La transformation de Lorentz-Einstein et le temps universel de M. Ed. Guillaume

Dmitry Mirimanoff

La transformation de Lorentz-Einstein et le temps universel de M. Ed. Guillaume

Archives des sciences physiques et naturelles, 1921, 3, 1921 (p. 682-684).

Séance du 17 mars 1921.

D. Mirimanoff. — La transformation de Lorentz-Einstein et le temps universel de M. Ed. Guillaume.

Dans une série de communications et d’articles, M. Ed.Guillaume a cherché à introduire dans la théorie de la relativité une représentation monoparamétrique du temps. Il a réussi à donner de ce problème une solution intéressante dans le cas où le nombre des systèmes de référence est égal à deux. Cette solution comporte, comme on sait, une interprétation géométrique simple.

Je me propose d’en donner une interprétation nouvelle. Je ferai voir que le paramètre $t$ de M. Guillaume ne diffère que par un facteur constant du temps $\tau$ d’un système particulier d’Einstein que j’appelle système médian^[1]. À chaque couple de systèmes de référence correspond un système médian et un paramètre $t$ de M. Guillaume. On se rend mieux compte alors pourquoi le procédé de M. Guillaume n’aboutit plus lorsque le nombre $n$ des systèmes de référence est supérieur à deux. En effet, pour $n>2$ le nombre des systèmes médians et par conséquent celui des paramètres $t$ est supérieur à un et ces paramètres sont en général distincts.

1. Système médian. Soient $S_{1}$ et $S_{2}$ deux systèmes de référence d’Einstein animés l’un par rapport à l’autre d’un mouvement de translation uniforme le long des axes $o_{1}x_{1},o_{2}x_{2}$. Je suppose que la transformation de Lorentz-Einstein soit applicable à ces systèmes et que par conséquent les coordonnées $x_{1},x_{2}$ et les temps $\tau _{1},\tau _{2}$ soient liés par les relations

${\begin{alignedat}{2}x_{1}&=\beta (x_{2}\ +\alpha c\tau _{2}),\qquad &x_{2}&=\beta (x_{1}\ -\alpha c\tau _{1}),\\c\tau _{1}&=\beta (c\tau _{2}+\alpha x_{2}),&c\tau _{2}&=\beta (c\tau _{1}-\alpha x_{1}).\end{alignedat}}\qquad \qquad$(1)

où $\alpha ={\tfrac {v}{c}}$, $\beta ^{2}={\tfrac {1}{1-\alpha ^{2}}}$, $v$ étant la vitesse de $S_{2}$ par rapport à $S_{1}$.

Envisageons maintenant un 3^me système S parallèle à $S_{1}$ et $S_{2}$ et animé également d’un mouvement de translation le long de $o_{1}x_{1}$. Soit $v_{0}$ sa vitesse par rapport à $S_{1}$. La transformation de Lorentz s’applique encore et l’on a

${\begin{alignedat}{2}x_{1}&=\beta _{0}(x\ +\alpha _{0}c\tau ),\qquad &x&=\beta _{0}(x_{1}\ -\alpha _{0}c\tau _{1}),\\c\tau _{1}&=\beta _{0}(c\tau +\alpha _{0}x),&c\tau &=\beta _{0}(c\tau _{1}-\alpha _{0}x_{1}).\end{alignedat}}\qquad \qquad$(2)

où $x$ et $\tau$ sont l’abscisse et le temps correspondants dans $S$, $\alpha _{0}={\tfrac {v_{0}}{c}}$, etc.

Supposons que la vitesse de $S_{2}$ par rapport à $S$ soit aussi égale à $v_{0}$. Je dirai que le système $S$ est le système médian correspondant. Comment s’expriment $v_{0},\alpha _{0},\beta _{0}$ en fonction de $v,\alpha ,\beta$? Pour le trouver il suffit d’exprimer $x_{1},\tau _{1}$ en fonctions des paramètres $x,\tau$ (form. (2)) et ces derniers en fonction de $x_{2},\tau _{2}$ et identifier les formules finales avec (1), ce qui donne

${\frac {2\alpha _{0}}{1+\alpha _{0}^{2}}}=\alpha ,\quad \alpha _{0}={\frac {\beta -1}{\alpha \beta }},\quad \beta _{0}^{2}={\frac {\beta +1}{2}},\quad \left(1-\alpha \alpha _{0}\right)\beta =1.\quad$(3)

2. Contraction. Envisageons deux points $P'$ et $P''$. Soient $x'_{1},x'_{2},x'$; $x''_{1},x''_{2},x''$ leurs coordonnées dans $S_{1}$, $S_{2}$ et $S$ au même moment $\tau$ (temps d’Einstein du système médian). En vertu de (2)

$x'_{1}=\beta _{0}\left(x'+\alpha _{0}c\tau \right),\quad x''_{1}=\beta _{0}\left(x''+\alpha _{0}c\tau \right).$

Donc

$x''_{1}-x'_{1}=x''_{2}-x'_{2}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$(4)

Il n’y a donc pas de contraction, pourvu que $P'$ et $P''$ soient envisagés au même moment $\tau$.

La réciproque est vraie, en d’autres termes : Si la contraction n’a pas lieu en adoptant le temps $\tau$ d’un système d’Einstein, ce système est le système médian.

3. Autre relation. Soit $P$ un point d’abscisses $x_{1}$ et $x_{2}$ dans $S_{1}$ et $S_{2}$. On a, en remplaçant dans la 1^re  formule (1) le paramètre $\tau _{2}$ par son expression en fonction de $x_{2}$ et $\tau$

$x_{1}=\beta \left\{\left(1-\alpha \alpha _{0}\right)x_{2}+{\frac {\alpha }{\beta _{0}}}c\tau \right\}=x_{2}+{\frac {\beta }{\beta _{0}}}v\tau ,\qquad \qquad$(5)

en vertu de (3).

4. L’heure universelle de M. Guillaume. Soit $k$ une fonction quelconque de $v$. Comme $v$ est const., $k$ est constant. Supposons $k>0$ et posons $t=k\tau$. Si au lieu du temps d’Einstein $\tau$, on adopte le temps $t$, la simultanéité n’est pas troublée. L’égalité (4) reste vraie, donc pas de contraction, l’égalité (5) s’écrit $x_{1}=x_{2}+{\tfrac {1}{k}}{\tfrac {\beta }{\beta _{0}}}vt$. Supposons en particulier que $k={\tfrac {\beta }{\beta _{0}}}$, d’où $t={\frac {\beta }{\beta _{0}}}\tau$. L’équation (5) s’écrit

$x_{1}=x_{2}+vt\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$(6)

Multiplions la 2^me  équation du second groupe (2) par $k={\tfrac {\beta }{\beta _{0}}}$, il vient, en vertu de (3),

$c\tau _{1}={\frac {c}{\beta }}t+{\frac {\beta -1}{\alpha \beta }}x_{1}.$

On tombe, comme on voit, sur l’équation qui définit le temps universel $t$ de M. Guillaume^[2]. Par conséquent le temps $t$ défini par $t={\tfrac {\beta }{\beta _{0}}}\tau$ est bien le paramètre de M. Guillaume. Il ne diffère du temps $\tau$ du système médian que par le facteur constant $k={\tfrac {\beta }{\beta _{0}}}$.

5. Cas de trois systèmes. Envisageons trois systèmes $S_{1},S_{2},S_{3}$ parallèles animés d’un mouvement de translation uniforme parallèlement aux axes des $x$. Soient $v_{12},v_{13},v_{23}$ les vitesse relatives de $S_{2}$ par rapport à $S_{1}$, de $S_{3}$ par rapport à $S_{1}$, de $S_{3}$ par rapport à $S_{2}$ et $t_{12},t_{13},t_{23}$ les paramètres de M. Guillaume. On aura alors en vertu de (6).

$x_{1}=x_{2}+v_{12}t_{12}\,;\quad x_{1}=x_{3}+v_{13}t_{13}\,;\quad x_{2}=x_{3}+v_{23}t_{23}\,;$

par exemple l’abscisse $x_{1}$ de $O_{2}$ est donnée par $x_{1}=v_{12}t_{12}$, celle de $O_{3}$ par $x_{1}=v_{13}t_{13}$. Les paramètres $t_{12},t_{13},t_{23}$ ne doivent pas être confondus entre eux.

1. Ce terme m’a été suggéré par M. Plancherel.
2. Guillaume, Ed. La théorie de la relativité en fonction du temps universel, Arch. Sc. phys. et nat. (4), 46, p. 309.