L’Algèbre d’Omar Alkhayyami/Théorèmes préliminaires pour la construction des équations du troisième degré

Omar Khayyám

L’Algèbre d’Omar Alkhayyami

Traduction par F. Woepcke.
Benjamin Duprat, 1851 (p. 28-32).

Faisons précéder cette discussion par quelques propositions fondées sur l’ouvrage des Coniques (*^[1]), afin d’offrir à l’étudiant un arrangement systématique, et, afin que dans ce Traité nous n’ayons à renvoyer à plus des trois ouvrages mentionnés, à savoir, les deux ouvrages d’Euclide sur les Éléments et sur les Données, et les deux (premiers) livres du traité des Coniques.

Trouver deux lignes entre deux autres lignes (données), de manière que ces quatre lignes soient en proportion continue (*^[2]).

Que les deux droites (données) soient AB, BC (fig. 14), et 18plaçons-les de manière qu’elles renferment l’angle droit B. Construisons une parabole dont le sommet soit situé au point B, dont l’axe soit BC, et dont le paramètre soit BC. Que ce soit la conique BDE. Elle sera connue de position, parce que son sommet et son axe sont connus de position, et que son paramètre est connu de grandeur. Elle touchera la ligne BA, parce que l’angle B est un angle droit, et conséquemment égal à l’angle de l’ordination, ainsi que cela est démontré dans la trente-troisième proposition du premier livre des Coniques (**^[3]). D’une manière semblable nous construisons une autre parabole ayant pour sommet le point B, pour axe AB, et pour paramètre AB, laquelle sera la conique BDZ, ainsi que cela est démontré par Apollonius dans la cinquante-sixième proposition du premier livre (***^[4]). La conique BDZ touchera la ligne BC. Les deux paraboles s’entrecoupent donc nécessairement. Que D soit leur point d’intersection. Alors le point D sera connu de position, parce que les deux coniques sont connues de position. Abaissons du point D deux perpendiculaires DH, DT, sur AB, BC. Elles seront connues de grandeur, ainsi que cela est démontré dans les Données (****^[5]). Et je dis qu’alors les quatre lignes AB, BH, BT, BC, sont en proportion continue.

Démonstration. Le carré de HD est égal au produit de BH en BC, parce que la ligne DH est ordonnée de la parabole BDE ; conséquemment BC est à HD, laquelle est égale à BT, comme BT à HB. La ligne DT est ordonnée de la parabole BDZ. Le carré de DT, laquelle est égale à BH, sera donc égal au produit de BA en BT. Conséquemment BT sera à BH comme BH à BA. Les quatre lignes sont donc en proportion continue ; et la ligne DR est connue de grandeur, vu qu’elle est menée d’un point connu de position à une ligne connue de position, sous un angle connu de grandeur ; et semblablement DT sera connue de grandeur. Il suit donc que les deux lignes BU, BT, sont connues de grandeur, et qu’elles sont en même temps moyennes proportionnelles entre les deux lignes AB, BC, c’est-à-dire que AB est à BH comme BH à BT, et comme BT à BC. Mais c’est ce qu’il s’agissait de démontrer.

19Étant donnés le carré ABCD (fig. 15, 1), base du parallélépipède rectangle ABCDE, et le carré MH, construire sur MH comme base un paralléüpipède rectangle égal au solide donné ABCDE (*^[6]).

Faisons AB à MZ comme MZ à K, et puis AB à K comme ZT à ED. Plaçons ZT de manière qu’elle soit perpendiculaire au plan MH au point Z, et complétons le solide MZTH. Je-dis que ce solide est égal au solide donné.

Démonstration. Le carré AC est au carré MH comme AB à K. Le carré AC sera donc au carré MH comme ZT, la hauteur du solide MTH, à ED la hauteur du solide BE. Il suit que les deux solides sont égaux, puisque leurs bases sont réciproquement proportionnelles à leurs hauteurs, ainsi que c’est démontré dans le onzième livre des Éléments (*^[7]).

Toutes les fois que nous nous servirons de l’expression « solide, » nous désignerons par cela un parallélipipède rectangle ; et de même, toutes les fois que nous nous servirons de l’expression « figure plane », nous voudrons parler d’un rectangle.

Étant donné un solide ABCD (fig. t 5, 2) dont la hase AC est carrée, construire un solide dont la hase soit un carré, la hauteur égale à la ligne donnée ET, et lequel soit égal au solide donné ACD (**^[8]).

Faisons ET à BD comme AB à K, et prenons entre AB et K une moyenne proportionnelle EZ. Faisons EZ perpendiculaire à ET, et complétons TZ. Puis faisons EH perpendiculaire au plan TZ et égale à EZ, et complétons le solide HETZ. Je dis que le solide T, ayant pour base le carré HZ et pour hauteur la ligne donnée ET, est égal au solide donné D.

Démonstration. Le carré AC est au carré HZ comme AB 20à K ; conséquemment le carré AC sera au carré HZ comme ET à BD. Les bases des deux solides étant ainsi réciproquement proportionnelles à leurs hauteurs, les solides seront égaux. Et c’est ce qu’il s’agissait de démontrer.

Ces préliminaires établis, nous pouvons donner la résolution de la troisième espèce des équations simples, laquelle était : « Un cube est égal à un nombre (*^[9]). »

Représentons le nombre par le solide ABCD (fig. 16), dont la base AC soit le carré de l’unité, comme nous l’avons expliqué précédemment (**^[10]), tandis que sa hauteur soit égale au nombre donné. Nous désirons construire un cube égal à ce solide. Prenons, entre les deux lignes AB, BD, deux moyennes proportionnelles : celles-ci seront connues de grandeur, comme nous venons de le démontrer (***^[11]). Que ce soient les lignes E, Z. Faisons HT égale à la ligne E, et décrivons sur HT le cube THKL. Ce cube et son côté seront connus de grandeur, et je dis que ce cube est égal au solide D.

Démonstration. Le carré AC est au carré TK en raison double de AB à HK, et la raison double de AB à HK est égale à la raison de AB à Z, de la première à la troisième des quatre lignes, et conséquemment égale à la raison de la seconde HK à la quatrième BD. Les bases (TK, AC) du cube L et du solide D sont donc réciproquement proportionnelles à leurs hauteurs (HL = HK et BD). Il suit de là que ces deux solides sont égaux, et c’est ce qu’il s’agissait de démontrer.

1. *) Ceci ne s’applique qu’au premier des trois théorèmes préliminaires qui suivent.
2. *) $AB:x=x:y=y:BC$.
   Construction : B sommet, BC axe, BC paramètre de la parabole BDE ;
   B sommet, BA axe, AB paramètre de la parabole BDZ ;
   Parab. $BDE$ ••• ${\overline {\text{HD}}}^{2}$ $=BH.BC$, $HD=BT$, donc $BC:BT=BT:HB$
   Parab. $BDZ$ ••• ${\overline {\text{DT}}}^{2}$ $=BA.BT,DT=HB$, donc $BT:HB=HB:BA$
   ______________________________________________
   conséquemment $AB:BH=BH:BT=BT:BC$
   x = BH, y = BT
   C’est la seconde des deux constructions de ce problème attribuées à Ménechme. Voir Archimède, éd. d’Oxford, pg. 142.
3. **) voir l’édition d’oxford, 1710, fol., p. 57. La proposition à laquelle l’auteur fait allusion y est la trente-deuxième.
4. ***) Édit. d’oxford, livre I, prop. 52.
5. ****) Voir propp. 30, 25, 26.
6. *) On détermine K et ZT au moyen des deux proportions
   1) $AB:MZ=MZ:K$
   2) $AB:K=ZT:ED$
   __________________________________
   Il suit ${\overline {\text{AB}}}^{2}$ : ${\overline {\text{MZ}}}^{2}=ZT:ED$, donc ${\overline {\text{AB}}}^{2}.ED={\overline {\text{MZ}}}^{2}.ZT$
   ou solide BE = solide MTH.
7. *) Prop. 34.
8. *) On détermine K et EZ au moyen des deux proportions
   1) $ET:BD=AB:K$
   2) $AB:EZ=EZ:K$
   __________________________________
   Il suit ${\overline {\text{AB}}}^{2}$ : ${\overline {\text{EZ}}}^{2}=ET:BD$, donc ${\overline {\text{AB}}}^{2}.BD={\overline {\text{EZ}}}^{2}.ET$
   ou solide D = solide T.
9. *) iii, $a=x^{2}$.
   Faisons $AB=BC=1$, $BD=a$ ;
   déterminons deux lignes E, Z en sorte que $AB:E=E:Z=Z:BD$ ;
   il suit ${\overline {\text{AB}}}^{2}$ : ${\overline {\text{K}}}^{2}$ $=AB:Z=E:BD$,
   donc ${\overline {\text{E}}}^{2}$ = ${\overline {\text{AB}}}^{2}.$ $.BD=1.a=a$
   ou, en faisant $HT=E$, $a={\overline {\text{HT}}}^{2}$ ••• $x=HT$.
10. **) Pg. 15.
11. ***) Pg. 28 uit. eqq.