Le Littré de la Grand’Côte/3e éd., 1903/Coite
COITE. — À la coite. 1. En toute hâte. Vieux franc. à coite d’éperons, « à rapidité d’éperons ». — De coctare, faire cuire, qui, dans la basse latinité, avait pris le sens de se hâter. À la coite, c’est-à-dire comme si l’on brûlait. On dit élégamment dans ce sens : Se dépêcher comme si l’on avait le feu… quelque part.
2. À l’abri. Se mettre à la coite. — De quietus.