La Logique déductive dans sa dernière phase de développement/2/10

Alessandro Padoa

La Logique déductive dans sa dernière phase de développement

Gauthier-Villars, 1912 (p. 41-42).

Symboles constants ou variables

48. On dit constant tout symbole qui a toujours la même signification, au sens que j’ai précisé [28] ; savoir que, dans tous ses rôles (s’il en a plusieurs), il a toujours le même ensemble de propriétés.

Tous ceux, dont je viens de vous expliquer la signification et l’emploi, sont des symboles constants ; tandis qu’on dit variables d’autres symboles qui représentent des objets qu’on suppose bien déterminés, mais dont on laisse libre le choix.

À cet effet — depuis Aristote pour la Logique et Euclide (-315, -255) pour l’Arithmétique — on emploie des lettres, qui néanmoins doivent obéir à une loi qui est la condition primordiale du langage ; savoir que, après avoir choisi leur signification, on est forcé de la conserver jusqu’à la fin de la question dont il s’agit. Mais, dans une autre question, on est libre de donner aux mêmes lettres d’autres significations.

Dans le Formulaire, les variables sont toujours représentées par des lettres minuscules en italique (telles que « a, b, c,… ») ; tandis que les symboles constants, ainsi que nous l’avons vu, sont formés par des lettres grecques ($\varepsilon \ \iota$) ou romaines ($\mathrm {Cls\ Elm}$), ou sont des signes spéciaux ($=\;\supset \;\land \;\lor \;\smallfrown \;\smallsmile \;\mathrm {o} \;$$\iota$).

49. Nous pouvons employer une lettre pour relever l’analogie, dont j’ai touché un mot [38, 39], entre les symboles logiques
                                          $\land \quad \lor \quad \smallsmile \quad \smallfrown$
et les signes arithmétiques $0\quad 1\quad +\quad \times$

Si a représente une $\mathrm {Cls}$ quelconque, on a toujours les formules, dues à Boole :

$a\,\smallsmile \,\land \,=\,a\qquad a\,\smallfrown \,\land \,=\,\land \qquad a\,\smallfrown \,\lor \,=\,a\qquad a\,\smallsmile \,\lor \,=\,\lor$

pareillement, si a représente un $\mathrm {N}$ quelconque, on a toujours :

$a+0=a\qquad a\times 0=0\qquad a\times 1=a$

L’analogie est saisissante, mais elle s’arrête devant la dernière formule logique ; car, pour les $\mathrm {N}$ on n’a pas

$a+1=1$

Cela prouve que, pour représenter les idées logiques dont il est question, il fallait avoir recours à de nouveaux symboles [28, 30].