La Logique déductive dans sa dernière phase de développement/2/12

Alessandro Padoa

La Logique déductive dans sa dernière phase de développement

Gauthier-Villars, 1912 (p. 43-44).

Variables réelles ou apparentes

52. Soit une proposition formée par des symboles constants et une seule variable, par ex., x [48].

Nous dirons que, dans la proposition donnée, x est une variable réelle ou apparente selon que la vérité de cette proposition dépend ou ne dépend pas du choix de l’interprétation de x ; par ex., x est une variable réelle dans les propositions (4), (6), (7), tandis que c’est une variable apparente dans la proposition (5).

En résumant : les propositions catégoriques sont des propositions vraies formées par des symboles constants, ainsi que la (1), ou par des symboles constants et des variables apparentes, ainsi que la (5) ; ce sont au contraire des propositions conditionnelles celles dans lesquelles entre au moins une variable réelle, ainsi que les (4), (6), (7).

Dans les explications, on abrège la phrase « proposition catégorique », en écrivant « $\mathrm {P}$ », qu’on pourra lire « proposition », tout court ; et a la place de « proposition conditionnelle » dans laquelle entre seulement la variable réelle x on écrit condition par rapport à x.

53. J’ajoute pour les mathématiciens que la distinction ordinaire des égalités en « identités » et « équations » (d’où prend naissance celle entre l’arithmétique et l’algèbre) correspond exactement à celle que je viens de faire entre $\mathrm {P}$ et conditions.

Voici, par ex., des identités :

$49-4=9\times 5\qquad \qquad a+b=b+a$

dans la première desquelles il n’y a que des symboles constants, tandis que dans la seconde il y a aussi les variables a et b, mais qui sont des variables apparentes (si dans le traité on a déclare, une fois pour toutes, que chaque lettre $a,\,b,\,c,\,\ldots$ représente un nombre) ; tandis que

$4x+3=11$

est une équation, dont $x$ est la variable réelle, qui est vérifiée seulement si $x$ vaut 2^[1].

Cette distinction mathématique correspond donc exactement à la distinction logique que je viens d’expliquer ; mais celle-ci est bien plus générale, car elle s’étend à des écritures pouvant avoir une forme quelconque (et pas seulement d’égalité) et à des variables pouvant avoir des interprétations quelconques (et pas seulement des nombres).

1. Celles qui, dans le langage algébrique, sont appelées les inconnues d’une équation, ne sont que ses variables réelles ; ses solutions ou racines ne sont que les interprétations des variables réelles, qui transforment l’équation en une identité (savoir la condition en une $\mathrm {P}$).