L’Algèbre d’Omar Alkhayyami/Équations quadrinômes du troisième degré

Omar Khayyám

L’Algèbre d’Omar Alkhayyami

Traduction par F. Woepcke.
Benjamin Duprat, 1851 (p. 45-68).

Après avoir ainsi terminé la discussion des équations trinômes, occupons-nous de celle des quatre équations quadrinômes, dont chacune consiste dans une égalité entre trois terme et un terme. Première espèce des quatre équations quadrinômes : « Un cube, des carrés et des côtés sont égaux à des nombres (*^[1]). »

Faisons BE (fig. 23) égale au côté d’un carré égal au nombre donné des côtés, et construisons un solide ayant pour base le carré de BE, et égal au nombre donné. Que sa hauteur soit BC, et que BC soit perpendiculaire à BE. Plaçons BD, égale au nombre donné des carrés, sur le prolongement de BC, et décrivons 29sur DC comme diamètre le demi-cercle DZC. Complétons le rectangle BK, et faisons passer par le point C une hyperbole ayant pour asymptotes les droites BE, EK. Elle coupera le cercle au point C, parce qu’elle coupe CK, la tangente au cercle ; il suit donc nécessairement que l’hyperbole coupe le cercle dans un second point. Que ce point d’intersection soit Z. Alors Z sera connu de position, parce que le cercle et la conique sont connus de position. Abaissons de Z deux perpendiculaires ZT, ZA sur EK, EA. Le rectangle ZE sera égal au rectangle BK. En retranchant EL commun à tous les deus, il reste le rectangle ZB égal au rectangle LK. Conséquemment ZL sera à LC, comme EB à BL, parce que EB est égale à TL, et les carrés de ces côtés seront de même proportionnels. Mais le carré de ZL est au carré de LC comme DL à LC, à cause du cercle. Il résulte que le carré de EB sera au carré de BL comme DL à LC, d’où il suit que le solide dont la base est le carré de EB et la hauteur LC, est égal au solide dont la base est le carré de BL et la hauteur DL. Mais ce dernier solide est égal au cube de BL, plus le solide dont la base est le carré de BL et la hauteur BD, lequel est égal au nombre donné de carrés. Ajoutons de part et d’autre le solide dont la base est le carré de EB et la hauteur BL, lequel est égal au nombre (donné) de racines. Le solide ayant pour base le carré de EB et pour hauteur BC, lequel nous avons fait égal au nombre donné, se trouvera être égal au cube de BL, plus le nombre donné de ses côtés et plus le nombre donné de ses carrés. Mais c’est ce que nous nous proposions de montrer.

Cette espèce ne renferme ni variété de cas ni problèmes impossibles (*^[2]). Elle a été résolue au moyen des propriétés d’une hyperbole combinées avec celles d’un cercle.

Seconde espèce des quatre espèces quadrinômes. « Un cube, des carrés et des nombres sont égaux à des côtés (**^[3]). »

Faisons AB (fig. 24) égale au côté d’un carré égal au nombre des côtés, BC égale au nombre donné des carrés, et faisons BC perpendiculaire à AB. Construisons un solide ayant pour base le carré de AB et égal au nombre donné, et plaçons sa 30hauteur BD sur le prolongement de BC. Après avoir complété le rectangle BE, faisons passer par le point D une hyperbole ayant pour asymptotes les droites AB, AE, à savoir l’hyperbole ZDH. Décrivons ensuite une seconde hyperbole ayant son sommet au point D et son axe sur le prolongement de BD, et dont le paramètre et le grand axe soient égaux tous les deux à DC. Ce sera la courbe TDH. Cette conique coupera nécessairement la première au point D. Alors s’il est possible que les deux coniques se rencontrent encore dans un autre point, le problème est possible ; sinon, il est impossible. Cette rencontre par contact (dans un point) ou par intersection, en deux points, dépend de ce qui est exposé dans le quatrième livre du traité des Coniques. Or, nous avions promis de ne nous en rapporter qu’aux deux (premiers) livres de cet ouvrage. Toutefois ceci ne touche en rien à notre promesse, puisque, pourvu que les deux coniques se rencontrent, il est indifférent que ce soit par contact ou par intersection. Remarquez cela. La rencontre peut donc être un contact ou une intersection ; mais si l’une des deux coniques coupe l’autre dans un autre point que D, elle la coupera nécessairement en deux points (outre en D).

Dans tous les cas, abaissons du point de l’intersection ou de la rencontre quelle qu’elle soit, disons du point H, deux perpendiculaires HM, KHL. Elles seront connues de position et de grandeur, puisque le point H est connu de position. Alors le rectangle AH est égal au rectangle AD. Retranchons EM, qui est commun à tous les deux ; il reste MD égal à EH ; puis ajoutons à l’un et à l’autre de ceux-ci DH ; il résulte ML égal à EL ; d’où il suit que les côtés, et de même les carrés des côtés, de ces rectangles seront réciproquement proportionnels. Le carré de AB sera donc au carré de BL comme le carré de HL au carré de LD ; mais le carré de HL est au carré, le LD comme CL à LD, ainsi que nous l’avons démontré plusieurs fois (*^[4]). Conséquemment le carré de AB sera au carré de BL comme CL à LD ; d’où il suit que le solide dont la hauteur est LD, et la base le carré de AB, est égal au solide dont la base est le carré de BL et la hauteur LC. Mais ce second solide est égal au cube de BL, plus le solide dont la base est le carré de BL et la hauteur BC, lequel est égal au nombre donné de carrés. Ajoutons de part et d’autre le solide dont la hase est le carré de AB et la hauteur BD, lequel nous avons fait égal au nombre 31donné. Le cube de BL, plus le nombre donné de carrés du même et plus le nombre donné, sera égal au solide dont la hase est le carré de AB et la hauteur BL, lequel est égal au nombre donné de côtés du cube de BL. Mais c’est ce qu’il s’agissait d’obtenir.

Il est évident que cette espèce admet différents cas : quelquefois on trouvera dans les problèmes qui en dépendent deux côtés correspondant à deux cubes, et quelquefois cette espèce, c’est-à-dire les problèmes qui en dépendent, n’auront pas de solution (**^[5]). Elle a été résolue par les propriétés de deux hyperboles. C’est ce que nous nous proposions de démontrer.

Troisième espèce des quatre équations quadrinômes. « Un cube, des côtés et des nombres sont égaux à des carrés (***^[6]). »

Représentons le nombre donné des carrés par la ligne BE (fig. 25), et faisons BC égale au côté d’un carré égal au nombre des côtés. Que BC soit perpendiculaire à BE ; construisons un solide ayant pour base le carré de BC et égal au nombre donné. Que la hauteur AB de ce solide soit placée sur le prolongement de BE. Décrivons sur AE le demi-cercle AZE.

Le point C sera situé, ou dans l’intérieur du cercle, ou sur sa circonférence, ou en dehors du cercle.

Qu’il soit d’abord situé dans l’intérieur du cercle. Prolongeons BC jusqu’à ce qu’elle coupe le cercle au point Z ; complétons le rectangle AC et construisons sur ZC un rectangle égal au rectangle AC, lequel sera CH. Le point H sera connu de position, parce que le rectangle CH est connu de grandeur, que ses angles sont aussi connus de grandeur, et que la ligne ZC est connue de position et de grandeur.

Ce point H sera à son tour situé, ou dans l’intérieur du cercle, ou sur sa circonférence, ou en dehors du cercle.

Qu’il soit d’abord situé dans l’intérieur du cercle. Faisons passer par le point H une hyperbole ayant pour asymptotes les droites ZC, CM. Dans cette position elle coupera nécessairement le cercle en deux points. Que les deux points d’intersection soient L et N ; ils seront connus de position. Abaissons 32de ces deux points deux perpendiculaires LK, NF sur AE, et du point L une perpendiculaire LT sur BZ. Le rectangle LC sera égal au rectangle CH, et CH est égal à CA. Ajoutons de part et d’autre CK. On obtiendra DK égal à TK. Conséquemment les côtés, et de même les carrés des côtés, de ces deux rectangles seront réciproquement proportionnels. Mais le carré de LK est au carré de KA comme EK à KA, à cause du cercle. Il suit donc nécessairement que le carré de BC est au carré de BK comme EK à KA ; en sorte que le solide dont la base est le carré de BC et la hauteur KA est égal au solide dont la base est le carré de BK et la hauteur KE. Mais le premier de ces deux solides est égal au nombre donné de côtés du cube de BK, plus le nombre donné. Ajoutons de part et d’autre le cube de BK. Alors le solide dont la base est le carré de BK et la hauteur BE, lequel est égal au nombre donné de carrés du cube de BK, sera égal au cube de BK, plus le nombre donné de ses côtés et plus le nombre donné. Et de même le cube de BF satisfera à la même équation, en vertu de la même démonstration, lorsque les deux points C, H tombent dans l’intérieur du cercle (*^[7]).

Lorsque H tombe en dehors du cercle, et que nous décrivons la conique, souvent elle rencontre le cercle par contact ou par intersection (c’est ce cas de cette espèce qui a été mentionné par Aboûl-Djoûd dans la solution du problème dont nous parlerons tout à l’heure) ; et dès lors la discussion revient à ce que nous venons d’exposer. Mais si la conique ne rencontre pas le cercle, décrivons toujours le rectangle sur une ligne plus petite, ou, dans l’autre cas, plus grande que ZC (**^[8]). Alors, si la conique ne rencontre pas le cercle, le problème est impossible. La démonstration de son impossibilité consistera dans l'inversion de ce que nous venons d'exposer. Lorsque C tombe sur la circonférence ou en dehors du cercle, nous prolongeons CZ, et nous décrivons un rectangle ayant un de ses sommets au point C, et tel que, si l'on faisait passer par le sommet opposé au sommet C une hyperbole de la manière 33indiquée ci-dessus, elle rencontrerait le cercle par contact ou par intersection. On reconnaît cela au moyen de quelques essais successifs, en employant un cas de cette règle facile ; que je ne reproduis pas ici, afin de laisser un exercice aux lecteurs de ce Mémoire. Car celui qui ne serait pas assez fort pour trouver cela lui-même ne comprendrait rien à ce traité, fondé sur les trois ouvrages mentionnés ci-dessus.

Nous démontrons l'impossibilité des cas impossibles de cette espèce, par l'inversion de la démonstration que nous avons donnée pour les cas possibles. Pour cet effet, nous constatons d'abord que le côté du cube doit nécessairement être plus petit que EB, qui représente le nombre donné des carrés (*^[9]), parce que, si le côté du cube était égal au nombre donné des carrés, ce cube serait égal au nombre donné de carrés du même, sans qu'on ajoute encore au premier quelque autre chose en fait de nombre ou de côtés du cube ; et si le côté du cube était plus grand que le nombre donné des carrés, le cube lui-même serait déjà plus grand que le nombre donné de carrés du même, sans qu'on ajoute encore quelque chose d’autre. Il est donc démontré que le côté du cube doit être plus petit que BE. Conséquemment coupons de BE une partie BF égale au côté du cube, et menons de F une perpendiculaire (à BE) jusqu’à la circonférence du cercle. Puis, intervertissons la démonstration proposée ci-dessus : il résultera que le sommet de la perpendiculaire sera situé sur la circonférence de l’hyperbole(*^[10]), dont on avait dit qu’elle ne peut rencontrer le cercle. Mais cela est absurde.

Cependant, puisque je suis d’opinion que ces essais pourraient sembler incommodes à quelques-uns des lecteurs de ce Mémoire, je vais rejeter tout ce procédé, et proposer une règle indépendante de ces essais. Elle consiste à construire sur une ligne (de longueur) arbitraire, prise sur le prolongement de BC, quelle que soit d’ailleurs la position du point C, en dehors ou en dedans du cercle, un rectangle ayant un de ses sommets au point C et égal au rectangle AC, les côtés duquel rectangle seront infailliblement connus de grandeur et de position. Ensuite, à faire passer par le sommet opposé au sommet C une hyperbole ayant pour asymptotes ZC, CM, la dernière 34de ces deux lignes étant la perpendiculaire (à ZC) au point C. Alors, si la conique rencontre le cercle par contact ou par intersection, le problème est possible ; sinon il est impossible. La dénomination de l’impossibilité sera celle que j’ai présentée ci-dessus.

Un géomètre qui avait besoin de cette espèce la résolut effectivement, si ce n’est qu’il ne démontra pas la variété de ses cas, et qu’il ne lui vint pas à l’esprit que quelquefois la solution est impossible, ainsi que nous l’avons démontré. Donc, remarquez cela, et remarquez surtout la seconde règle relative à la construction de cette équation, et à la distinction des cas possibles d’avec les cas impossibles. Cette espèce a été résolue au moyen des propriétés du cercle combinées avec celles de l’hyperbole ; et c’est ce que nous nous proposions d’expliquer.

Voici le problème qui obligea un des géomètres modernes à chercher la solution de cette espèce (*^[11]) : Diviser dix en deux parties, de sorte que la somme des carrés des deux parties, plus le quotient de la partie majeure par la partie mineure, soit égale à soixante-douze. Or il posa une des deux parties égale à « chose », et l’autre égale à dix moins chose, ainsi que c’est la coutume des algébristes dans les exemples qui présentent de semblables parties. Alors l’emploi des opérations algébriques conduit à un cube plus cinq en nombre et plus treize et demi de ses côtés égal à dix carrés. Dans cet exemple, les deux points C, H tombent exactement dans l’intérieur du cercle ; et ce géomètre excellent résolut le problème, qui avait résisté aux efforts de tous les mathématiciens distingués de l’Irâk, du nombre desquels était Aboû Sahl Alqoûhî (**^[12]), que Dieu soit miséricordieux envers eux ! — si ce n’est que l’auteur de cette solution, que Dieu lui soit favorable ! tout illustre et tout habile mathématicien qu’il était, ne conçut pas l’idée de ces différents cas, bien que parmi les problèmes de cette espèce il y en ait d’impossibles. Ce géomètre excellent était Aboûl Djoûd ou Alchannî (*^[13]). Dieu seul connaît la vérité.

Quatrième espèce des quatre équations quadrinômes. « Des nombres, des côtés et des carrés sont égaux à un cube (**^[14]). »

35

Faisons BE (fig. 26) égale au côté d’un carré égal au nombre des côtés, et construisons un solide ayant pour base le carré de BE, et égal au nombre donné. Que la hauteur de ce solide soit AB, et perpendiculaire à BE. Plaçons BC égale au nombre des côtés sur le prolongement de AB, et complétons le rectangle AE. Donnons à BE le prolongement EM d’une longueur quelconque, et décrivons sur cette droite EM qui est donnée, un rectangle égal à AE. Que ce soit le rectangle EH. Le point H sera alors connu de position. Faisons passer par H une hyperbole ayant pour asymptotes EM, ES ; ce sera la courbe HTK. Elle sera connue de position. Ensuite, décrivons une seconde hyperbole ayant son sommet au point C, son axe sur le prolongement de BC, et son paramètre et son grand axe égaux tous les deux à AC. Ce sera la conique LCT. Elle sera connue de position, et coupera infailliblement la conique HTK. Que cette intersection ait lieu au point T. Alors T sera connu de position. Abaissons de T deux perpendiculaires TZ, TN sur BC, BM. Elles seront connues de grandeur et de position et TE sera égal à EH, qui à son tour est égal à EA. Ajoutons à tous les deux EN ; on aura AS égal à TB. Des côtés de ces deux rectangles seront donc réciproquement proportionnels, et il en sera de même pour les carrés de ces côtés. Mais le carré de TN est au carré de AN comme NC à AN, ainsi que nous l’avons démontré plusieurs foia (*^[15]), en vertu de l’hyperbole LCT. Conséquemment le carré de BE sera au carré de BN comme NC à NA ; et le solide ayant pour base le carré de BE, et pour hauteur AN, sera égal au solide ayant pour base le carré de BN et pour hauteur CN. Mais le premier de ces deux solides est égal au solide dont la base est le carré de BE et la hauteur AB, lequel nous avons fait égal au nombre donné, plus le solide dont la base est le carré de BE et la hauteur BN, lequel est égal au nombre donné de côtés du cube de BN. Ajoutons de part et d’autre le solide dont la base est le carré de BN et la hauteur BC, lequel est égal au nombre donné de carrés du cube de BN. Alors nécessairement le cube de BN sera égal au nombre donné de ses carrés, plus le nombre donné de ses 36côtés, et plus le nombre donné. Maia c’est ce qu’il s’agissait de démontrer. Cette espèce ne présente ni variété de cas ni problèmes impossibles (*^[16]).

Après avoir terminé l’examen des quatre équations quadrinômes, discutons les trois espèces dont chacune est composée de deux termes qui sont posés égaux à deux autres termes.

Première espèce des trois équations quadrinômes qui restent. « Un cube et des carrés sont égaux à des côtés et un nombre (**^[17]). »

Faisons BD (fig. 27) égale au côté d’un carré égal au nombre donné des côtés, et CB égale au nombre donné des carrés. Que CB soit perpendiculaire à BD. Construisons un solide ayant pour base le carré de BD, et égal au nombre donné. Que la hauteur de ce solide soit S. La ligne S sera ou plus grande ou plus petite que BC, ou égale à BC.

Que d’abord S soit plus petite que BC(fig. 27, 1). Prenons sur BC un segment AB égal à S, complétons AD, et prenons sur le prolongement de BD une longueur quelconque DZ. Décrivons sur DZ un rectangle égal à AD, lequel soit ED. Le point E sera connu de position, et les côtés du rectangle ED seront tous connus de position et de grandeur. Faisons passer par le point E une hyperbole ayant pour asymptotes ZD, DO. Ce sera la conique EH, et cette courbe sera connue de position. Décrivons ensuite une seconde hyperbole ayant son sommet au point A, son axe sur AB, et son paramètre et son grand axe égaux tous les deux à AC. Ce sera la conique AHT, et elle coupera nécessairement l’autre conique. Que cette intersection ait lieu au point H. Alors H sera connu de position. Abaissons de H deux perpendiculaires HK, HL. Toutes les deux seront connues de position et de grandeur, et le rectangle HD sera égal à ED, lequel à son tour est égal à AD. Ajoutons le rectangle commun DK. Le rectangle HB sera égal à AM. Il s’ensuit que leurs côtés et les carrés de leurs côtés seront réciproquement proportionnels. Mais le carré de HK est au carré de KA comme CK à AK, en vertu de l’hyperbole AHT, ainsi que nous l’avons démontré plusieurs fois. Conséquemment le carré de BD sera au carré de KB comme CK à AK, et le solide dont la base est le carré de BD et la hauteur AK 37sera égal au solide dont la base est le carré de BK et la hauteur CK. Mais ce second solide est égal au cube de BK, plus le solide ayant pour base le carré de BK et pour hauteur BC, lequel est égal au nombre donné de carrés. D’un autre côté, le premier des deux solides est égal au solide ayant pour base le carré de BD et pour hauteur AB, lequel nous avons fait égal au nombre donné, plus le solide ayant pour base le carré de BD et pour hauteur BK, lequel est égal au nombre donné de côtés du cube de BK. Conséquemment le cube de BK, plus le nombre donné de ses carrés, est égal au nombre donné plus le nombre donné de ses côtés. Et c’est ce qu’il s’agissait d’obtenir.

Lorsque S est égale à BC (*^[18]), BD sera le côté du cube cherché. Démonstration. Le solide ayant pour base le carré de BD et pour hauteur aussi BD, et qui représente le nombre de côtés du cube de BD, est égal au cube de BD. Et le solide ayant pour base le carré de BD et pour hauteur BC, et qui représente le nombre donné de carrés du cube de BD, est égal au solide ayant pour base le carré de BD et pour hauteur S, qui représente le nombre donné. Conséquemment le cube de BD, plus le nombre donné de ses carrés, est égal au nombre donné plus le nombre donné de côtés. Et c’est ce qu’il s’agissait d’obtenir. Mais on reconnaîtra aisément que dans ce cas il y aura aussi égalité entre le cube de BD plus le nombre donné, et le nombre donné de carrés plus le nombre donné de côtés de ce cube ; en sorte que cette espèce rentre dans la catégorie de la troisième espèce, laquelle est : « Un cube et des nombres sont égaux à des carrés et des côtés. »

Lorsque S est plus grande que BC (fig. 27, 2), nous faisons AB égale à S, et faisons passer la seconde hyperbole par le point C, en prenant son paramètre et son grand axe, tous les deux égaux à AC. Elle coupera nécessairement l’autre conique, le côté du cube sera encore BK, et le reste de la construction et de la démonstration est analogue à ce qui précède, si ce n’est que le carré de HK sera au carré KA comme AK à KC (*^[19]).

Il a été démontré que cette espèce présente des formes et des 38cas différents, et qu’une de ses formes rentre dans la troisième espèce ; mais l’espèce actuelle ne donne pas lieu à des problèmes impossibles (*^[20]). Sa solution a été effectuée au moyen des propriétés de deux hyperboles.

Seconde espèce des trois équations quadrinômes qui restaient. « Un cube et des côtés sont égaux à des carrés et des nombres (**^[21]). »

Faisons BC (fig. 28) égale au nombre donné des carrés, et BD égale au côté d’un carré égal au nombre des carrés et perpendiculaire à BC. Construisons un solide égal au nombre donné, et ayant pour base le carré de BD. Que la hauteur de ce solide soit S. La ligne S sera ou plus petite que BC, ou égale à BC, ou plus grande que BC.

Que d’abord S soit plus petite que BC (fig. 28, 1). Prenons sur BC un segment BA égal à S, complétons AD, décrivons sur AC comme diamètre un cercle AKC qui sera connu de position, et faisons passer par le point A une hyperbole ayant BD, DZ pour asymptotes. Ce sera la conique HAT, et elle sera connue de position. HAT coupe AZ, la tangente au cercle, et conséquemment coupe le cercle, parce que, si elle tombait entre le cercle et AZ, nous pourrions mener du point A une tangente à la conique, ainsi qu’il est exposé par Apollonius dans la soixantième proposition du second livre (*^[22]). Alors cette tangente pourrait, ou bien tomber entre AZ et le cercle, ce qui est absurde — ou bien au delà de AZ, en sorte que AZ serait une ligne droite tombant entre la conique et sa tangente, ce qui est également absurde. La conique TAH ne tombe donc pas entre le cercle et AZ, et par conséquent coupe alors ce dernier. Et nécessairement elle coupera ce dernier encore dans un autre point. Que cette intersection ait lien au point K. Alors K sera connu de position. Abaissons de ce point deux perpendiculaires KM, KE sur BC, BD. Toutes les deux seront connues de position et de grandeur, comme on le sait. Complétons le rectangle KD. Le rectangle AD sera égal au rectangle KD. Retranchons le rectangle commun MZ, et ajoutons le rectangle commun AK. Alors BK sera égal à AL, et les côtés de ces deux rectangles ainsi que les carrés de leurs côtés seront réciproquement proportionnels. Mais le carré de KE est au carré de EA comme EC à EA. Conséquemment le carré de BD est au carré de BE comme EC à EA ; et le solide dont la 39base est le carré de BD, et la hauteur EA, est égal au solide dont la base est le carré de BE et la hauteur EC. Ajoutons à tous les deux le cube de BE. Le solide dont la base est le carré de BE et la hauteur BC sera égal au cube de BE, plus le solide dont la hase est le carré de BD et la hauteur EA. Mais le premier solide est égal au nombre donné de carrés du cube de BE. Ajoutons de part et d’autre le solide dont la base est le carré de BD et la hauteur BA, lequel nous avons fait égal au nombre donné. Alors le cube de BE, plus le solide dont la base est le carré de BD et la hauteur BE, lequel est égal au nombre donné de côtés du cube de BE, sera égal au nombre donné de carrés du même, plus le nombre donné. Et c’est ce qu’il s’agissait d’obtenir.

Lorsque S est égale à BC (*^[23]), BC sera le côté du cube cherché. Démonstration. Le cube de BC est égal au nombre donné de ses carrés, et le solide dont la hauteur est BC, et la base le carré de BD, est égal au nombre donné, et égal aussi au nombre donné de côtés du cube de BC. Conséquemment le cube de BC, plus le nombre donné de ses côtés, est égal au nombre donné de ses carrés plus le nombre donné. Mais ce cas rentre aussi dans la catégorie de la troisième espèce, parce que le nombre donné de côtés du cube de BC est égal au nombre donné, en sorte que le cube de BC, plus le nombre donné, est égal au nombre donné de carrés plus le nombre donné de côtés de ce cube.

Lorsque S est plus grande que BC (fig. 28, 2) (**^[24]), faisons BA égale à S, et décrivons le cercle sur AC comme diamètre. Alors l’hyperbole qui passe par le point A coupera le cercle au point K, comme nous l’avons démontré. Abaissons du point K deux perpendiculaires KE, KM, ainsi que nous l’avons fait dans la figure précédente. EB sera le côté du cube cherché, et la démonstration est comme auparavant. Nous retranchons le rectangle commun ED ; les côtés des deux rectangles EM, EZ, ainsi que les carrés de ces côtés, seront réciproquement proportionnels, et la démonstration sera absolument analogue à la précédente, sans rien y changer.

On vient de démontrer que cette espèce présente des formes et des cas différents, et qu’une de ses formes rentre dans la 34catégorie de la troisième espèce. L’espèce actuelle ne donne pas lieu à des problèmes impossibles (*^[25]), et a été résolue au moyen des propriétés du cercle et d’une hyperbole.

Troisième espèce des trois équations quadrinômes qui restaient. « Un cube et des nombres sont égaux à des côtés et des carrés (**^[26]). »

Faisons BC (fig. 29) égale au nombre des carrés, et BD perpendiculaire à BC, et égale au côté d’un carré égal au nombre des racines. Construisons un solide ayant pour base le carré de BD, et égal au nombre donné. Que la hauteur de ce solide soit S. La ligne S sera, ou plus petite que BC, ou égale à BC, ou plus grande que BC.

Que d’abord S soit plus petite que BC (fig. 29, 1). Prenons sur BC un segment BA égal à S, complétons BZ, faisons passer par le point A une hyperbole ayant pour asymptotes BD, DZ, laquelle soit la conique HAT, et décrivons une seconde hyperbole ayant son sommet au point C, son axe sur le prolongement de BC, et son paramètre et son grand axe égaux tous les deux à AC. Cette hyperbole, qui sera KCL, coupera infailliblement l'autre conique. Que l'intersection des deux coniques KCL et HAT ait lieu au point M. Le point M sera connu de position, parce que les deux coniques sont connues de position. Abaissons de ce point deux perpendiculaires MN, EMO. Elles seront connues de position et de grandeur, le rectangle DA sera égal au rectangle DM ; et, par les raisonnements que précédemment nous avons employés plusieurs fois, on trouvera NE égal à ZE, et conséquemment les côtés de ces deux rectangles et les carrés de leurs côtés seront réciproquement proportionnels. Mais le carré de ME est au carré de EA comme CE à EA, en vertu de l'hyperbole KCL. Conséquemment le carré de BD sera au carré de BE comme CE à EA, et le solide dont la hase est le carré de BD et la hauteur EA sera égal au solide dont la base est le carré de BE et la hauteur CE. Ajoutons à tous les deux le solide dont la base est le carré de BE et la hauteur BC, lequel représente le nombre de carrés du cube de BE. Alors le cube de BE sera égal au nombre donné de ses carrés, plus le solide dont la base est le carré de BD et la hauteur 41EA. Ajoutons de part et d'autre le solide dont la hauteur est BA et la base le carré de BD, lequel nous avons fait égal au nombre donné. Il résultera que le solide dont la hase est le carré de BD et la hauteur BE, lequel est égal au nombre donné de côtés du cube de BE, plus le nombre donné de carrés du cube de BE, est égal au cube de BE, plus le nombre donné.

Lorsque S est égale à BC (*^[27]), BC sera le côté du cube. Démonstration. Le cube de BC est égal au nombre donné de ses carrés, et le nombre donné est égal au nombre donné de côtés du cube de BC. Conséquemment le cube de BC, plus le nombre donné, est égal au nombre donné de carrés, plus le nombre donné de côtés de ce cube ; et c’est ce qu’il s’agit d’obtenir. D’un autre côté, le cube de BC, plus le nombre donné de ses côtés, sera égal au nombre donné de ses carrés, plus le nombre donné ; en sorte que ce cas rentre dans la seconde espèce.

Lorsque S est plus grande que BC (fig. 29, 1) (**^[28]), faisons BA égale à S, complétons le rectangle (BZ), et faisons passer la première hyperbole par A et la seconde également par A. Elles se couperont. Or, si les deux coniques ont une seconde rencontre, soit par contact en un seul point ou par intersection en deux points, ainsi que cela est connu d’après le quatrième livre du traité des Coniques, le problème sera possible ; sinon, il sera impossible. Si les deux coniques se coupent, abaissons des deux points d’intersection deux perpendiculaires ; elles détermineront, comme segments, deux côtés correspondant à deux cubes (dont chacun satisfait à l’équation proposée). La démonstration est comme ci-dessus, sans que rien y soit changê.

On vient de démontrer que cette espèce a différents cas, et parmi eux d’impossibles (*^[29]). Elle a été résolue au moyen des propriétés de deux hyperboles.

Il est évident aussi que ces trois équations quadrinômes rentrent l’une dans l’autre, c’est-à-dire qu’on trouve un cas de la première qui est exactement aussi un cas de la seconde (**^[30]), et un cas de la seconde identique avec un cas de la troisième, et un cas de la troisième qui s’identifie absolument avec un cas de la seconde, ainsi que nous l’avons démontré.

1. *) XIX : x2 + cx2 + bx = a. ${\overline {\text{EB}}}$2 = b, ${\overline {\text{EB}}}$ . BC = a, BD = c.
   DC diamètre du cercle DZC.
   EA, EK asymptotes de l’hyperbole équilatère CZ qui passe par le point C.
   Hyperbole : ZE = BK, donc ZE — EL = BK — EL ou ZB = LK
   ZL : LC = TL : BL = EB ; ${\overline {\text{ZL}}}$² : ${\overline {\text{LC}}}$² = ${\overline {\text{EB}}}$² : ${\overline {\text{BL}}}$²
   Cercle : ${\overline {\text{ZL}}}$² : ${\overline {\text{LC}}}$² = DL : LC
   ____________________________
   ${\overline {\text{EB}}}$² : ${\overline {\text{BL}}}$² = DL : LC
   ${\overline {\text{EB}}}$² . LC = ${\overline {\text{BL}}}$² . DL = ${\overline {\text{BL}}}$² + ${\overline {\text{BL}}}$2 . BD
   ${\overline {\text{BL}}}$² + BD. ${\overline {\text{BL}}}$² + ${\overline {\text{EB}}}$² . BC = ${\overline {\text{EB}}}$² . LC + ${\overline {\text{EB}}}$² . BL = ${\overline {\text{EB}}}$² . BC
   ou ${\overline {\text{BL}}}$² + c . ${\overline {\text{BL}}}$² + b . BL = a, x = BL.
2. *) L’équation x2 + cx2 + bx — a = 0 admet toujours une racine réelle et positive, tandis que ses deux autres racines sont ou négatives ou imaginaires, et conséquemment négligées par l’auteur.
3. **) <poem>XX, x2 + cx2 + bx - a = 0 ${\overline {\text{AB}}}$² = b, BC = c, ${\overline {\text{AB}}}$² . BD = a.
   AB, AE asymptotes de l’hyperbole équilatère ZDH qui passe par le point D.
   D sommet, DL axe, DC paramètre de l’hyperbole équilatère TDH.
   Hyperb. ZDH ... AH = AD, donc AH - EM + DH = AD - EM + DH ou EL = LM,
   donc ${\overline {\text{KL}}}$² ou ${\overline {\text{AB}}}$² : ${\overline {\text{BL}}}$² = ${\overline {\text{HL}}}$² : ${\overline {\text{LD}}}$²
   Hyperb. TDH ... ${\overline {\text{HL}}}$² LD . CL, ${\overline {\text{HL}}}$² : ${\overline {\text{LD}}}$² = CL : LD
   _________________________________
   ${\overline {\text{AB}}}$² : ${\overline {\text{BL}}}$² = CL : LD, ${\overline {\text{BL}}}$² ${\overline {\text{BL}}}$² . LC = ${\overline {\text{AB}}}$² . LD
   ${\overline {\text{BL}}}$³ + ${\overline {\text{BL}}}$² . BC + ${\overline {\text{AB}}}$² . BD = ${\overline {\text{AB}}}$² . BD = ${\overline {\text{AB}}}$² . BL
   ou ${\overline {\text{BL}}}$³ + c . ${\overline {\text{BL}}}$² + a = b . BL, x = BL.
4. *) voi, pages 35 et 37.
5. **) L’équation x2 + cx2 — bx + a = 0 admet toujours une racine réelle et négative, négligée par l’auteur. Ses deux autres racines sont ou imaginaires (alors le problème est « impossible »), ou positives et égales (x = — ${\tfrac {1}{3}}c$ + ${\tfrac {1}{3}}$ $\textstyle {\sqrt[{}]{3b+c2}}$ … contact des deux hyperboles), ou positives et inégales (intersection des hyperboles en deux points, outre D), — ce qui constitue la variété de cas mentionnée par l’auteur.
6. ***) XXI, x2 + bx + a = cx2. BE = c, ${\overline {\text{BC}}}$² = b, ${\overline {\text{BC}}}$² = b, ${\overline {\text{BC}}}$² . AB = a.
   Rectangle BC = rectangle CA. — AE diamètre du cercle AZLNE.
   CZ, CM asymptotes de l’hyperbole équilatère LBN qui passe par le point H. Hyperbole : LC = CH = CA, donc LC + CK = CA + CK ou TK = DE, donc
   ${\overline {\text{LE}}}$² : ${\overline {\text{KA}}}$² = ${\overline {\text{AD}}}$² : ${\overline {\text{KB}}}$² = ${\overline {\text{BC}}}$² : ${\overline {\text{KB}}}$²
   Cercle : ${\overline {\text{LE}}}$² : ${\overline {\text{KA}}}$² = KK : KA
   _____________________________________
   ${\overline {\text{BC}}}$² : ${\overline {\text{KB}}}$² = KK : KA, ${\overline {\text{BC}}}$²
   . KA = ${\overline {\text{KB}}}$² . EK
   AB | BC . AB + ${\overline {\text{BC}}}$² . AB = ${\overline {\text{KB}}}$² + ${\overline {\text{KB}}}$² . EK = ${\overline {\text{KB}}}$² . BE
   ou AB + b AH + a = c . ${\overline {\text{KB}}}$², x = KB.
7. *) Voici quels sont les cas distingués par l’auteur :
   i C est situé dans l’intérieur du cercle ••••••••… $b^{2}<ac$.
   1) H est situé dans l’intérieur du cercle ••••••••… $a^{\tfrac {3}{4}}+b^{2}.{\sqrt {c}}<{\sqrt {a}}.bc$.
   2) H est situé sur la circonférence du cercle ••••••••… $a^{\tfrac {3}{4}}+b^{2}.{\sqrt {c}}={\sqrt {a}}.bc$.
   3) H est situé en dehors du cercle ••••••••… $a^{\tfrac {3}{4}}+b^{2}.{\sqrt {c}}>{\sqrt {a}}.bc$.
   ii) C est situé sur la circonférence du cercle ••••••••… $b^{2}=ac$.
   iii) C est situé en dehors du cercle ••••••••… $b^{2}>ac$.
   
8. **) C’est parfaitement inutile. — « Dans l’autre cas », c’est-à-dire pour raccourcir le rectangle CH dans l’un ou l’autre sens. — Il semble qu’ici l’auteur, de même qu’auparavant, dans la construction de HC sur une base terminée exactement par la circonférence du cercle, puis dans la règle qu'il va donner aussitôt, a suivi les traces d'une discussion donnée par ce mathématicien, qui, de l'aveu de l'auteur, s'était occupé antérieurement de cette équation. Mais à la fin, Alkhayyâmî, comme on verra, rejette toutes ces particularités inutiles, et leur substitue une règle qui ne contient en effet que ce qui suffit et ce qui est nécessaire.
9. *) Si l'on avait $x{\tfrac {=}{>}}c$, il s'ensuivrait $x^{3}{\tfrac {=}{>}}cx^{2}$ et $x^{2}+bx+a>cx^{2}$ ; de sorte que, pour que l'équation $x^{2}+bx+a=cx^{2}$ puisse subsister, il faut qu'on ait $x<c$.
10. *) En effet, puisqu’on avait supposé que BF représente le côté du cube demandé, on a ${\overline {\text{BF}}}^{2}+{\overline {\text{BC}}}^{2}.BF+{\overline {\text{BC}}}^{2}.AB=BE.{\overline {\text{BF}}}^{2}={\overline {\text{BF}}}^{2}+{\overline {\text{BF}}}^{2}.FE$ ; donc ${\overline {\text{BC}}}^{2}.BF+{\overline {\text{BC}}}^{2}.AB={\overline {\text{BF}}}^{2}.FE$ ou ${\overline {\text{BC}}}^{2}.AF={\overline {\text{BF}}}^{2}.FE$, et conséquemment ${\overline {\text{BC}}}^{2}:{\overline {\text{BF}}}^{2}=FE:AF$. Mais on a dans le cercle ${\overline {\text{NF}}}^{2}:{\overline {\text{FA}}}^{2}=FE:AF$, donc ${\overline {\text{NF}}}^{2}:{\overline {\text{FA}}}^{2}={\overline {\text{BC}}}^{2}:{\overline {\text{BF}}}^{2}={\overline {\text{AD}}}^{2}:{\overline {\text{BF}}}^{2}$ et $NF.FB=FA.AD$ ou $SF=DF$, par conséquent $SF-CF=DF-CF$ ou $NC=CA=CH$ ; d’où il suit que N est situé sur la circonférence d’une hyperbole qui passe par H, et qui a ZC, CM pour asymptotes.
    À l’occasion des autres espèces qui présentent des cas « impossibles », l’auteur s’est toujours borné à remarquer que l’impossibilité a lieu lorsque les deux coniques qui construisent le problème ne se rencontrent pas, sans le prouver. La démonstration qu’il indique ici irait, avec quelques changements, aux autres cas semblables ; de sorte qu’on la peut supposer donnée une fois pour toutes.
    J’ai signalé (addition D, premier problème) une semblable démonstration donnée par un autre géomètre arabe.
11. *) $(10-x)^{2}+x^{2}+{\tfrac {10-x}{x}}=72,\ {\text{ou}}\ x^{3}+13{\tfrac {1}{2}}x+x+5=10x^{2}\ ;$ les racines sont $x=2,\ x=4\pm {\tfrac {1}{2}}\textstyle {\sqrt {74}}$. Les deux points C, H tombent tous les deux en dehors du cercle ; l’assertion contraire du texte doit donc être attribuée à une faute de copie commune par hasard aux deux manuscrits, ou à une erreur momentanée de l’auteur.
12. **) Ce surnom « Alqoûbi » est expliqué dans le Qitâb Alfihrist, par les mots . Pour des détails concernant la vie de ce géomètre, je me borne à renvoyer à Casiri, tom. I, p. 441-444, et Aboûl Faradj, éd. de Pococke, p. 329. Mais je com- pléterai ce qu’on trouve dans Casiri au sujet des ouvrages d’Alqoûhî. En voici d’abord le catalogue, extrait du Qitâb Alfirist :
    1) Traité des centres des instruments (; le texte de Casiri et le Ms. du Târikh al Hoq. de la Bibl. nat. portent , « des sphères » ), qu’il laissa inachevé.
    2) Traité des éléments à la manière de l’ouvrage d’Euclide ( ; le texte de Casiri porte , et le Ms. du TArlkh al Hoq.  ; tous les deux ajoutent encore à cet ouvrage qu’il resta inachevé).
    3) Traité du compas parfait ; deux livres.
    4) Traité de l’art de construire des astrolabes, avec démonstrations ; deux livres.
    5) Traité de la détermination des points sur des lignes.
    6) Traité au sujet des logiciens relativement à la combinaison continue des deux mouvements, à la défense de Thâbit Ben Korrah.
    7) Traité des centres des cercles situés sur des lignes, suivant la méthode de l’analyse, 88111 synthèse.
    8) Traité de la construction des deux lignes en proportion.
    9) Traité des cercles qui se touchent, suivant la méthode de l’analyse.
    10) Traité des additions au second livre d’Archimède.
    11) Traité de la détermination du côté de l’heptagone inscrit au cercle.
    Quant aux ouvrages 7 et 9, j’ai rencontré, dans un Ms. de la Bibl. nationale, un mémoire d’Alqoûhi, intitulé : « Des centres de cercles qui se touchent, situés sur des lignes ». Alqoûhi y résout successivement les problèmes suivants : construire un cercle passant par deux points donnés — ou touchant deux droites données — ou passant par un point donné et touchant une droite donnée — et dont le centre soit situé sur une droite donnée ; constr. un cercle passant par un point donné et touchant une droite donnée — ou touchant une droite donnée et un cercle donné — et dont le centre soit situé sur une courbe quelconque donnée ; constr. un cercle passant par un point donné et touchant un cercle donné, et dont le centre soit situé sur une droite — puis sur une courbe quelconque donnée ; enfin, constr. un cercle dont le centre soit situé sur une courbe quelconque donnée, et touchant deux cercles donnés. À la fin de ce mémoire, l’auteur ajoute : « Avant de prendre connaissance du traité d’Apollonius sur les sections coniques, nous avions résolu un des cas spéciaux de ce problème, lequel ne conduit pas à des sections coniques. C’est celui où la ligne connue de position est une partie de la circonférence d’un cercle, tandis que les centres des trois cercles sont situés sur la même droite. Nous en avons fait mention, ainsi que de quelques-unes de ces propositions, dans notre traité analytique, lequel nous avons intitulé de même : « Des centres de cercles qui se touchent, situés sur des lignes ». Mais nous n’en avons pas parlé ici, parce que cela rentre dans les principes des subdivisions, et que si nous avions voulu nous occuper des subdivisions et des spécifications, et de la synthèse et de l’énumération des différents cas des positions des points suivant la méthode employée par Apollonius dans un de ses ouvrages, notre traité se serait trop étendu. Mais nous espérons pouvoir encore traiter à fond cet objet, si telle est la volonté de Dieu. »
    Quant à l’ouvrage 5, c’est probablement le mémoire d’Alqoûhi, dont une copie se trouve dans le même Ms. de la Bibl. nat., où il est intitulé « Traité du problème de mener d’un point donné deux lignes renfermant un angle donné. Il y est question de mener ces deux lignes de sorte qu’elles aboutissent à une droite donnée de position, et que le rapport — ou le produit des deux segmenta interceptés entre le point donné et la droite donnée — ou que l’aire du triangle produit — ou que la base de ce triangle — ou que la somme des carrés des deux segments — ou que la somme de ces segments — ou leur différence — soit de grandeur donnée. Puis Alqoûhi résout les quatre premiers cas en supposant que la ligne donnée de tion n’est plus droite, mais une circonférence de cercle. Si le sujet de ce mémoire correspond assez au titre de l’ouvrage 5, son titre ressemble encore plus parfaitement à celui de l’ouvrage 8, qui cependant indique peut-être un mémoire sur la construction des deux moyennes proportionnelles. Quant à l’ouvrage 10, que Casiri a pris pour une addition faite au traité d’Archimède sur les conoïdes et les sphéroïdes — en quoi il s’est trompé — je n’ai qu’à renvoyer aux additions jointes à la fin de cette traduction. J’ai rendu compte dans l’addition C de ce que contenait ce mémoire d’Alqoûhi. Quant à l’ouvrage 4, il en existe une copie dans un Ms. de la bibliothèque de Leyde ; elle y occupe vingt-huit pages, et est suivie d’un commentaire. Quant à l’ouvrage 3, la bibl. de Leyde en possède également une copie, cotée n° 1126 du catalogue de 1716, mais que je n’ai pas eue sous les yeux : cependant j’ai examiné un petit mémoire d’un Ms. de la Bibl. nat. qui traite du même sujet, et dans lequel on cite Alqoûhi et Alblroûni. Ce petit traité fut composé pour le célèbre sultan Almaliq Alnêcir Selâh Eddin Aboûl Mozhaffir. Ioûçouf ben Ayoûb, par Mohammed ben Alhoçain ben Mohammed ben Alboçain. — Voici quel est le principe de cet instrument imaginé par les géomètres arabes pour décrire les sections coniques par un mouvement continu. Supposons un cône coupé par un plan, désignons par α l’angle générateur du cône, par β l’angle que fait l’axe du cône avec le plan coupant, par K la partie de l’axe comprise entre le sommet du cône et le plan coupant. En désignant par P et A le paramètre et le grand axe de la section produite, on aura P/K = tg α * sin β, A/K = +- sin α * cos α / cos 2 α - cos 2 β sin β. Réciproquement, A, P, K étant donnés, on pourra déterminer α et β. En effet, posant pour abréger 1 / +- P / A - 1 = ρ, (P / K) 2 + 1 = α, on aura cos 4 α + (ρ * σ - 1) cos 2 α - ρ = ο, sin β = P / K cotg α : on voit dès lors que α et β peuvent être déterminés par de simples constructions géométriques.

    

    Je donne ci-contre un dessin de l’instrument arabe. Après avoir déterminé α et β au moyen des éléments (A, P) de la conique qu’il s’agit de décrire, en prenant K égal à la longueur ca, faisons l’angle gab = β, l’angle bcd = α. Puis plaçons gh sur la direction du grand axe de la conique que nous nous proposons de décrire, et la pointe f du crayon sur le sommet de cette conique. On reconnait sur-le-champ que, si le crayon ef peut glisser librement dans le tuyau d, et s’allonger pour ainsi dire sans cesse de manière à rester constamment appliqué au plan du papier sur lequel on a placé l’instrument, tandis que le côté cb tourne autour de lui-même dans la capsule fixe ab ; on reconnait, dis-je, qu’alors cf n’est en-effet autre chose que l’arête d’un cône dont ca est l’axe, et qui est coupé par le plan du papier sur lequel la pointe f tracera la conique demandée. Je ne puis ici rendre un compte détaillé de la manière dont le géomètre arabe détermine α et β. Mais voici du moins sa construction au cas de la parabole. Il prend AC = 1/2 P, CB = 1/2 K, et détermina E de aorte qu’en coupant un demi-cercle décrit sur AE comme diamètre par une perpendiculaire CD, on ait DB = CE (ce qui revient à construire l’équation du 2^e degré x2 - 1/2 Px - 1/2 K = 0). Ensuite il décrit sur EC un demi-cercle qu’il coupe au point Z par un are décrit du centre C et du rayon CB. En prolongeant CZ jusqu'à T, de sorte que ZT = ZC, et joignant TE, on aura angle CTE = α, angle TCE = β, qui dans le cas de la parabole est aussi égal à α, et CT = K.

    

    

13. *) Voir le Loubb Alloubâb de Soyoûti, éd. de Yeth, vol. I, pag. \OV.

14. 

15. *) voir pag. 49, lig. 1.
16. *) L’équation $x^{2}-cx^{2}-bx-a=0$ a toujours une racine réelle et positive ; les deux autres racines sont ou imaginaires ou négatives, et conséquemment n'existent pas pour l’algébriste arabe.
17. **) xxiii, $x^{2}+cx^{2}=bx+a$. ${\overline {\text{BD}}}^{2}=b$, $BC=c$, ${\overline {\text{BD}}}^{2}.S=a$. $S<=>BC$.
    1) $S<BC$ (fig. 27, 1), $AB=S$. — Rectangle ED = rectangle AD.
    $DZ$, $DO$, asymptotes de l’hyperbole équilatère EH qui passe par le point E.
    A sommet, AB axe, AC paramètre de l’hyperbole équilatère ABT.
    Hyperbole $EK$ … $HD=ED=AD$, $HD+DK=AD+DK$ ou $HB=AM$
    ${\overline {\text{HK}}}^{2}:{\overline {\text{KA}}}^{2}={\overline {\text{MK}}}^{2}:{\overline {\text{KB}}}^{2}={\overline {\text{BD}}}^{2}:{\overline {\text{KB}}}^{2}$
    Hyperbole AHT •... ${\overline {\text{HK}}}^{2}:{\overline {\text{KA}}}^{2}=CK:AK$
    ______________________________
    ${\overline {\text{BD}}}^{2}:{\overline {\text{KB}}}^{2}=CK:AK$, ${\overline {\text{KB}}}^{2}.CK={\overline {\text{BD}}}^{2}.AK$
    ${\overline {\text{KB}}}^{2}+{\overline {\text{BF}}}^{2}.BC={\overline {\text{BD}}}^{2}.KB+{\overline {\text{BD}}}^{2}.AB$ ou ${\overline {\text{KB}}}^{2}+c.{\overline {\text{KB}}}^{2}=b.KB+a$, $x=KB$.
18. *) 2) $S=BC...x=BD$. Démonstr. ${\overline {\text{BD}}}^{2}.BD={\overline {\text{BD}}}^{2}$ ou $b.BD={\overline {\text{BD}}}^{2}$
    ${\overline {\text{BD}}}^{2}.BC={\overline {\text{BD}}}^{2}.S$ ou $c.{\overline {\text{BD}}}^{2}=a$
    ____________________________________
    conséquemment ${\overline {\text{BD}}}^{2}+c.{\overline {\text{BD}}}^{2}=b.BD+a$. Mais en même temps ${\overline {\text{BD}}}^{2}+a=c.{\overline {\text{BD}}}^{2}+b.BD$, ce qui rentre dans la catégorie de l’éq. 25) $x^{3}+a=cx^{2}+bx$.
19. *) C’est-à-dire que les points A et c, tels qu’ils étaient dans la première figure, ont, si l’on veut, échangé leurs rôles. Mais en réalité la démonstration donnée ci-dessus s’applique rigoureusement aussi à la seconde figure, et l’on aura par rapport à celle-ci, comme auparavant, ${\overline {\text{HK}}}^{2}:{\overline {\text{KA}}}^{2}=CK:AK$. — Le fait est que réellement rien n’est changé dans les deux coniques qui construisent l’équation ; seulement l’intersection considérée ici se fait sur l’autre branche de la seconde hyperbole. On peut passer du premier cas au second en faisant mouvoir A sur BC vers C et jusqu’au delà de C ; lorsque A et C coïncident ($S=BC$), la seconde hyperbole s’identifie avec ses asymptotes, et la première hyperbole se trouve combinée avec une droite passant par A, et renfermant avec AB un angle de 45 degrés.
20. *) L’équation : $x^{3}+cx^{2}-bx-a=0$ a toujours une racine réelle et positive ; ses deux autres racines sont ou négatives ou imaginaires, et conséquemment négligées par l’auteur.
    Les « différents cas » présentés par cette espèce sont $S<=>BC$, c.-à-d. ${\tfrac {a}{b}}<=>c$.
21. **) xxiv, $x^{2}+bx=cx^{2}+a.BC=c$, ${\overline {\text{BD}}}^{2}=b$, ${\overline {\text{BD}}}^{2}.S=a$. $S<=>BC$
    1) $S<BC$ (fig. 28, 1), $AB=8$.
    AC, diamètre du cercle AKC.
    DB, DE, asymptotes de l’hyperbole équilatère HAT qui passe par le point A.
    Hyperbole : $AD=KD$, $AD-MZ+AK=KD-MZ+AK$ ou $BK=AL$
    ${\overline {\text{KE}}}^{2}:{\overline {\text{EA}}}^{2}={\overline {\text{LE}}}^{2}:{\overline {\text{BE}}}^{2}={\overline {\text{BD}}}^{2}:{\overline {\text{BE}}}^{2}$
    Cercle : ${\overline {\text{KE}}}^{2}:{\overline {\text{EA}}}^{2}=EC:EA$
    _________________________________
    ${\overline {\text{BD}}}^{2}+{\overline {\text{BD}}}^{2}.EA={\overline {\text{BE}}}^{2}+{\overline {\text{BE}}}^{2}.EC:EA$, ${\overline {\text{BD}}}^{2}.EA={\overline {\text{BE}}}^{2}.EC$
    ${\overline {\text{BE}}}^{2}+{\overline {\text{BD}}}^{2}.EA={\overline {\text{BE}}}^{2}+{\overline {\text{BE}}}^{2}.EC={\overline {\text{BE}}}^{2}.BC$
    ${\overline {\text{BE}}}^{2}+{\overline {\text{BD}}}^{2}.BE=BC.{\overline {\text{BE}}}^{2}+{\overline {\text{BD}}}^{2}.AB$ ou ${\overline {\text{BE}}}^{2}+b.BE=c.{\overline {\text{BE}}}^{2}+a$, $x=BE$.
22. *) Éd. d’oxford, livre II, prop. 49, pag. 140.
23. *) 2) $S=BC$ ••• $x=BC$. Démonstr. ${\overline {\text{BC}}}^{2}=BC.{\overline {\text{BC}}}^{2}$ ou ${\overline {\text{BC}}}^{2}=c.{\overline {\text{BC}}}^{2}$
    ${\overline {\text{BD}}}^{2}.BC={\overline {\text{BD}}}^{2}.S$ ou $b.BC=a$
    ___________________________
    conséquemment ${\overline {\text{BC}}}^{3}+b.BC=c.{\overline {\text{BC}}}^{2}+a$
    Mais en même temps ${\overline {\text{BC}}}^{3}+a=c.{\overline {\text{BC}}}^{2}+b.BC$, ce qui rentre dans la catégorie de l’éq. 25) $x^{3}+a=c.x^{2}+b.x$.
    
24. **) 3) $S>BC$ (fig. 28, 2), $AB=S$.
    Hyperbole : $AD=KD,AD-ED=KD-ED$ ou $EZ=BK$
    ${\overline {\text{KE}}}^{2}:{\overline {\text{EA}}}^{2}={\overline {\text{ZA}}}^{2}:{\overline {\text{BE}}}^{2}={\overline {\text{BD}}}^{2}:{\overline {\text{BE}}}^{2}$
    Cercle : ${\overline {\text{KE}}}^{2}:{\overline {\text{EA}}}^{2}=EC:EA$
    __________________________________________________
    ${\overline {\text{BD}}}^{2}:{\overline {\text{BE}}}^{2}=EC:EA$, ${\overline {\text{BE}}}^{2}.EC={\overline {\text{BD}}}^{2}.EA$
    ${\overline {\text{BE}}}^{3}={\overline {\text{BD}}}^{3}.EA.{\overline {\text{BE}}}^{2}.BC$, ${\overline {\text{BE}}}^{3}+{\overline {\text{BD}}}^{2}.EB={\overline {\text{BD}}}^{2}.AB+BC.{\overline {\text{BE}}}^{2}$ ou ${\overline {\text{BE}}}^{3}+b.BE=a+c.{\overline {\text{BE}}}^{2}$, $x=BE$.
25. *) L’équation $x^{3}-cx^{2}+bx-a=0$ a toujours une racine réelle et positive. Dans les cas 2) et 3), lorsque ${\tfrac {a}{b}}{\tfrac {=}{>}}c$, les deux autres racines sont imaginaires ; mais dans le premier cas, ${\tfrac {a}{b}}<c$, elles peuvent être positives, en sorte que l’équation alors aura trois racines positives. Il est bien à regretter qu’une circonstance aussi importante ait pu échapper à l’auteur.
26. **) xxv, $x^{2}+a=cx^{2}+bx$. $BC=c$, ${\overline {\text{BD}}}^{2}=b$, ${\overline {\text{BD}}}^{2}+S=a$. $S<=>BC$
    1) $S<BC$ (fig. 29, 1), $AB=S$.
    BD, DZ, asymptotes de l’hyperbole équilatère BAT qui passe par le point A.
    C sommet, CE axe, AC paramètre de l’hyperbole équilatère KML.
    Hyperbole HAT ... $DA=DM$, $DA-ZN+AM=DM-ZN+AM$ ou $NE=ZE$
    ${\overline {\text{ME}}}^{2}:{\overline {\text{EA}}}^{2}={\overline {\text{OE}}}^{2}:{\overline {\text{BE}}}^{2}={\overline {\text{DB}}}^{2}{\overline {\text{BE}}}^{2}$
    Hyperbole KML … \overline{\text{ME}}^2 : \overline{\text{EA}}^2 = CE / EA
    _______________________________________
    \overline{\text{BD}}^2CE : EA</math>, ${\overline {\text{BE}}}^{2}.CE={\overline {\text{BD}}}^{2}.EA$
    ${\overline {\text{BE}}}^{2}.BC+{\overline {\text{BE}}}^{2}.CE$ ou ${\overline {\text{BE}}}^{3}={\overline {\text{BE}}}^{2}.BC+{\overline {\text{BD}}}^{2}.EA$
    $<math>{\overline {\text{BE}}}^{2}.{\overline {\text{BD}}}^{2}.AB={\overline {\text{BE}}}^{2}.BC+{\overline {\text{BD}}}^{2}.BE$ ou ${\overline {\text{BE}}}^{2}+a=c.{\overline {\text{BE}}}^{2}+b.BE$, $x=BE$.
27. *) 2) S = BC ... x = BC. Démonstr. ${\overline {\text{BC}}}^{3}=BC.{\overline {\text{BC}}}^{2}$ ou ${\overline {\text{BC}}}^{3}=c.{\overline {\text{BC}}}^{2}$
    ${\overline {\text{BD}}}^{2}.S={\overline {\text{BD}}}^{2}.BC$ ou $a=b.BC$
    ___________________________________________
    conséquemment ${\overline {\text{BC}}}^{2}+a=c.{\overline {\text{BC}}}^{2}+b.BC$
    Mais en même temps aussi ${\overline {\text{BC}}}^{2}+b.BC=c.{\overline {\text{BC}}}^{2}+a$, ce qui rentre dans la catégorie de l'équation 24) $x^{3}+bx=cx^{2}+a$.
    Ce qui échappe à l'auteur, c'est que dans ce cas aussi $x=BD$ sera une solution, et que l'on a
    ${\overline {\text{BD}}}^{3}={\overline {\text{BD}}}^{2}.BD$ ou ${\overline {\text{BD}}}^{3}=b.BD$
    ${\overline {\text{BD}}}^{2}.S={\overline {\text{BD}}}^{2}.BC$ ou $a=c.{\overline {\text{BD}}}^{2}$
    ____________________________________
    donc ${\overline {\text{BD}}}^{3}+a=c.{\overline {\text{BD}}}^{2}+b.BD.$
    Et en même temps on aura ${\overline {\text{BD}}}^{2}+c.{\overline {\text{BD}}}^{2}=b.BD+a$, ce qui rentre dans la catégorie de l'équation 23) $x^{3}+cx^{2}=bx+a$.
28. **) 3) $S>BC$ (fig. 29, 2), $AB=S$. - Hyperbole HAT comme auparavant. - A sommet, AB axe, AC paramètre de l’hyperbole équilatère KML. - Ensuite la démonstration donnée pour le cas 1) s’applique trait pour trait à cette seconde figure.
29. *) Dans les cas $S{\tfrac {<}{=}}BC$, c.-à-d. ${\tfrac {a}{b}}{\tfrac {<}{=}}c$, l'équation $(x^{2}-cx^{2}-bx+a=0$ a toujours deux racines positives.
    Dans le cas ${\tfrac {a}{b}}<c$, l'auteur ne trouve par sa construction qu'une seule de ces deux racines, tandis que l'autre lui échappe. À cette dernière correspond le point d'intersection P (fig. 29, 1) de l'hyperbole HAT avec l'autre branche de l'hyperbole KCL. La perpendiculaire abaissée de P sur BA rencontrera cette droite entre B et A, c.-à-d. que cette perpendiculaire rencontrera le côté positif de l'axe des abscisses. L'auteur aurait dû remarquer cette circonstance.
    Lorsque ${\tfrac {a}{b}}=c$, l'autre racine positive est $x=+\textstyle {\sqrt {b}}$ ou $x=BD$
    Pour le cas ${\tfrac {a}{b}}>c$, l'auteur observe avec justesse que, ou bien les deux coniques auront une intersection en deux points, ou un contact en un point, ou le problème sera impossible ; c.-à-d. que l'équation a, ou bien deux racines positives et inégales, ou positives et égales ($x={\tfrac {1}{3}}c+{\tfrac {1}{2}}\textstyle {\sqrt {3b+c^{2}}}$, ou deux racines imaginaires.
    Dans tous les trois cas l'équation a, outre ces deux racines conjuguées, une racine réelle et négative, dont l'existence est naturellement ignorée par l'algébriste arabe.
30. **) Plutôt de la troisième. Voir pag. 60 sqq.