La Logique déductive dans sa dernière phase de développement/2/17
Négation, Classes contraires
69. Nous exprimerons le fait qu’une est fausse en écrivant devant elle le signe « - », qui est le symbole de la négation et qu’en ce cas on peut lire « il nest pas vrai que »[1] ; par ex.,
et
Mais il est préférable de transporter le signe de négation devant le symbole principal de la ; en faisant ainsi, on se passe d’une parenthèse et on abrège la lecture qui devient simplement « ne … pas » ;
par ex., et
qu’on lit : n’est pas égal à 10
et n’est pas un .
Ce que je viens de dire pour les , peut se répéter pour les conditions [52] ; donc, en général :
21.
22.
70. Si « », nous représenterons par « » (qu’on lira « non a ») l’ensemble des individus qui ne sont pas des a [69], qu’on peut appeler la contraire à a. Donc [58] :
23.
24.
25. J’ajoute la
26. .
Si chacune des lettres et a une signification déterminée, il peut arriver que « » pour deux raisons différentes : il peut se faire que « », ou bien que « » (ce qui implique que « » [ 6] et par suite que « » [ 26]) ; donc [67] :
27.
28.
De ce qui précède, il résulte que la négation d’une condition par rapport à [52] est aussi une condition par rapport à . En effet, si à la condition donnée on donne la forme explicite « » [60], alors « » [ 6] ; et par suite [ 22 et 28] les formules
« » « » « »
ont toutes la même signification ; et la troisième est bien une condition explicite par rapport à [60].
71. L’équivalence entre les deux dernières formules confirme, encore une fois, la distinction faite entre les appartenances et les inclusions [33, 34] ; car, si « », les formules
« » « »
ont des significations différentes. En effet, tandis que la seconde dit [31 et 24] que « tout est un (non ), savoir que aucun n’est un , la première [69] dit seulement que quelque n’est pas un , ce qui peut bien arriver même si quelque est un .
Ainsi, par ex., Suisse Genevois
mais non Suisse Genevois)
72. Dans le langage courant, lorsqu’il arrive souvent de considérer la contraire d’une donnee [70], on lui donne un nom exprès qu’on tire du premier moyennant des règles dont s’occupent les philologues ; mais ce n’est presque jamais la vraie contraire.
Par exemple, il n’est pas exact que :
invertebré vertébré car, en parlant d’« invertébrés », on sous entend d’abord qu’il s’agit d’« animaux ». Ce n’est donc pas le « tout » qu’on partage en « vertébrés » et « invertébrés », mais seulement la des « animaux » ; par suite, il est plus exact d’énoncer que :
invertébré = animal vertébré )
ou, en abrégeant,
invertébré = animal vertébré
En général, nous convenons donc que
29.
et cela même si a et b, au lieu d’être deux , étaient deux conditions.
Dans la fig. 5 [p. 38], les hachures désignent a gauche la « et à droite la .
73. Par suite [42]
30.
31.
et cela si a et b sont des [2] et même si elles sont des conditions ; pourvu qu’en ce cas on convienne que représente leur affirmation disjonctive, par laquelle on demande qu’une seule des conditions a et b soit verifiée.
Mais les 30, 31 nous permettent de représenter le symbole (« aut »), dans ses deux rôles, par les signes « » ; c’est pourquoi il fut abandonné [43].
- ↑ Dans les manuscrits, pour éviter toute confusion avec le signe arithmétique « » (« moins »), que Leibniz et Segner employaient aussi comme signe de négation, on lui préfère le signe « », savoir la lettre « n » (initiale du mot « non ») de l’alphabet sténographique de Gabelsberger.
- ↑ Si a et b sont conjointes [40], il suffit de regarder la fig. 5 pour se convaincre de la vérité de la 30 ; et pour la 31 il suffit de faire une comparaison entre les fig. 3, 4, 5.
Mais si a et b sont disjointes [fig. 6], alors
« » « « »
en simplifiant par ces formules les 30 et 31, elles se réduisent toutes les deux à la formule
ainsi que nous l’avons déjà énoncé [42]. (Pour la réduction de la 31 voir aussi les 36, 35 [74] et la 29.)