnante, lumière, rayons X) ou mise en jeu dans les réactions chimiques.

LE PRINCIPE DE LA CONSERVATION DE LA MASSE SE CONFOND AVEC LE PRINCIPE DE LA CONSERVATION DE L’ÉNERGIE. — Dans un système isolé, les diverses parties échangent de l’énergie entre elles ; les masses individuelles des corps ne se conservent donc pas ; seule la masse de l’ensemble reste invariable. Le principe de la conservation de la masse n’est pas distinct du principe de la conservation de l’énergie, puisque la masse de toute substance mesure son énergie totale.

Unification des principes de conservation de la masse, de l’énergie et de la quantité de mouvement. — Conservation de l’impulsion d’univers. — Dans la mécanique classique, en plus des deux principes de conservation de la masse et de l’énergie, qui apparaissaient comme distincts, mais qui deviennent identiques dans la dynamique nouvelle, il existe un troisième principe : celui de la conservation de la quantité de mouvement d’un système isolé.

Nous avons vu que la quantité de mouvement d’une particule de matière est le produit $mv$ de la masse de cette particule par sa vitesse. C’est une quantité orientée comme la vitesse, un vecteur. Tout vecteur peut être représenté géométriquement par une portion de droite $\mathrm {OM}$ (fig. 11)
Fig. 11. ayant la direction et le sens du vecteur, et dont la longueur $\mathrm {OM}$ est proportionnelle à la grandeur du vecteur. On peut projeter le vecteur en $\mathrm {OA}$, $\mathrm {OB}$, $\mathrm {OC}$ sur les directions des axes de coordonnées ; l’ensemble des trois vecteurs $\mathrm {OA}$, $\mathrm {OB}$, $\mathrm {OC}$, qui sont les composantes du vecteur $\mathrm {OM}$, est entièrement équivalent à ce vecteur $\mathrm {OM}$. C’est ainsi qu’on décompose les déplacements rectilignes en géométrie, les vitesses en cinématique, les forces et les quantités de mouvement en dynamique. Par la construction inverse, on peut composer en un vecteur unique $\mathrm {OM}$ trois vecteurs $\mathrm {OA}$, $\mathrm {OB}$, $\mathrm {OC}$ de même nature dirigés parallèlement aux axes de coordonnées.

Considérons un système de points matériels ; projetons sur les axes de coordonnées les quantités de mouvement de tous les points, puis ajoutons toutes les composantes suivant $\mathrm {O} x$, toutes les composantes suivant $\mathrm {O} y$, toutes les composantes suivant $\mathrm {O} z$, nous obtenons trois grandeurs $\mathrm {G} _{x}$, $\mathrm {G} _{y}$, $\mathrm {G} _{z}$ qui sont les composantes d’un vecteur : la quantité de mouvement du système matériel. Nous avons ainsi composé en un vecteur unique l’ensemble des vecteurs quantités de mouvement de tous les points matériels du système.

Le principe de la conservation de la quantité de mouvement affirme que dans un système de points matériels isolé qui évolue, la quantité de mouvement de l’ensemble reste la même, c’est-à-dire que les projections $\mathrm {G} _{x}$, $\mathrm {G} _{y}$, $\mathrm {G} _{z}$ restent constantes dans un même système d’axes de coordonnées.

Lorsque, dans un même système de référence, on change d’axes de coordonnées, les composantes d’un vecteur quelconque prennent de nouvelles valeurs ; il est évident que les composantes d’un vecteur se transforment suivant la même loi qu’une distance orientée (déplacement rectiligne) puisqu’un vecteur se représente géométriquement par une portion de droite dirigée. Réciproquement, trois grandeurs physiquement de même nature (homogènes) qui, dans un changement d’axes de coordonnées, se transforment comme les composantes d’un déplacement rectiligne, constituent les trois composantes d’un vecteur d’espace.

Nous allons généraliser ces notions et les étendre à l’Espace-Temps. Au lieu d’une distance, considérons un intervalle d’Univers $s$ :

${\begin{aligned}s^{2}&=-l^{2}+c^{2}\mathrm {T^{2}} \\&=-(x_{2}-x_{1})^{2}-(y_{2}-y_{1})^{2}-(z_{2}-z_{1})^{2}-c^{2}(t_{2}-t_{1})^{2},\end{aligned}}$

$x_{1}$, $y_{1}$, $z_{1}$, $t_{1}$ ; $x_{2}$, $y_{2}$, $z_{2}$, $t_{2}$ étant les coordonnées d’espace et de temps des deux événements origine et extrémité de l’intervalle $s$.

De même que la distance de deux points $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ est orientée dans l’espace, de même l’intervalle qui sépare deux événements est orienté dans l’espace-temps.

$x_{2}-x_{1}$, $y_{2}-y_{1}$, $z_{2}-z_{1}$ sont, comme en géométrie, les composantes, suivant les axes de coordonnées, de la distance spatiale des deux événements ; quant à $c(t_{2}-t_{1})$, nous pouvons dire que c’est la composante de l’intervalle suivant le temps.

Par conséquent $x_{2}-x_{1}$, $y_{2}-y_{1}$, $z_{2}-z_{1}$, $c(t_{2}-t_{1})$ sont les composantes d’espace et de temps de la portion de droite d’Univers qui sépare les deux événements. Une portion de droite d’Univers, ou ce qui est la même chose un déplacement rectiligne effectué d’un mouvement uniforme est un vecteur d’Univers à quatre dimensions, un quadrivecteur.

Par extension des propriétés des vecteurs de l’espace, lorsque quatre grandeurs physiquement de même nature se transforment, dans un changement du système de référence, comme les composantes d’une portion de droite d’Univers, c’est-à-dire (dans le cas de la relativité restreinte et avec la disposition d’axes adoptée) conformément aux formules de Lorentz, ces grandeurs constituent les composantes d’un quadrivecteur.

Un fait remarquable est que les trois composantes d’espace de la quantité de mouvement d’une portion de matière et sa masse multipliée par la vitesse de la lumière (c’est-à-dire son énergie totale divisée par la vitesse de la lumière) sont quatre grandeurs jouissant de la propriété précédente. Ce sont les composantes d’un quadrivecteur, l’impulsion d’Univers.

Ce vecteur d’Univers a ainsi pour composantes d’espace les trois quantités de mouvement suivant les directions des trois axes de coordonnées, et pour composante de temps l’énergie (divisée par $c$) qui n’est pas orientée dans l’espace mais qui est orientée suivant le temps.

La quantité de mouvement et l’énergie (ou la masse) d’un système matériel apparaissent donc comme des grandeurs inséparables, et les trois principes de la mécanique ancienne se réduisent maintenant à un principe unique : la conservation de l’impulsion d’Univers.

Alors que la quantité de mouvement et l’énergie, considérées séparément, ne se conservent que dans un même système de référence et changent d’un système de référence à l’autre, l’impulsion d’Univers a un sens absolu, indépendant du système de référence. On voit que seul l’ensemble des principes de la dynamique est absolu.

Loin de compliquer les lois de la nature, le principe de relativité, par sa puissance de simplification, conduit à une synthèse sur la beauté de laquelle il serait superflu d’insister.

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1. Il est probable que le noyau atomique de l’hydrogène est l’électron positif, de masse 1 700 fois plus grande que la masse de l’électron négatif. On a toutes raisons de penser que l’atome d’hydrogène est formé d’un électron positif et d’un électron négatif gravitant autour du premier.
2. Il faut toutefois noter que d’autres écarts sont dus à l’existence de mélanges de corps isotopes, ayant mêmes propriétés chimiques mais des poids atomiques différents. Tel est le cas, par exemple, pour le chlore (35,5) qui est un mélange de deux corps de poids atomiques 35 et 37.
3. Sauf cependant aux rayons α (expériences récentes de Sir Rutherford).